Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Решающей здесь является проверка праввльвости выбора сохракяющзхся величин, а также — в случае необходимости — оценка толщины ударного слоя в частном случае ударного перехода из одного одиородвого состояния в другое. Эту задачу о структуре разрыве мы алесь и рассмотрим.
Для одвомериого течения уравнения сохраиеиия ыассы, импульса и энергии имеют вид р, + (ри)„= О, (рк)~+(Ри — Рк) =О, (6 (26) (-, рк*+ ре) + ( ( — кз+ е) рк — рвы +д, т) = О. Для уточнения етого использовавшегося до сих пор описания примем сооткошевия Навье — Стокса для шшряжевия р,г и теплового потока дг, сохранив, одкако, предположевие о локальном термодикамическом равковесии. Эти соотиошевия сводятся к тому, что рп пикейно зависит от градиента скорости, а д, линейно зависит от градиеша тегшературьь В общем виде оии приведены выше 187 6.15. Стругстура ударнсй волны (уравнения (6.28) н (6.29)), а для одномерного течения сводятся к следующим: Зр 4 (6.127) Термодянаьснческне соапюшения — — р= арт 1 Р 1 — 1 д' (6.128) ааыыкают систему в случае полвтропного гада.
Прв описании струнтуры ударной волны течеяве считается стационарным относительно ударной волны. Поатоыу все параметры течения вависят только от Х = .т — Пс. Для таких функций д д д д — = — ьс —, дг дХ ' да дХ и уравнения (6.126), имоющяе форму ааконов сохранения, интегрн- руюжя н принммаюг внд — ()р -(-ри= А, — (7(ри)+ (рис+ р — Рих) =В, (6А29) — П ( —,рис+ ре)+( ( —, ив+ е) ри-) ри— 4 —,,Р х — Хт )=С, где А, В и С вЂ” постоянные интегрированна. Прв Х-ь+ са течение стремятся к однородному состоянию, обовначаеыому индексом 1.
Постоянные А, В и С при этом находятся по йс, ис, рн р . Если, кроме того, течение стремится к однородному состоянию и, р, р при Х -с- — са, то ясыо, что состаянвя на ~аа свяваны условиями на раврыве (6.87) — (6.89). Соотношения (6.127) можно также нспольаовать для дальнейшего исследования уравнений, описывающих ввмененне автрошгн. Уравнение (6.92) можно теперь перепясать в следующем явном вндес д, ~САРий+(Хтх)х дх( и т нли — еще лучше — в виде дх(р( и) + т ) т Ьтх Страх-1 "гх Отсюда (р(П вЂ” и)В))- ) ',, ИХ)О. Гл.
6. Газовая двнамнва Теперь ясно, что нзменеяие ввтропян при переходе через ударную волну является следствием днссшицни ввергни за счет вязкости я теллопередачн, н зто изменение автоматически аапясы- вается с нулгным званом. Детали профиля ударной волны между предельными значе- ниями на ~гс определяются обынновевнымя днфференцвальными уравнениями (6.129).
Положив г = С вЂ” и н введя новые постоян- ные, свяваявые с А, В в С, вти уравнения можно переписать тав: 9=Е, щя+р+'/з~ х=- р, ( — д) Ь+ — г') рс+ — рглх 9-ХТх = Е. з'! 3 Это уравненяя стационарного течения в систев~е коордвнат, движущейся вместе с ударной волной, причем положительное направленве з соответствует отрицательному Х-яаправленшо.
Условия на разрыве, связыввющне одяородные состояния на ~ос, имеют теперь вяд, соответствующий (6.95) — (6.97). Уравнение неразрывности рз =- () и соотношения (6.128) можно использовать для сведения снстевгы ь двух~ уравнениям для г н Т.
Для полвтропного газа Ь ЯТ=грТ 1. -1 и несколько удобнее работать с е н Ь. Уравнения имеют аяд 4 т — 1 йг — рех=р — (? (о+ — — ), (6.130) ч ( т г!' — ' Ьх + —. рг1'х = Š— () ( Ь + —. гт) ° Ь 4 ~ 1 г1, 3 з (6.131) Качествевное исследование пояазывает, что решенве требуемого вида существует. В частноы случае Ь/ср — — '/,р, что является хорошим приближением для воздуха, срцествует первый интеграл н решение находится в явном виде. (Величина ргр/Ь представляет собой число Прандтля и равняется О,И для воздуха прн обычных температурах.) Для такого значения Ь/ср уравнеяве (6.131) можно переписать тан: — р(Ь+ — гз) =Ь вЂ” ()(Ь+ — ьз). Правая часть стремнтся к нулю при Х вЂ” ь сс, тав что Ь» + г/а в~;- =- Е(0.
Следовательно, едннственвое ршпевие, ограниченное при Х вЂ” г — оз, ато +Ть 1 Е з 9 189 ОЛ6. Автомодельвые решения всюду. В этом случае величина Ь -)- Че ит не только одинакова по обе стороны от ударной волны, но остается постоянной по всей ударной волне. Уравнение (6.130) тогда принимает вид 4 /7+1, 7 — )Е р"х р — 0 '+ з ( 27 7 О )' Поскольку постоянные должны быть тат<ими, чтобы правая часть обращалась в нуль как прин = и, тан и прис = о, это уравнение можно переписать иначе1 —,ри 4 7+1 (, — )(и†т) 27 Зто уравнение легко интегрируется, что дает — — Х = )п (и — о,) — — "!и (и, — о).
29 74-1 "1 4В 27 т — "т а~ — ге В нашем случае () = р и, так что толщина ударного слоя пропорциональна гр 27 1 Зрс 7-)-1 ж — аа Как и ожвдаласгь она становится меныпе, если р убывает при фиксированной интенсивности волны, а также если интенсивность волны воарастает дри фвксировапном р. 6.16. Автоыодольные ров)ения Ретпенке вида простой волны свяаано с плоской волной, распро- страняющейся в однородную область. Задачи с цилиндрической или сферической симметрией и задачи о плоских волнах, рас- пространяющаяся в веоднородяую область, являются более сложныыи. Мовсно построить довольно общую приближенную теоршо слабых волн (вто будет сделано в гл.
9), на имеются также некоторые точные решения специального вида, более близкие к содержанию данной главы. Рассмотрим сначала цшпшдрическое нли сферическое волновое движение. Уравнения (6.49) сводятся к следующим: а+ар,+р (и„-р — ) = — О, и, + ии„+ — р„= О, 1 (6.133) р р, -)- ир, — аэ (р, -)- ир,) = О, (6.134) где г — расстояние от центра, а ) = 1, 2 для цилиндрических и сферических волн соответственно.
Гл. 6. Гааовая динамика Характеристические уравнения почти такие >ке, как и $ 6.7; дополнительный член ури/г не содержит проивводных и, следовательно, не влияет на выбор подходящих ликейшах комбннацнй. Теперь ати характеристические уравкевия прикипают в>щ — тй ра — + у — = О иа — = и ~ с, (6Л35) Лр Ои .
Оааи Ог в ж ж Р— са о =О на — =и. д к в (6.136) Беаобидный на вид дополнительный член в уравнении (6.135) не поаволяет получить решение типа простой волны. Для иазнтропического течения уравнение на характеристике С имеет вид л > в .аи Лг — ( — а — и)+/ — =О, — =и — е. (6.137) ж(т > / ' ж Его уже нельвя рав и навсегда проинтегрировать и получить простое соотношевие между с и и. Вследствие стого не существует точных решений, соответствугощих простым волнаы плоского течения. Можно испольаовать некоторые приблиягенные методы и получить аналогичные решения, но сни ограничены слабак>и воамущениями.
Такая прибли;кенная теория и будет построена в гл. 9. Однако, испольвуя другой подход, можно найти класс точных решений, которые окааываются удивительно напевными. Система уравнений (6.132) — (6.134) иыеет специальные автомодельные решения, для которых все параметры течения имеют вид ум/(г/1"). В силу этих свойств течения, уравнения в частных проиаводных сводится к обыкновенным дифференциалышм уравнениям с неаависшюй переменной г/у".
Задача о сильном оарыос Одно ие наиболее иввестшах автомодельных решений описывает вврывную волку, выававную сильныы варином. Оно было найдено Седовым, а также неаависимо Тейлором и фон Ноймана>> в связи с исследованиями нарыва атомной бомбы. Внд этого решения можно >шйти на основе аналиаа раемериостей. Во-первых, предполагается, что взрыв можно идеаливировать ьан вневапмое высвобождение некоторого количества энергии Е, сосредоточенной в точке, и что его единственный равмерный параметр, вводимый вврывом.
Во-вторых, результирующее воемущение считается настолько сильным, что начальное давление и скорость наука для окружающего воадуха пренебрежимо малы по сравнению с давлеиннми и скоростями вовмущенного течения. Тогда единственным раамерным параметром, связанным с окружающим гасом, окаеывается плотность р . В частности, применены соотношения (6.ИО) 6.16. Автомсдельные решении для сильной ударной волны, так чго за ударной во>шой, распро- страняющейся со скоростью //, к = — (/, р = г+ рс, р = — рс(/з. (6.138) 2 г+т 2 + ' г — 1 ' + Анализ размерностей основан на том факте, гго параметрашг задачи являются тольно энергия Ь' с размерностью /)/Азу-з и плотность р, с размерностью МЕ з. Единственный параметр, связанный с размерностями длины и времеша,— зто Е/рс с размерностью Е>Т * или некоторая функция от него.
Рассмотрим теперь различные величины, встречающиеся в процессе ре>венка. Течение опере>кается ударнов волной прв г = В (г). Поскольку функция В (г) имеет размерность длины, то единственно зозмонгная форма ее зависимоств от Г такова: В(г)=Й( е ) "г*", (6.139) где Й вЂ” некоторое безразв>еряое число. Затес> из условий на разрыве (6.138) следует, что давление и скорость сразу за ударной волной равны или, что то же самое, р = — — ЕВ ', и = — ( — ) В >'.
(6.149) 25 Г+т ' 5 у+1(зс Как обычно, приходится уд>шляться, что, исходя иа простого анализа разыерностей, >южно получить столь ценную ивформацшо. Можно продолжить ввалив размерностей и установить функциональный вид н, р и р во всем поле теченвя. Поскольку не существует независимых масвпабов> длины и времеви, связанных с нараыетраыи задачи, а коь>бинацвя Е/р, вмеет размерность ЕеТ ', любые безразв>ервые функции от г н 1 могут зависеть только от комбинации 4 = Е>з/(регс). Мы будем использовать величину д (г) в силу (6.139), пропорциональную 4 '>а Тогда, например, пели- чины кт/В, Р/Р, Рст/(РсВз) ЯвлЯютсЯ безРазмеРиыми и должны зависеть только от $.
Следуя Тейлору (4), поло>ивы и=- — — >рге), р=-рефф, р=( — — ) — /15), (бд41). где множитель з/с включен потому, что отношение 2В/(бг) представляет собой скорость ударной волны. Существуют другие. Гл. б. Гавовая динамика вквивалентные форыы, и выбор с У (ь) р .= ОеП (а) р ( 6 с ) ре( (ь) удовлетворяет рассыатриваеыой общей схеме. Очевидна свявь й — Г, ф — а, 1 — уйР. Ударная волна находится в точке ф =- 1 и имеет скорость П, рвв- иую Л = йй((ос2), так что условия на рвврыве иыеют вид (р(1) = —, ф(1) = —, ((1)= —.
(6Л42) 2 т-~-1 22 т+2' т-т' т+1' При подстановке выраткений (0.101) в уравнения движения получаются три обнхясееяяыл дифференциальвых уравнения первого порядка для функций ~р (6), ф (6), ((В). их следует проинтегри- й2 1,0 О,В в. О,В 0,4 ,О -~,О Ф ДО 0,2 0,2 0,4 О,В О,В 1,0 Рос. 6.6. нармвреваяаме скорость т, ояотность ф и вавлмюе 1 дяя сяаьвато аерыва (яе Тсалору). в(с Е=- ~ ( — "+ — рих) (ятгебг, ~т — 1 2 что дает 1 = бя) ' ( 26 ) $ ( ~, + — ' фр х) Р бы е ровать в пределах от 6 = 1 до О = 0 с начальными усчовиями (0.142).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
