Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Строго говоря, постоянные и р зависят от характера движения, например от того, явдяется оно иээнтропическим или иэотериическим, но для большинства материалов эта разница мала. (Хорошее ~ементарное наложение термодинамики имеется в книге Ландау и Лифшица (3), стр. 18.) В силу равенств (7.14) — (7.16), три уравнения для сммцений 41 имеют внд 2Ю Гл. 7. Волновое уравнение дольные волны (воляы сжатия), распространяюдциеся со скоростью ((ь + 2р)/ре)'гз, в то время как уравнение (7М9) описываю поперечные волны (волны сднига), иыеющие скорость (р/ре)'1ь Эти две моды связаны посредством граничных и начальных уело. вий, накладываемых иа $1 или на рги и полное решение аадачп требует гораздо большего, чем просто решения волнового уравнения.
Элдювремагяитные аалвы Уравнзння Максвелла для непроводящей среды С магнитной проницаемостью р и дизлектрической проницасмостыо е записы- ваются так: — +зухЕ=О, е — = — зухВ, дв дц 1 д1 ' д1 зу В=О, У.Е=О, где  — магнитная индунция, а Š— напршкенность електриче- ского поля. Следовательно, — = — — ту %' (В Х В) = — тр'Гз дзи 1, 1 ди Ю ' еа аналогичному уравнению удовлетворяет и Е. Все компоненты векторов Е и В удовлетворяют волновому уравнению со скоростью расвространения с =.
(ер) Ик Однако коьпюненты связаны друг с дрдтом условиями Ы .Е =- О, тг.В =- О, и, кроме того, дополяитзлькые связи накладывают краевые и начальные условия. Позтоыу решение задачи снова не сводится только к решению скалярного волнового уравнения. 7.2. Плоские волны В случае одной пространственной переменной л волновое уравнение имеет вид Вп = се~Р„„. Если ввести характеристические координаты сг =. л — Ш, () = л -(- сд, то оно сведется к — =О, и общилд редпением явится т = ( (а) + б ®) = ( (з — сг) + б (л + Ш), где г" и у — проиавольиые функции.
Эти произвольные функции легко онределяются по заданным начальным или граничным 211 7.3. Сферические волны условиям. Для вадачи о распространении сигнала с условием <) <р„= — () (С) при х = О решение имеет вид <р= — с('), (1 — — ), (7.20) где ч<(с) — первообразная функции <с (с). Для садачи с начальными условиями <р = <ре (х), <р, = <р< (х), С = О, — <ю < х ( со, решение имеет вип + < б< 2 (йе(х — сС)+<до (т+с())+.т 3 <р, (о) ч.
(7.21) 1 1 7.3. Сферические волны Для волн, симметричных относительно начала координат, имеем <р = <р (Л, С), где Л вЂ” расстояние от центра (качала координат). Волновое уравнение сводится к счедующел<у: 1 Зтч дау ! 2 ду Щ дш длс + К дл ' Любопытно, что ато уравнение также можно ааписать в виде ! дс(дт) дс(ящ Р дй длс что совпадает с одномерным волновым уравнением. Общее решение имеет следующий простой вцц< 1(Я вЂ” со, Х(В-рос ч= к + (7.22) Для источника, генерирующего толы<о уходяШие волны, решение принимает вид С ( — со В где 7 определяется свойствами источника. Обычно их удобно аадавать в виде ()(С)=-1!<а4яНс дт . (7.23) я о Ото цвет () (С) = — 4.
7 ( — С) ) Условие берегся с аедавасй функиией <р„, а ие <р лля улсбстеа сравнения с фувавваиа источника Хл» сферических в цвлвнарвчесеих волн. Гл. 7. Волновое уравнение ΠΠ— н(.! 4я Л (7.24) В акустике др/д)! — радиальная скаростгь а () (т) — объемный расход жцакостн. Для вздачи Кегли, хотя она и состоит всего лишь в определенши функций г' и б в выражении (7.22), решение оказывается более итеросиыи, чем мо»кно было бы ожк»мть. Расс»»атрим в акуттнческом приближении «задачу о взрыве шарам пусть давление внутри шара радиуса Л» равно р» + Р, тогда кэк давление снаруки равно р». Гаа первовачачьно цакоитсн, н обочочка шара взрывается в ыомент времени т = О. Согласна (7.3) и (7.4), начальные условия можно записать в виде — 7!«Л» ,р — Еэ О, Л~у(„.
Следовательно, решение )(л — »»и, г(я-(-»»»! л + я (7.25) должно удовлетворять условиям ((В)-(-у(Л)=О, О«В<,, — Л, О«В<Лм (7.26) 7'(Л)-д'(В) = Л» «Л < с" ° Этн условия определяют 7 и д для положитыьных значений их аргументов. Однако в решение (7.25) входят значения 7 н дчя отрицательных аначеиий арг)мента.
Е)едостающее условие свя- аано с поведением решении в начале координат. Поскольку в начале координат источник отсутствует, мн имеем !пп Л» — =О, эе в-э откуда 1 ( — а»4) + у (аоО = О, О < ! < ос. (7.27) Это условие определяет !' длн отрицательных значений аргумента во известным значениям д для положительных впачений аргумента. Решая уравнения (7.26) и (7.27), получаем — — (и — Л,) В»<4<В» -(' 4 Р ((») 4»тп» О, В»<)5) — — — ($» — Л:), 6<2«Вм б (5) — 4 е»ао О, В»<4. 7.3. Сферические волны 213 Итак, формула для возмущения давлении имеет вид Р— /в =- — эд ((/( —,г) Р+ (и+ цд) О), где 1, если — На< — аег<Вэ, Р= =(' О в противном случае; 1, если О < Н+ лог < Нм С= О в противном случае.
Изменение давления со временем изображена на рис. 7.1. Для точки В ) Не давление скачком возрастает на РНо/(2Н) Р Ро Р Ро — и я гя яо — — и ая лд гя Рзс. 73. Карп~на дазэенвя в ээваче о взрнае мара. в моыевт времени г =. ( — Н )/аэ, затем избыточное давление линейно убывает со временем, достигая величины — РНе/(2Н) в ыомент времени г = (В + Н„)/а„а гютом скачком возврещаегся к нулю. Дзиге при В =- Не скачок на фронте волны равен голько Р/2, остальная часть Р/2 от полного скачка Р поглощаетсн идутцей к центру волной разрежения. Для внутренних точек Н < Вэ скачкообразное изменение давления, уменьшакацее исходное значение Р до Р (1 — Нэ/(2Н)), щюисходит в момент времени г == (В, — В)/ам затем избыточное давление линейно убывает со временем, достигая величины — РНэ/(2Н) в момент времени Г=-(Ле + Н)/аэ, а потом скачком возвращается к нулю.
Заметим, что в центре Л .= О изменения бесконечно велики, но весь процесс занимает бесконечно малый интервал времени) Интересно, что всюду неотрицательное возмущение давления нриводнт к уходящей волне с равными пологкительнон и отрицательной фазами. В действительностп такой профиль в виде дг-волны типичен для двух- и трехмерных волн. Причины этого можно выяснить следующими рассуждениями. П ухаджцей волне Гл. 7. Волновое уравнение давление и радиальная скорость выражавзтся формулами Рааау ~Я вЂ” аг) Р Ро= В Р ( — ое Пн — с д ла Во-первых, следует отыетить, что для любав волям, у которой квк р — ры так и и обращаются в нуль после прохождения волны, как(', так и) должны обращаться в нуль. Поэтому Г доажна принимать нэн полоаъмгельвые, так и отрицательные значения, чтобы интеграл от нее, равный В обращался в нуль.
Во-вторых, рассмотрим объемнмй расход через сферу больпюго радиуса В. Для бо.чьших значений В этот расход составляет 4яВ'и 4вВД( — ааг). Величина расхода растет с увеличением В. Если бы Д, которая пропорциовазьна давлению, была бы всегда положительной, это привело бы к бесконечно большому оттоку жидкости при В -ь оа. Однако для Лг-волны еа большиы уходнщим вотоком иеыедленно следует уравновешивающей болыпой входящий поток, тан что суммарный расход конечен.
Для птоских волн ни один ив втих эффектов не возникает и полонаительное возмущение приводит н волнам с положительаагомв Р— Ро и и. 7.4. Цилиндрические волны В своих классических исследованиях волнового уравнения Адамар укааал, что общий характер решения различен для четного и нечетного числа пространственных измерений.
Точные утверждения будут приведены ниже, но можно грубо сформулировать результат, сказав, что иметь дело с нечетным числом намерений проще, чем с четным. Поэтому трехмерный случай сферической симметрии был рассыотрен первым, и цилиндрическое волновос решение будет выведено ив сферического волнового решения. Здесь мы получим решение только для уходящих волн. (а(ы начнем с регпения (7.24) для точечного источника. Предположим, что такие источники распределены равноагерно вдоль оси з с плотностью д (() на единицу длины (см. рис.
7.2). Полное вовмущение, создаваемое втим распределением, является, очевидно, функцией только от расстояния г до оси з в от вреаюни ц это и есть пилиндрическая волна, генерируемая линейньги источ- 782 Цилггндрическне зплны викам. Полное аоаь«ужение равно ( ей — н)1ж зп) к' '- ( еп — д(«1п« зв) Н « где Л=- ) гз-(-зз. Решение можно записать в различных формах. Подставив в интеграл з — — гзЬ ь, Л = г сЬ ь, получим 788«)з гр(г, г)= — — ) д(с — «Ь"ь)Щ.
(7.28) « п С другой стороны, положив С вЂ” — = т), и= с ) г(С вЂ” т))з — гз.'сз, В получим Ри«. 7.2. Детали п«с«раею и дпи зпи йв«г«п«т«чипва. или «р= — П'," ( ы ) с-«"', воскольку интеграл совпадает с одним из представлений функдии Ганкеля. Зта решение можно было бы получить проще, решив «р (г, с) = — — ) — (7 29) р п(я)ач 2в ) )«(г — «1)з — «гжз ' Формула (7.28) удобнее длн вычисления производных «р и, следовательно, для непосредственной проверки справедливости волнового уравневв». Легко покапать, что с (д„+ — щ) — р = — ( — „( — Ь(д (2 — — сЬ()) «(гп= Ъ ==П ( —,' ) (д'(с — — ' Ь~)).
Кали д' (2) -ь О достаточно быстро при С -ь — аа, ваприиер, если д тождественно равно нулю прк 2 ( О, то этот предел равен нулю. Для периодического источника д (с) .= и «"', чтобы удовлетворить условию д (2) — г О при 2 — и — со, будем считать, чта ы имеет малую положительную мнимую частгп незначительно иаменяющую решение за конечные интервалы време«а«. Согласно (7.28), рюпенне для периодического источника имеет вид «р= — — ( са ию«псйфе-"««Ь 2 2п 293 Гл. 7. Волновое уравнение волновое уравнение методом равделения переменньп1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
