Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Как уже было укавана выше, кроме иэложенпого математического обоснования, вмеются более глубокие причвнь1 для введения в рассмотрение вочичин Т и Я. Идеальный газ При норвгальных условиях для болыпинства газов вьшолвяется уравненве состояшш идеального гааа р =- Ярт, (6.32) где Я вЂ” постоянная. В этом случае равенство (6.31) можно переписать в виде 33 = — — 3 622н р). ю = г Отсюда слецует, что де|Т вЂ” полный дпфференцвал, п, следователь- но, е является функцией от ацной переменной Т: е = е(Т) (6.33) Интересно, что (6.
33) ьюжцо вывести иа предположения (6. 32), хотя е действительности условие (6.33) играет более вюкную роль. Уравнения (6.32) п (6.33) описывают идеальный гаа. В уравнениях двюкенвя е удобно рассматривать как функциго от р и р. Ив (6.32) следует, что для вдеального гава е является функцией ж р/р. Вид етой функпии пока еще не существен, однако широкий Гл.
6. Газовая динамика диапааов явлений гаваной динамики овисыааетоя одной довольно вросюй формулой. Она получается ири рассмотрении удельвъгх теплотп1остей. Удельные ягеллоснкосжи В процессе медленного нагревания едгпшчной массы газа тепла пожег раалнчкыми способами расвределяться между внутренней энергвей и работой по изменению объема при условии, что сумьж (6.30) равна приращению тепла. Удельная теплоемкооть определяется как отношение приращения тепла в единичной массе к приращеншо температуры. Если газ не расшвряется, то приращение тепла полностью переходит зо энутрепшою энергию, откуда де=с,дТ, (6.36) где с, — удельная теплоемкость прн постоянном объеме. Аналогг1чным образом, если давление остается постоянным, а газ моя1ет расишрятьсв, то из (6.30) иыеелг Н (е+ — ) =срдТ, (6.35) где ср — удельная теплоэмкость при постоянном лавлении. Велвчина е + р/р, входящая сюда, а также, ааметим, играющая роль потока з уравнении (6.27) представляет собой энталыппо й=е+ р.
(6.36) Р Иа уравнений (6.32) и (6.33) следует, что длн идеального газа ., Ь, с, н ср язлвются функцияыи толька от температуры. Пдеалыовй еее с иостояннмми удельными теилоемкостями Эмпирически было обнаружено, чта с достаточной точностью удельные теплоемкости можно считать постоянными в широком интервале температур. Таким абрааом, (6.37) с=с,Т, Ь=срТ. Поскольку разность ма>иду этими величинами равна р/р, отсюда следует уравнение состояния (6.32), в котором ср — с, =Я. ВвеДЯ отношеггие УДельных теплоемкоотей У = ср/с„полУчим ср —— ус„д/ = (у — 1) с,„ е= — —, Й= —, Т= —. 1 р т р р (6.38) т 1 о' т 1 Р' Рд)' 6.4. Термодвкамвческве соотношения В салу атвх соотвошеввй, выражение для автропвв (6.3Ц принимает ввд =Ф++'6) ="( — ':- Ф) ' Я=с,)п г +сопа2, ст р=кр е (6.39) где н — постоянная.
Идеальный гаа с постояквымв удельвьаив теплоемкостямп ввогда яааыанют пааитролнал газом. Ь'плыли мекая тесрпя В кпнегической теории некоторые ва првведеввых выше соотношений имени простую ааслужввающую вввмаввя ввтерпретацию. Прежде всего температура Т характервауетсредаюю ккветкческую авергвю, приходящуюся ва одву молекулу, в поступательном движения молег<ув. Ока нормирована так, чтобы ага свертка равнялась а/е йТ, где )г — постоякная Больцмава. Для вдеальвого одпоатомвого гааа ато выражевве определяет всю акутреввюю энергию, так что е — ЙТл, в 2 где и — число молекул а едввячвой ыассе. Таким обрааом, выра- жение для е в виде линейной фувкцвв от Т по существу является в атом случае исходным. В раввоаесвом состоюши выражение (6.17) для рд долнгно сводиться к — рбд.
Следовательвс, давление можно свяеать с моле- кулярпым двяжеввем формулой ~6, а Но энергия поступательного движения в (6.19) содержит пеловпну такого я~с интеграла в равна а1а йТлр; отсюда имеем р = 1сарТ. (6.40) Это урааневве состояния кдеальвого гаев с Я = йж Число моле- кул в едвввчкой массе равно числу Авогадро )У, деленному ва ьюле- кулярвый вес гааа. Поатому испсльауеьгая ваыв постояввая г) ра- ева уввверсальвой гаммой постояввой )лу, делеввой ва молеку- лярвый асс гаса.
Гл. 6. Гаеокая динамика Если молекулы обладают другими формами внутренней энергии, такими, как колебательная или вращатьчьная енергия, то, в свлу основных принципов кинетической теории, в равновесном состоянии на каждую степень свободы приходится одинаковая энергия. Теьшература определяется так, что у каждой молекулы на одну степень свободы приходится анергня, равная «/» йТ.
Следовательно, для трех степеней свободы поступательного дни>кения она составляет «/, 5Т. Если каждая молекула имеет а степеней свободы, то средняя энергия одной молекуль> равна '/, с/>Т. Ноатому среднял свергая единичной массы равна е = — слТя. 1 2 (6.41) Выражение для р не меняется, поскольку р связано с поступательной частью енергни. Объединяя ати трп рааличных реаультата, получаем е= — п5>Т, Ь=(т и+1)ЖТ, р=->/рТ, (6.42) 1 >1 2 ' (х откуда с„= у сс.е/, сг = ( х а+ 4 1 Я, 7 = (+ †. (6.43) Зтв реаультаты согласуются по форме с полученными ранее выражениями для идеального гааа с постоянньсчи удельными теплоеыкостями, по отличаютсн тем, что, помимо всего прочего, включают форыулы для ср, с„у.
Для одноатомного гака а .= 3, 7 =- а/>. Длн двухатоыного гака, имеющего две вращательные стевеви свободы, а = 5, у .= (,4, что является хорошим приблюневием для воадуча. 6.5. Иные формы уравнений движения Уравнения сохранения в форме (6.25) — (6.27) соотвсштвуют ааконам в интегральной форые (6.2) — (6.4) и понадобятся прн рассмотрения ударных волн. На для другич целей ети уравнения можно упростить. Удобно ввести оператор Ю д д — = — + и>— е> а> а»> для проиаводной по времени от величин, свяаанных с индивидуальной частицей.
Уравнение сохранения массы (6.25) можно переписать в виде ~>Р + р — "> = 6. О1 Ес> (6.44) !57 6.5. Иные формы уравнений двия«ения Исключая вз уравнения (6.26) производные от р (для этого используем уравнение (6.25]], получаем (6.45) Уравнение сохранения энергии (6.27) в«ожво записать в различных формах. Прежде всего, используя два других уравнения, его можно призестд к энду О Ри! О«Э«Г (6.46] Палее, в силу (6.44). кисел« другую эквивалентную форму. О р Ор — — — =О.
О«р«О« При помощи термодивамнческого соотношения (6.3!) ато уравнение приводится к виду (6.47) П«гаге говоря, эвтропгш остается постоянной вдоль траектории частицы. Течения, удовлетворяющие уравнению (6.47), обычно завиваются адиебюлй«еслиии.
Следует подчеркнут«ч что рассукдения, которые привели нас к (6.47], являются чисто математическими преобразованиями уравнений сохранения. В принципе таким обрааом можно было бы ввести «интересную величину Ю (р, р]э без какого-либо предварительного знакомства с термодинамикой. Полученный таким путем реаультат достаточно убедителен. Вывод равенства (6. 3!) в термодинамике связан с бесконечно медленными обратимыми изменениями, и может показаться йчто мы необоснованно используем его вне втих условий.
Однако, как только сделаны предположения, что ря = — рби и е = е (р, р), все остальное сводится и простым математическим выкладкам и следствил, такие, как уравнения (6.47), получаются без каких-либо ограничений типа малой скорости течения в термодинампческом смысле. Поскольку из выражения для Я как функции от р и р можно в принципе найти р = р (р, Я), можно использовать уравнение )Ор «Ор «ар« — =а —, аз= ( — ) (6.48) О« = Ог ' ( ар )в. и как эквшжлентную форму уравнения (6.47). Величину а будем в дальнейшем нааывать скоростью звука. За исключением случаев, когда уравнения в форме законов гохранения особенно удобны, обычно работают с уравнениями (6.44), (6.45) н лабо (6.47), либо (6.48). Удобно собрать их вместе Гл. 6.
Гавовая динамика для дальвейших ссылок: 168 — +р — =О, пр св, гл Дтт = гьч др р — + — =рр гл дг~ (6.49) — =О вли — — ст —,=О. РВ пр * по Ос = дч * п~ Для политропвого гаса е= — —, Ь'.=с, 1а —, от= —. ел (6.661 т т Р р" Р р = хрт. Если появлякяся ударные волны илп какие-либо другие раврывы, то ати рассуждения долины быть пересмотрены. Диффереициалькые уравнения, в частвости уравнение евтропви, справедливы только в областях, где функции диффереицируемы. При переходе черве поверхность раарыва эвтропия скачком ивмевяется, я в общем случае величива атого скачка аависит от времени и точки на перемещающейся поверхности раарыва.
Таким обрааом, первоаачальио иаавтропический поток может уже ке оставаться таковым восле прохождения ударвой волам. Это будет подробно обсу;кдать:я в 5 6.10. 6.6. Акустика Первые сведения о расиростравееяп волн в гааовой динамике Гаются акуствкой, свяваввой с линеариаовавиой теорией малых ювмущеввй стацвокариого состояния. Простейший случай имеет тесто тогда, когда ыассовыми силами преиебреяпст, а стационарное :остоявие отвечает постоянным аиачевиям р = ре, р = р, и = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
