Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Но, конечно, газозая динамика важна п интересна сама по себе, так что зта глаза написана как законченное введение э предмет, а пе только как кллюстрацня математической теории. Более специальные вопросы рассматринаются а следующих глазах, и з целом этот материал дает широнин обзор гааозой динамики. Читатель, интерссующшюя ллшь общей теорией полн, может ограничиться беглым просмотром этой глазы. 6.1. Уравнения движения Уравнения движения сжимаемой жидкости выводятся иа закоион сохранения в1ассы, количестна даюкепня (импульса) и энергии а любом ныделелном объеме жидкости.
В каждом из атях ааяоноз вводятся сноп собстзенные переменные, описывающие баланс. Длл описания ножка массы требуются дзе зелкчкны; плотность р (х, Г) и вектор скорости и (х, Г) з точке х н момент времеви Г. В закон сохранення количестаа даты:ения зходят дополшпслькые аелл~лиы, олисызающне дейстзующие на лгидкость силы. Это может быть массоаая сила, обычно сила тяжести, действующая па зсю жидкость по всему объему. Такая сила, отнесенная к единице массы, обозначается аеитором Р (х, г); соответствующая сила тяжести равна ускорению свободного падения д, умноженному на единичный вектор, напранленпый по вертикали.
На жидкость дейстнуют также напряжения, приложенные ка границе выбранного ее объема. Напряжение, дейстнующсе ка какой-либо малый элемент гранмчной позерхности, считается пропорциональным площади этого элемента. В общем случае опо зазнсит также ат ориеитацли элемента поверхности. Следонзтельно, сила, действующая на едпничнуча поаерхиостгч будет функцией от точки приложения х, времени г и единичного нектара 1, нор- 6.(. Уравненяя дввженвн 445 уравновешивается потоком через о. Если 1 — вектор внешкев нормалв к Я, то нормальная компонента скорости через Ю рвана фиг, повтому — ) рМ'+ ~ рфигНЯ=О. (6.2) Аналогичным обрааом уравнение полного баланса для Рй компо- ненты количества движения имеет внд — ~ ршИР+ ~ (ри,)гиг — р~) г)5=~ Руэгг(У.
Б (6.5> Первый член левой частя описывает скорость ивменевня количества движения жидкости в объеме Р, второй — перенос количества движения через граничную поверхностгь третий — скорость изменения количества движения аа счет действующих на поверхности Б напРяжений р;, а выРажение в правой части — количество движения, порожденное снламн, девствующнмн в объеме Р. Плотность полной ввергни (гюлпая энергия, ПРВХОДЯЛЮЯСЯ на единицу объема) состоят нз суммы кинетической энергии Ч, ри,' мальково к данному элементу поверхности. Стандартные рассуждения, которые мы уточним виже, показывают, что Рю компоненту р, напряжения можно аапнсать в виде р, = рлф (суммкрованве по )), (6Л) где величины ря (х, Г) аависят только от точки х п времепв Г. Поскольку р, к  — векторы, компоненты рм образуют тенаор, называемьш' тевзерем напряжений в точке (х, Г).
Величина рл представляет собой г'-ю кокпоненту силы, действующей на единичный элемент поверхности, пормальлый к )-му направлению. В вакове сохраневнн энергии вводятся дальпевшпе переменные. Жидкость обладает внутренней эвергней, связанной с тепловым двкженпем молекул. В теории сплопгной среды ага авергнл, отнесенная к единице массы, обозначается через е(х, г). Существует также тешювой потов череа границу, в его величина, отнесеннан к единице площади поверхности, обоаначается вектором ц (х, г).
Теперь мы в состонвнн выписать заковы сохрапенвя, хотн опн не образунггнслвую систему, поскольку в ннх невэвестпых больше, чем уравнения. Рассмотрим произвольный фнкснрованныв объем У областв, занятой в;идкостью, и выведем полные урввнепня бачанса длн этого ебъема, учитывая перенос жидкости через граничную ловержюсть о'. Согласно закону сохранения массы, скорость изменения пелной массы в объеые У, равной Гл. 6. Газовая динамика макроскопического двюкения и внутренней энергии ре молекуляр- ного движении. Уравнение баланса анергии имеет вид зз(2~ э+~ ) + +1((~:+ )'и-'и+' ) = а = ) ру,и,. г(У. (6 4) ) )гггсо = ) — '~ г)У, а г (6.5) где ог — произвольный непрерывно днфферелцируемый вектор, а Р— достаточно гладкая область.
Такам образом, уравнение (6.2) можно перепясать в виде (++ —. (ри,) ) Л' = О. Поскольку подынтагральвое выражение непрерывно и уравнение (6.6) выполняется для сколь угодно малого объема У, мы приходим к выводу, что а + а . (Риг) =О. (6.7) В ввтеграле по поверхности первый член снова соответствует вкладу пероноса жидкости череа границу, второй — работе, совержаемой напряжениями р, на границе, а третий — потере или приросту тепла эа счет теплового потока через границу.
Выражение в правой части соответствует работе массовых свл. Если параметры течеввя могут иметь разрывы, то необходимо использовать ати уравнения в якжгральной форме. Для одномерных задач интегралы но объему переходят в интегралы по х, скажем ат з, до з, а жыегралы по поверхности сводятся к разности подынтегральных выражений в точках х, и з„так что уравнения прививают внд (5.54), укаванный выгпе прв рассмотрения ударных воли. Однако в больжей части занимаемой жидкостью области эти параметры будут непрерывно двфференцируемыми, так что можно перейти к пределу, когда объем У стягиваетсп к точке, в получить соответствующие дифференциальные уравнении. В уравнениях (6.2) — (6.4) дифференцирование по времени можно провести под; знаком интеграла по объему, поскольку у не аависвт от г, а ватегралы по поверхности можно преобравовать в интегралы по объему прн помощи теоремы о диаергенцви: 147 6Л.
Уравнения двияюния (Если бы ето выралселие быто отличным от нуля в какой-либо точке, то, в силу непрерывности, оно сохраняло бы знак в некотором малом обьеме У в равенство (6.6) не выполнялась бы.) При подстановке выражения (63) з уравнения (6.3) и (6.4) последние аналогкчяыхг обрааом приводятся к следующему виду: — (р" д+ — (р *' — рг ) = рр д а (6.8) и Йр-.*+~)+з". (("и р.~+~") г-рг"'+4=0'~"' (6.9) При выводе фориулы (6.1) обычно пользуютсн рзгт)тнденвямк, которые по существу являются первым приближенвеи к (6.3).
Если иаибольгпее расстояние мея;ду точками, принадлежащими объему У, равно д, то зеличвиа обьема !' представляет собой О (ьи). Тогда, в силу теоремы о среднем, интеграл по атому объачу от любой непрерывной функции равен О (Лз). Первый интеграл по поверхности в ураавезли (6.3) равен соответствующему интегралу по объему, согласно теореме о дввергеиции (6.5) и, следователыю, также наляетсн О 0Р). Таким обрааом, иа уравнения (6.3) следует, что 1 -О( ') а (6.10) Р~ (!) = РгА + РвА + Рада что согласуется с равенством (6Л). Это довольно иезлегантное докавательство, но, по-видимому, его иелъая существенно улучшить.
лля всех Я. Соотношение (6.1), очевидно, нвляется достаточным, поскольку можно использовать теорему о дивергенцив. Для доказательства необходныоств условия (6.1) олределвм сначала величавы ры при ) = 1, 2, 3 как значения р, для элемента поверхности, перпендикулярного к осям зм з, и тз соответственно. Примеивм соотношение (6.10) к частному случаю малого тетраадра, три грани которого перпендикулярны треы осям координат. Если четвертая грань имеет едвничиую нормаль ! и площадь ЛБ, тс площади остальных трех граней равны проекциям )гЛЯ, (,ЛЯ и (зЛЯ. Тогда иа (6.10) следует, что р, (!) ЛУ = ры(ЛУ+ ры(ЛЕ+ ры!Лв+ О(оч), где р, (!) в ры взяты в некоторых определяемых теоремой о средвеы точках, люкащих на соотаегствщощвх граинх. В предела И вЂ” е 0 имеем Гл.
6. Гааавая днвамвка В связи с уравневвями сохранения естественно снросить, ччо вовсе вносит закон сохранения момента количества движения (кинетическото момента). Например, мы имели бы длв тккомпоиевты кинетического момента д а с (х,р~ — хари1)+ а ((сер~~ — лгри~) кт — (хьртт — харя)) = =вфла харр1 (6.И) и апахотвчнъ~е выражения длп других компонент.
Если теперь в (6.И) подставить (6.8), то ббльпшя часть членов зааимно уничтожится и останется равенство Р1т = Рм. Таким образом, закон сохраненвя винетичеокото момента приводит к симметрии тенаора напряжений Ря = Рм. (6 Л2) Это цепная информация, однако она является втОростепенной по сравнению с астальиыии уравнениями. Уравнения (6.7) — (6.9) дают лять соотношений для четырнадцати величия р, п„рто дь с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
