Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Оно описывает двюкение поверхности Я =- 0 в х-пространстве. Нормаль к поверхности задаежя единичным векторам 1 с компонентами — Б„,. (олТ ' Нормальную скорость распространения фронта можно вычислить, заметив, что близкие тачки (хо Со) и (хо+ 1бг, Со+ бг) лежат па поверхности при условии, что Я(хо,со) = О, Я (хо + Гбг со+ба) = О. Стегала с точностью до второго порядка по бг и бс 1сЯ„.бг + Ясбе == О, и нормальная скорость равна !йп — = — =- — . бг — ко Ко бг Сок ) Нз) (7.63) Таккгг обрааом уравнение обкапала утворводает просто, что волновой фронт имеет нормальную скорость, разную ~с.
Для дальнейжего построения решения удобно искать волновой фронт в виде Б (х, с) = =с — а (х) †. — О. (7.64) Семейства поверхностей а (х) =- сонат определяет последовательные положения волнового фронта в х-пространстве. Уравнения (7.60) и (7.61) принимают вид с а* =- —, ог (7.65) (7.66) Нелинейное уравнение для а можно регоить методом 1 2.13, интегрируя вдоль характеристик. Если ввести ро — — а и записать Н его уравнение в виде г с Н вЂ” ср; '— — с =О, 2 ' 2 та характеристики, определяемые уравнениями (2.86), будут кривыми в х-пространстве с направлением ٠— = ср,. Нормированный таким образом параметр г явлиется расстоянием вдаль характеристики, поскольку иа уравнения (7.65) следует, что с*рг = 1.
Полная система характеристических уравнений Гл. 7. Волновое уравнение (2.86) — (2.88) имеет вид г, гр, ш дг ' Из ' Иг с ' — = ср~ (7.67) Эти уравнения можно вывести непосредственно из (7.66), учиты- вая, что к д д — = срг — = сс„—, ш в*; *г згт и не ссылаясь на общие формулы. Поскольку вектор р; = — а„, ортогонален вочновому фронту а =- согшс, первое из уравнений (7.67) покааывает, что лучи также ортоговальны; они образуют траентории, ортогональные сеыейству волновых фронтов о = сопз1. Второе уракнение покезывает, что вектор р постоинен вдоль пуча; следовательно, постоянно и направление луча ср, а сами лучи являются прямыми линиями.
Тогда лучи можно построить, начертив сев~ейство прямьгх, ортогональных исходному волпавому фронту. Третье уравнение в (7.67) при интегрировании дает г о= —, с ' где з — рагстоипие от исходного волнового франта. В произвольный момент времени 1 ) 0 волновой фронт Г = о = з)с иаходгпся на расстоянии сг вдоль лучей. Это в точности совпадает с пастроепием дли точного решения Пуассона, представленным на рис. 7.6. Если х, — точка на исходном волновом фронте, а 1(хз) — вектор единичной нормали в атой точке, то формально решение системы (7.67) таково: х =хо +1(хВз р=с ~1(хз) о= Это неявное вырюкевие для о (х): по аадагшому х исходная точка хз и расстояние з в принципе определяются из первого уравнения; Говда о =- Б/с.
Данные результаты присущи волновому уравнению. В общем случае лучи, определяемые как характеристики уравнения зйконала, не явлин~си ни прямыми (неедпородная среда), ни ортогональными к волновому фронту (аниаатропная среда). Уравнение (7.66) вредставляет собой линейное уравнение для Фм и его характеристииами служат те же самые лучи, уже введенные для уравнения айконала. Его можно переписать в следующей характеристической форме: — — = — со„„, 1 аФз 1 (7.68) Фо Ь 2 и в принципе опо злемеитарно интегрируется, как только опрецелева о (х). Ясно, что функцию Фо следует находить интегрирова- 7.7.
Геометрическая оптика пиен вдоль кучей я что ее изменение как-то связано с расхождением лучей, измеряемым а„„. Но учитывая неявную формулу для с*с а (х), лучше поступить несколько иначе. Заметик сначала, что уравнение (7.66) можно записать в дявергентпой форме — (ае сре] =- О, дес (7.69) а эта подскааывает, что нечто сохраняется, и наводит на мысль о возможности нспольаовать теорему о дквергепцнп. Рассмотркк трубку, обрааозанную лучами, лежащими ыепсду исходным волновым фронталс б'ес а = О и волновым фронтам Уса = с Ркс. 7.7.
Военозке фроапс к трубка лучей е геояе рс се кой окпосе. в момент времени с, как показана на рнс. 7.7. Правнтегркруем (7.69) по объему втой трубки лучей и используем теорему о дивергенция; тогда мы получим 1 .*= аса„бу,*Ж.=О, где и — внешпян нормалек а интеграл по поверхности берется по боковой поверхности Х п основаниям г"'е, У трубки лучей. В данном случае лучи ортогональвы волновым франтам а = сопзь; следователыю, п,а = О на Х п зтот вклад выгадает. на р векторы п н сук имеют одннаковые направления, так что кса„.=)туа) на Р Гл.
7. Волновое уравнение и из уравнения эйконала (7.65) ) ыа( = с-Ч На Уо векторы и и >7а имеют противоположные направлевмя, так что яп = — ) ча(= — с ' на Ко. В данном случае с постоянна и мы имееы ~ Фобу= ~ Ф(>«)б. ел уо Если трубка лучей берется очень тонкой и иыеет малые плошади паперечнога сечении Лэ(о па Уо и Л:.б на д', та с точностью до второго порядка это можно переписать как Ф,' (х) Л б =- Ф,* (х,) Л (, или — в предеие при Л.йо, Лей- 0 — как гсо(х) ( л.«) — >!з (!.
.70) Юо( о> (а «,У Обычно равенство (7.70) интерпретируют в терминах патока энергии вдоль трубки лучей, особенно в контексте высокочастот- ного приближения вида (7.62). Через каждое поперечное сечение трубки лучей имеется осредненный поток ввергни, и без подроб- ных вычислений нона, что зтот поток пропорционален 0>„'ЛН. Такик образам, уравнение (7.70) анвивалевтна «закону» постоян- ства патака энергии вдоль трубви лучей.
Для жюднорадной среды (как будет показано ниже) у Ф,',Л «появляются дало>шнтельные множители, зависящие от среды, по закон постоянства потока эяергии остается справедливым. Эта на самом деле общий результат геометрической оптики для недиспергирующих волн, и он часта испольэуетоя непосредственно для определения иаменекия амплитуды без проведения наягдьш раа подробных выкладок. Е(славино исследования по дисперги- рующим волнам позволили высказать общие саобрэже>п>я по дан- ному кругу вопросов; в то же время они привела к иаменевию точки зрения.
Появились более общие понятие «залпового дейст- вияо (которое в простейших линейных случаях представляет собой поток ввергни, деленный на подходшдую чаотату) и закон сахра- нешп> этага действия. В нашем случае частота постояш>а, так чта оба зенона совпадают. Вти общие вопросы будут обсуждаться в ч. П. Для плоских, цилиндрических и сферических волн твубвн лучей янляются прямыми паласами, клиньями и конусами аоот- ветственпо. Следовательно, для этих случаев л « «М« — =(, Фа=соней >...« '> «о — '' = г, Ф г-'>з, Вз Фо «с )Г л ло 7.7. Геометрическая оптика Это совпадает с данными о поведении вблизи волнового фронта Эли на больших расстояниях, полученными ранее иа точных решений.
В случае двух намерений при отсутствии цилиндрической симметрии мы имеем ГтЯо =- Эта, ЬЯ = (В, + г] ЛО, где В, — радиус кривнзпы исходного волнового фронта, а ЛО— стягивающий угол с вершиной в центре кривизны (см. рнс. 7.8). Р т. Г.В. Геометрия волновых фронтов в лрчея. (Геометрия лучей покааывает, что радиус кривизны волкового фронта на расстоянии а вдаль луча равен (Лт -Р г) и стнгнвающий угол остается равным ЬО.) Поатому Фе (х) / Лт ) т (в Фо (хе) (ЛР(-г ) В случае трех измерений из дифференциальной геометрии следует, что злемевт площади волнового фронта пропорционален гауссовой кривизне Лфа.
Этй„б.ф (Эт-) )()(а (,), где Лт и )(т — главные радиусы кривизны исходного волнового фронта. Счедовательно, Фе(х) ( л,д, ) ты Фе(хо) 1(лтф ) (~~~47 Кадетики В точках, где исходный волновой фронт являегсн вогнутым, лучи образуют огибающую, как покааано на рис. 7.9. Отта обычно имеет ааостренную форму, и область между двумя дугами трижды локрывзется лучами, что напоминает скледку на листе. Эта огибающая называется коусшияол. На каустике (поскольку на ней соседние лучи касаются друг друга) г(.4(г(.фе-т О.
В силу уравнении (7.70), зто означает, что на кауствке Фе-ь со. Гл. 7. Волновое уравнение Для задачи о волновом фронте этот результат карреввтен и его можно вывести ив точного решения волновото уравнения. По остается ли применимым само волновое уравнение — это уже другой возрос. В акустике, например, оно получается талька после ляиезриэацни и прн Фв са может окаэаться неверным Рис. 7.0.
Осрюсзакве кауспвки. нз-за нелинейных эффектов. В главе б будет обсуждаться нелинейное поведение ударных волн и можно будет утверждать (за искшочением, видима, чрезвьтвайно слабых ударных залп, на которых сильнее сказываются эффекты вявкости), что вогнутая ударная волна фокусируется и при этом уокорнетсн,избегая наложения. Для вмсокочастотных волн приблюкение геометрической оптики неприменимо вблизи каустики давке как приближение к волковому уравнению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
