Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 40
Текст из файла (страница 40)
! " б (г!) тн ) )гб а (7.40) 1(так, функцвн Ф„.н Ф, имеют одинаковый парадов и для давле- ния с точностью Ло членов второго порядка имеем о — оа л (г — яг) ! ас" )стяг (н4с) Опять следует отметить, что повеление вблизи волнового фронта н на больших расстолнвял мошно описывать одной общей форыулой. Если тело имеет острьгн носик с Л' (0) = е, то В (х) незла Лля малых х н тогда Р Щ 2за3гга при ф — ь- О. (7. 431 Поосдснис аблнои конуса Маха в но больших расстояниях Волновой фронт опрелеляетсн уравнением х — Вг =- 0; зто конус Мала, обрваующие которого составляют угол агс з!и (1!31) с осью х.
Когда (х — Вг)/(Вг) (( 1, нз равенств (7л32) п (7.33), лола;ным образам преобравоеавныг для сверхзвукового течения, имеем 7.6. Задача Коши н двух к трех измерениях На рис. 7.3 ивобрюкеиа типичная кривая г" (5). Появление отрицательной фазы типично даже для тела, имеющего форму снаряда, для которого тпнексивкость жточиика 77У (х) ие мекает анака.
Действительно, легко покаватгь что ~ Р(3)33=о, з и физическое объяснение в териинах потока масси аиалогичво объяснению для сферических вола,прив<декяоыу в конце З 7.3. Рис. 7.3. Ткпачвз» крввзя Р (б> дзя сверхавуаозого обтевзквк осесзквет- рнчвого тела. Мок;но заметить, по, согласно этой линейкой теории, компопеаты скорости и давление непрерывны ка конусе Маха. На саыом же деле возникает ударная волна, и мы встречаемся с важным явлением звукового удара. Этот эффект упущен, поскольку ок нелинеен. Теория звукового удара будет подробна ввучаться в гл.й.
7.6. Задача Коши а двух и трех памеренпях Один иа мвогочислевпых «интегралов Пуассона», встречающихсл в теории уравнений в частных производных, дает решение волкового уравнеявя с вачальиыми условиями ,р =,р,(х>, р, =гр,(т>, з; О. Оогласво идеям Адамара, трехмерная задача проще, чем двумерная, и мы начнем с кее. Как было показано при исследовании решенвя в ниде сферической волны в З 7.3, функция т а, е -."е — 'в=-а )х — В) Га.
7. Волновое уревненне является решением для произвольной точки $. Исходя из итыуятивных соображений, можно утверждать, что начальное возмущение, заданное в произвольной точке 4, создает такую сферическую волну,и предположить, что решение должно быть суперповицией всех таких сферических волн.
Итак, рассмотрим р(х, !)= ~ Ч(4) '[!" 4! "' Ош [740) Предполаган, что исходнып источник, определяющий 7, действует мгновенно, подажим в этой формуле 7 (Л вЂ” ст) ==- 5 (Л вЂ” сй, Тогда 3 Ч'[х, 1)=с! ~ ~ ту(х-~-с!!)в!аОНОНь. (7.50) с е Формально жо выражение явлкшся решением длн любой функции Ч'. Его можно такяте записать в виде инхеграла по поверхности т ф(, !)= — 1 Ч"ОЛ, ст е<о где Л (!) — сфера радиуса с! с цезпром в точке х. Для непрерывно дифференцируемой функции Чт, в силу (7.50), имеем Ч-ьб, ф,-е4яТ(х) при с-ь0.
Выбрав Ч' (х) =- Чт (х)/(4п), мм решиы задачу с начальными условняыи частного вида ф — ь0, ф,-черт(х) при ! — е0. (7.52) Решение имеет ющ (7.51) ,р(,, !)= —, ~ р,ОВ. 1 (7.53) еш Под знак интеграла внесена проиввольнвя фуакпия Ч' (4), поскольяу в зависимости от начальных условия сферические вопны, выходящие из различных точек 4, !соотнетствуют источникам равной шпенсиниости. В выражении (7.49) удобно ввжти сферические координаты (Л, О, Ъ) с полюсоы в точие х. Тогда получаем Ч(х, 1)= ~ ~ ~ Ч" (х,' Лй) 7[Л вЂ” сз)Ле[пООЛООс[Х, есс тде ! — едявнчный вектор, который направлен нв х в $ и который в декартовыь координатах записывается так: 1 = (в1п 0 соз а, юв О в!и а, соз О).
7.6. Задача Коши в двух и трех измерениях Оио дает полный вклад мгновенных источников, присылающих сферические волны в точку х в момент кремами 1; все оии находятся нз расстоянии сс, и их вклады, перемещаясь со скоростью с, достигают точки х в момент времени 1 (см. рис. 7.4). Заметим, что все точки, лежащие внутри сферы Л (С), в принципе мотли йы енсе Б (1) Рлс. 7.4. Детютз построения решевзз Пузссокз залечи Козон Я вЂ” аолзс»ъ начззьзога зозиушзвнз.
давать вклад. Е)о у сферичесннх волн нет «хвоста», источники действуют мгновенно, и вклад каждого длится лишь мгновение. Для двух измерений зто улсе пе так. Во всяком случае, выражение (7.53) форыально является решепнеы задачи с начальными условиями (7.52). Ето можно также переписать в виде ф (х, 1) = сСЛУ(ыз), тде йу(7ч) - —, 1 зн] означает среднее значение функции р по сфере Я (1). Длн того чтобзз удовлетворить второй половине начальных условий, можне положить фунтсцию Е' в (7.49) равной б' и далее действовать так 1ке, как н зьпле. Однако купле испольвовать прием, который часто окааызается полезным.
Зели ф — решение уравнения в частных пронзнодных с ностоянвымн иоаффициеятами, та решением будет и проивводная от ф по с или по х. В данном случае заметим, чю д41з, 1) дз является решением волнового уравнения, если ф (х, 1) выражаетсл формулой (7.50). Далее при 1 — эО, согласно (7.51), имеем )( = фз — з 4язу (х), Хз = фзз = сззхзф-». 6. Гл.
7. Волновое уравнение ДлЯ того побы )à — с- сос (х), У, — с. 0 пРп à — )- О, слеДУет положить )Р (х) = 'Га (х)/(4п) и ваять Х(х, Г)=-,о („'„, ~ р,бб). вп) Поляое решение длл проиавольных начальных условий, таким образом, имеет вид 7(х. В= — „( ~, 1 45йю~+ — ~ р «у= ой) В)О =. — (сгйу [с)с]) ей с)м (рс). о (7.54) Проверка рпиенил Осталось проверить непосредственными вычисленпял)и, что выражение (7.50) удовлетворяет волновоыу уравнению. Сразу получаем, что ф„= 1 ) .
з1 Ойойй= — ), 45, ос%'14) . 1 Г оачс о(сс сс е в оса где $ =- х + сс). Вычисление производнь)х по Г требует несколько более сложных выкладок. Имеем фс= — — +е211 1 Г,— е[пйс(оа,= — + — 1 Г) — аб= с = с с 3 о(с с в Зс О = — + — 1, Л', ,) 1 Г Оет с с с д4( )'и) где )'(Г) — объем, ограниченяый сферой Я (1). Поатому )О Рс 1 Г РЧ" с Г дсч" ф) с = — — + — — ) —, с(Р + — ) —, сбу, и с сс 3 о(*, с ) оВ ,се В)О что сводится к с Г ГЛЧ" ) =с 3 Щ Бс с) е силу выражения для фо Таким образок), фы = есф„„,, по и требовалооь. В этих рассуждениях предполагают, что )Р двавсды непрерывно )ифференцируема.
Для того чтобы выражение (7.54) было осыысгеяным, необходимо тольке, чтобы функции срс и )р были интегри- 7.6. Задача Коши в двух и трех измерениях руемы. Можно распгирнть понятие репгепия так, побы включшь все случаи, для которых выражение (7.54) имеет смысл. Н частности, если фупккии гре и гр являются кусочно гладкими, то (7.54) опРеДелено н гР— г- гр„(х), гу, -ь Рг (х) во всех *очках гладкости. Для вадачи о нарыве гпара ив 4 7.3 ф„=- О, гр, — — Р/ро в негодной сфере. Это пример кусочно гладких пачальшгх данных. Было бы интересно прн помощи интеграла Пуассона построить решение не только для гферически симлгетрнчного случая, но н для проиввольной области начального давлеяия.
Это предоставляется читателю. Волновой 8бронш Гели ненУлевые вначениа гро (х] и Р» (х) сосРодоточены в огРаниченнай области В, как показано на рис. 7А, то решение в праиввольной точке вке Л равно нулю до тех пор, пана В(8) впервые ве пержечетея с областью В. Ясно, что вта пронвомцет в'тот момент, Рве.
7.б. Псстроеню волнового фронт» юш ваввужеввв, первовачальво сосрелатоивного в области я. когда с8 станет равным кратчаюпеиу расстоянию от х до гранины Л. Зто кратчайюее расстсяние откладывается по нормали к граничной поверхности области Л. Обратив проведенные выше рассуждения, можно определить волновой фронт в момент времени 8. Построим все нормали к граничной поверхности области Л и отложиы расстояние сс вдоль каждой норыали.
Поверхность, обравовавная полученными точ- Гл. 7. Волновое уравнение кали, булет волповылч фронтом. Заметим, что там, где поверхность Л вогнута, волновой фронт через некоторое время образует складку (см. рис. 7.5). Это построение будет изучена ниже, когда (ючь пойдет о геометрической оптике. Возмущение в лроиввольной точке х вне Н исчеаает, когда сфера Б (Г) становится настолько болыпой, что Н целиком лечкит внутри ее. Таким обрааом, в трехмерном пространстве первоначальное воамущение конечных размеров приводит к возмущению, которое длится только в течение конечного интервала времени. «Хвост» отсутствует. Деумер1чаз задачи Решение для даумерного распределенвл начальных аначеннй маячка рассматривать нак частный случай, когда чр (х] и ~р (х) не аависят от хк Предположим, что нелулевые значения ф, (хп хз), ю (хг,х ) сосредоточены в ограниченной области Н„(х,хз)-плоскости.
С трехмерной тачки арелия онн ааполнягот цилиндр Н с образующими, паралчельными осн хю и поперечным сечением Л . Исходное возмущение уже не будет иметь калечные размеры. Для точки х вне цилиндра Л волновой фронт строится так гке, как и раньше, но сферы Я (1) с цевтрами в точке х будут пересекать Н для всех молчентов времени после первого пересечения. Это приводит к чхвостуз у двумерных волн и наглядно демонстрирует разницу между двумя н тремя намерениями. В реатенин (7.54) аначелие чр(х, г) не должло аавнсеть от х .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
