Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 23
Текст из файла (страница 23)
458). В нелниейпыт задачах характеристические снорас>и сь являл>тся фуивцвяпп от н, так что число условий, заданных на какой-либо границе, также может являться функцией от и. 5.5. Разрывы производных Пэ проведенного выше иостроения решения видно, что характеристики нес!т информацию с границы в рассматриваемую область. Физически характервстики соответствуют волнам, распространяющимся со сноростями сь. Судя по этому построению, в общем сл>чае следует ожидать, что любое резкое изменение данаых на г ранице привепет к соответствующим резким изменениям решения, распространнющимся вдоль характеристик, проходящих через этв граничные точки. Если такое резкое изменение представляет собой раарыв некоторых производных функции п, то это не слишком определенное соображение становится точным и можно ожидать, что разрывы производных распространи>отса вдоль характеристик.
Соотвеютвующие результаты можно получить непосредственно из уравненвй. Рассуждения проводятся для случая разрыва первого рода первых производных функций ин Пронзнодные высших порядков и прочие особенности можно рассмотреть аиалогячньш образом. Пусть $ (х, !) = 0 — гладкая кривая, разделяющая дэе области, в каждой вз которых н непрерынно дифференцируема. Предположим, что и> непрерывньг при 5 — ».
~0 п по ди>/дз и ди>/дх имеют конечные пределы при $ — »- ~0. Если $ (х, !) — достаточно гладкан функция то можно ввести новую локальную систему Гл. 5. Гвперболические системы координат 5 (х, Г), г! (х, Г) и записать (5.1) в виде диг дог [А,Д,+а~ге ) — +(Ацтн+ецд„) — +Ь,=О. (5Л7) д[ дч Эти уравпения справедлнвы в каждой из областей $ ) 0 и $ ( О. По предположению иг (+О, г!) = кг ( — О, О), (5.18) откуда дед(+О, Н) дат[ — О, ~!) (5ЛО) дч Это означает, что на кривой $ = 0 касательные проиавадные непрерывны и только нормальные производные дпг/д$ могут претерпевать разрыв.
Пределы равенств (5.17) конечны при Ц-е ~0, а зсе ковффидненты непрерывны. Следовательно, ваяв равность предшюв с обеих сторон, получим (АцЦ+ ац[„) ~ — ] = О, (5.20) где Отсюда скачки [дпг/дЦ отличны от нуля лишь в том случае, когда на кривой 5 = 0 [ А ц$г + ац5„~ = О. (5.21) Если кривую 5 (х, О = 0 описывать друтны способом: х =ГХ (д), г .— - 7* (О), то (Ц, $„) (Х'(д), — 7" (дП. Прн этом равенство (5.21) совпадет с равенством (5.6), и, следовательно, радрндм вереых яропшсдкьы У)уккдпи н лезут плешь месвго лкыько на харакшдршшиках.
Согласно атому утверждению, распространяющиеся разрывы исключены, если система не имеет характеристик; в атом случае любой раврыв граничных данных немеллекко сгладятся в решенки. С другой стороны, существование характеристик не являетсн гарантией возникновении разрывов. Уравнеяня дают додолнительвые ограничения ва [дпг/дЦ, и, если система неполностью гвперболическея, зги ограниченна ыогут оказаться настолько жесткяыи, что [дкг/дЦ = О.
Однако, если система гвперболическая„ дополнательные соотиогпения не исключают разрывов, вместо етого оии дают уравнения, определяющие изменение величии раарывов, когда они распространяются вдоль характеристик. Если равенства (5.21) выполнено и выбрана конкретная характериствка, то ураннеиия (5.20) дают ряд соотношений между вели- 131 5.6. Раэлонзение вблизи зовнового фронта чинами [днз/дЦ на атой характеристике. Число этих соотношенвй определяется рангом матрицы ковффициевтов в (5.20). В вростейшем случае имеется в — 1 соотношение, твк т~о кое скачки [двт/дЦ определяются через один ив них, вли в более симметричном виде (5.
22) [дкг/дЦ = оЬя где  — любое нетривиальное решение систешз (А вЦ + впй„) /, = 0, (5.23) а о на лампой стадии пока не определено. Голи ранг матрицы равен г, то существуют в — г не»ависвмых решений систеьзы (5.23) и соответствующее число членов в (5.22) с и — г параметрами и. Можно получить дополнительную инфорьшцню, ззнв производную по $ системы (5Л7) и рассмотрев разность пределов при $-ь -йо. Результат имеет следующий общий ввд: (А~д+аы%)~ з ~+Аз(з ~з[ ~ 1[ з[~)=0 (524) где Л,линейна во первому аргументу и не более чем квадратична по второму. Хотя в основном зти уравнения дают информапию о скачках вторых производных [дЪг/35з[ при переходе через 3 = О, мз вырожденнасти матрицы АыЦ + азт5„ следует, что некоторые линейные колзбинацви величав Ез обращаются в нуль.
Отсюда получаются новые соотношения, которым должны удовлетворять величины (акт/дЦ. Их число равно в — г (где г спить ранг матрицы), и это в точности совпадает со степенью проиввола, остающегося после решения систешз (5.20). Эти соотношения и дают искомые уравнения для параметров о, введенных в (5.22).
Детали становятся довольно ело>иными, так что подробные построения мы проведем только для случая разрывов ва волновом фронте, распространяющемся в область с постоянньш однородным состоянием. Этот пример садернзит «се павзные черты и во всяком случае является основным приложениевг теории разрывов. Мы будем также считать, что система иыеет упрощенный вид (5.9). 5.6. Разложение вблизи волнового фронта Рассмотрим систему (5.9) в случае, когда она довускает шютоянные решении пт = нч.
Для этого необхадиыо, чтобы вектор Ь ие вависел от л и з и чтобы вектор в™ удовлетворял условию Ь (М')=0. (5.25) 132 Гл. 5. Гиперболические системы Для систем «ида (5.9) характеристики никогда ве направлены вдоль осн х, так что Г можно использовать нак параметр на волновом фронте и записать уравнение волнового фронта в виде в = = Х (г). Виесто того чтобы вычислять пределы проиаводных с помощью уравнеллй, в задаче о волновом фронте особенно удобно использовать аквивалентный способ разложения решения по степеням 2 = х — Х (1). Если первые производные разрывны, то удобно строить решение в следующем виде: >=л(э>, 2~0, (5.26) в> = п(э> -~- лр> (>) $ -Р— иР> (г) 5з -'г..., 2 ( О. (5 27) Тогда ~ — э> ~ = Х (г) пР> (г)' ~ а 1 = п)~> (г)' (5> 23) и проивводпые вь>сших порядков аналогичным обрааом связаны с другцчи вовффициентами.
Разложение в степенной ряд удобно для обобщеяия на особенности нного вада. Если наннившие щюизводные, имеющие разрывм,— это производные и-го порядка, то степенной ряд после и>эе' содержит члены порядка 3; кроме того, можно включить особенности, состав>ствующие равложению па дробным степеням ( $ ] пли по степенлм !е ] а ). Вопросы сходнмости адесь не существенны, мы используем формальные степенные ряды как способ вычнслеяин проиаводных, поторые >южао было бы полу шть и переходом к соответствуюп>нм пре>гелам в уравненинх.
Козфф>щнонты в (5.27] получены подстановкой ряда в (5.9) и последователы>ым приравннвзнием новффицненто» при степенях 2 к нулю. Если величины а,> — функции от х, г и в„то вх следует разложить в степенные ряды по $ с коэффициентами, вависящнми «т г. Такнн обрааом, з <а> а (а> а, =а)о>.05 ( '> п>0 1. *' ) > Лв> ь з„ (5.29) где нулевой верхний индекс означает, что аргументы у соответствующих функций равны х = Х (С), Г н п = и'од Однако, выписывая окончательные уравнения длл пг> ' (г), мы будем длл простоты онускать нулевой верхней индекс.
Подстановкой в (5.9) получаем аып(ы — си>>>=0, (5,30) Лв>0 апиР> — сиР>+ ( — + — и)мигаю + ( — >+ — >) и)0) = 0 (5.31) 5.6. Разложение вблизи волнового фронта и т. д., причем с оаначаег Х. Эти равенстве, конечно, соответствуют (5.20) и (6.24). Из (5.30) мы выводим прежде всего, что скорость Х = с должна удовлетворять уравнению (оы — сбы ( = 0 (5.32) и нолнавой фронт должен быть одной иэ характеристик. Если будем считать, что рангматрицы в (5.30) равен я — 1, то получим нго' = оЬГ, (5.33) где Аà — произвольное нетривиальное решение уравнения (огг — сбгг) Вг =- О.
(5.34) Существует такяге нетривиальный собственный вектор 1, удовлетворяющий уравнению 1, (а,г — сбгг) =. О. (5. 35) (Это левый собственный вектор, отввчагощий характеристической форме (5.10).) С учетом этого иэ уравнении (5,31) можно исключить члены с игв и получить — 1-1,— пспкгн+Ц( — + — ') и(0=0. (5.36) ээ г аэ, зг 'эээ г з г ~ э эи, г Наконец, подставляя сюда выражения (5.33) для ио', приводим к уравненвю (5.37) 1г!ч — +Ооэ-(- Ро =О, гце 1гйв () и Р— известные функции от с.
Для гиперболических систем можно показать, что 1ггч ~ О. В других случанх, однако, люжет оказаться, что ~,Ьг = О, () =- О, Р ~ О, и прюгегсн звклю шть, что о = О, т. е. что раврывы невоэлюжны. Например, для системы — =о, , — н„= О, эквивалентной уравнению тенлопроводностн, в котором С н л перестаалены для того, чтобы принести ее к каианнческому вицу (5.9), двойными характеристиками являются прямме х = совзс. Однако 1 = (1, 0), Ь =- (О, 1), гг = О, Р =- — 1, тан что разрывы невозможны. Для пгперболвческих систем уравнение (5.37) вапнсывавгся так: (5.38) — -,' ро +до=-О. Гл.
5. Гиперболические системы Зто уравнение Рнккатн, которое мон;но решить в явном виде н найти взмененне а (а следовательно, и и',и) вдоль волнового фронта. Если исходная система лннейна, то ноаффицвенты а;( не зависят от п п квадратичный член отсутствует. Тогда регнением является с о(()=а(0)е- (", р,(()= ~ рру)с((', (5.39) а где а (О) определяется начальгязлзн условиями. Заметим, в частности, чта разрывы в решении могут вонзиться только как следствие соответствующих раврывов граничных и начальных условий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
