Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Эти уравнения согласуются, если причем оба ови принимают вид р~4-(Р~о)р =О. Выбирая верхний знак, получаем 1 (р) =-. ~ — ',"'бр= — ', (е(р) — а,), ° р что согласуется с волученннми выше результатами. Риыав (1! дал более глубокое обоснование, которое мы призадел~ в следующем вараграфе. Выбор р в качестве основной переменной лучше согласуется с рассуждениями, проведевными в гл. 2, но формулы проще записываются через и.
При'помощи равенств (6.81) можно свободно переходить от одной переменной к другой. Исходное уравнение для и имеет ввд и,+ (ас+ — и) и„=О, т+т 2 (6.83) 476 Гл. 6. Газовая динамика е раэеисгва а=-ас-(- — и, 8=8, 7 †2 определяют р в Р. Скорость Респростреиевия составляет с(и) =-асб — и.
2 Решевис урсввепия (6.83) строится так же, как и выше. В чэствостя, для зедечи с поршнем решевие дается формулами (6.76) и (6.77). Таким обрезом,по крайней мере в случае врастай залпы профиль волны ставоввтся мяогоэвечвым, точка так же как в гл. 2, и для построеиия полвого решения следует вводить разрывы. 6.10. Ударные волны Прв оврскидывапии волн реальюяе реюевия восстаиэвлиэа1отся введеяияв Разрывов, в мы вроделэем это, осиоюсвэясь ва общей точке эревяя, развитой в гл.
2. В области, где происходит спрокидывзиие, проиаводвые стевовятси большими и, строго говоря, предположевяя (6.22) — (6.24) иепримевимы. На реэльвое поведепие обычво хорошо еппроксиыируется введением разрывов, удовлетворяющих ведлек2эщим условиям, и сохрекекием вредполов2евий (6.22) — (6.24) в области непрерывного течения. Впоследствии ыожио изучить детали структуры удеркой волиы, учтя эффекты вязкости и тевловередачк. Кзк укааеяо выше, при формирозэвви ударных вали следует пересмотреть соображения, реавитые для случаи простой волны и ириведвтие к интегралам 2 2ас 8=.8с, — ' — и= —, ' 0' т †=э †в необходимо вернуться к полкой сястеме из трех урэвв й Условия Вэ разрыве устаиавлввэвгшя ври помощи рассуя деввй, проведеяиых в 5 5.8.
Здесь существевко то, что мы реботаем с уравкевияки вида закопав сохрапевия к что имевко эти три ураввеяия соответствуют физическим законам сохрэкеиия в вптегрельиой форме. Для превильиого выбора пеобходимо вернуться и их исходиой ивтегральвой записи (6.2) — (6.4). Огрэвичиваясь одиим яэмеревием и опускея массовые свлы (хотя ояи ие меняют 6.10.
Уцарные волны условия на раэрыве), получаем ж — ) рбх-~-(ри)и=О, (6.84) — ~ риал+(рит — ри)и=О, (6.85) — ) ( — рва+ ре) с(х+( (" — рит+ре) и — рни 64,) =О. (6.86) Каждое иэ этих соотноженнй имеет вид (5.54), и соответствующее условие иа раврыве имеет виц (5.56). После вывода условий на раерыве для непрерывного течения по обе стороны от раэрыва снова приивмаются аначевия ры = — р, 2, = О, е = е(р, р), и, следовательно, нх можно подставить в условия на раэрыве. Тогда ати условияапривнмавп вид — П(р)+(ри)=0, (6.87) — П(р )+(р +р)=0, (6.88) — Е7 ( ~ ри~-)-ре ) + ( ( — рит ф ре) и -,'- ри ~ = О.
(6.89) Соответствующими дифференциальными уравнениямя в виде эаксиов сохранения являются р,+(р ).=о, (ри),+(рва+ Р).=0„' (6 90) ( — рит-(- ре) ф ( ( †' риа-)-ре) и+ ри ) = О. Опи эквивалентны системе (6.60) — (6.62), Иа втой системы можно получить еще один аакон сохранения: (рб), + (рУ)„= 0,1 (6.91) немедленно следующий иа (6.60) и (6.62). Но это уравнение юве иелримеииво в более общей интегральной форые. Действительно, иэ (6.7) — (6.9) и (6.31) имеем ( 3) (Ри+ Р) и* ты т (6.92) откуда ач — ' ( рбб*+(р 8)жж=) ""+""* тын .
(693) ж "т 1 Т Член в правой части равенства (6.93) существенно отличается от члена типа источника й, в (5.54)„поскольку он соцержат ироижод- Гл. 6. Газовая дивемика 172 кьы от параметров течения и нет способа их проинтегрировать. Следавательио, рассуждения, приводящие к (5.56), непркменвмы. (Напомним, по предноложеиия р»» = — р, д» = 0 вводятся только лосхе перехода к соответствующим вред»лам.) Таким образо»», нельзя вызестя условие не разрыве, формально соответствующее уравнению (6.91). Действительна, ниже при помощи условий (6.87) — (6.89) ыы покажем, что — 6» (ро ! + (риЯ чь О.
(6.94) При изучении структуры ударной волны вклад нраэой часто равенства (6.93) будет рассмотрев подробнее. Интересно, что четыре уравнения, а именно уравнения (6.90) и (6.91), это все законы сохранеыня, которые можно вывести длн системы (6.60) — (6.62). Для доказательства этого утверждения рзссыотрим уравнение типа ээксыэ сохранения — ',", + —,'"+Ь=О, где >, б и Ь вЂ” функции от р, р и и.
Если зто уравнение расписать через производные от р, р и и в жлн для исключения лроиэводиых по 1 использовзть уравнения (6.60), (6.61) н (6.63), то получите~ » (а,+ 7,)р.+(ал — ),— — (.)р.+ +(у„— н),— р(р — рах)р) и„+6=0. Поскольку это соотноп»сине должно выполняться тождественно, коэффициелты при производных должны обращатьоя в нуль по отдельности и, кроме того, Ь должна быть равной нулю.
Три уравнения для ) л б мои»ио решить и покэзэть, что неиболее общее реп»ение для 7 предстввляет собой линейную комбинацию р, ри, '/, рпэ -! р«, ОЯ. Таким обрезом, единственными неззвисимылн уравнениями сохранения являются уже укаээнные выше уравнения. Любые три из этих четырех уравнений можно использовать для построения «слабого решенияь, но только система (6.90) с условиями вз разрыве (6.87) — (6.89) соответствует ролльной физической ситуации. Пеле«ям«моди»локации услоаий ка раарл«е Прюкде всего удобно заш»зать условия иа разрыве (6.87)— (6.89) через относительную скорость о = Г> — и. Подставляя соответствующее вырзжение для и, получас»» (рс) = О, (р+шд — р (>)=О, ~ро (Ь+ — л») — (р+ 9»Д) П+ — ре(Г» (=О, 6.(0. Ударные волны где й — ентальпия е -(- р/р.
Беря линейные комбинации, ети соатиожения можно нривести и виду (ро]=0, (р-(-рот)=0, ~ро(й+ — от))=0. Это условия на раврыве для стационарнога течения в системе отсчета, в которой ударная волна неподвижна. Если рггг = = р,о, -ь О, то постоянвь|й соьгножитель ро в третьем уравнении можно опустить, и тогда мы получим Раоа= РР о (6.95) Рт+Ргаи=рг (-РОР. (6.96) й + — о'=й,+ — ог (6.97) Π— иг М=— — число Маха ударной волны относительна течения перед ударной волной. Тогда и,,— и1 2 (Л(т — 1) 6.99 И+1)М ' ( ) (у+О ма (6.(00) р, =(т — 1)Ме+г р — р, 2т [МХ вЂ” 1) м = гР( ае Дта(т — (т — 10 ( ((т — 1) Л(т-~-2) Гг аг (т-(.1) М Если считается палестины ры то удобно авеста интенсивность ударной воввы (бй(Ц) а= ре Р! Как правило, течение впереди ударной волны вавестно,и условия на раврыве используются либо для определения течения аа ударной волной черен скорость ударной волны, либо для определения скорости ударной волны н остальных параметров течения через адин иа параметров течения ае ударной волной.
Приведем в яююм виде формулы для политропного гааа. Будет палевые включить вырюкения для скорости хаука, хотя онв и намекают иа выражений для р в р. Для политропиого гава е= — —, й= т —, а'=у — ", р т Р (6.98) (р т — )р р' и искомые формулы получаются выкладкамя иа равенств (6.95)— (6.97). Когда параметры течения выражаются через 6(, то удобно испальеовать велвчиву Гл. 6. Газовая динамика 174 к выраавть соотяашеввя яа разрыве в виде (6ЛОЗ) (6.104) ( +%*)"*' 1.1- — в т+1 гт г — 1 1-р — в 2»» Р» Р» (6.105) (14-)( 4-т,„'4) "' в» л 1-! — в т+1 27 (6.106) Свойсюва уборных воли Пф )(1+т— ,1*)' — '=!и (6.107) (1+74.,) Это выражение отлично от нуля ври з ~ О, так что при переходе через ударную валку зктропвя действительно измевяется скачком.
Согласно второму закову термодинамики, звтропияйчастлцы может только возраотать. Следовательно, если частица переходмт со егоровы 1 яа сторону 2, то облзательяо Ю > 8 . При,'поколем (6107) л»ожво показать, *по 4 (Яв — Я)/Из > О при 7 > 1, в > — 1, что всегда выполняется. Поэтому егли 8, — 8» > О, то в > О. Таквы образом, ударная волка всегда является волной сжатия с р„> рм а тогда кз остальных соотвошеввй (6.103) — (6.106) следтет, что р,>ри р„>р», а,>аи и,>и„М>1. (6Л08) Другой подход к устававлевкю аваков скачков состовт в выясяеквк вопроса, когда ударные валлы вьюыааются ощюккдывавкем волн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
