Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Согласно (7.78), р = — п9с=— Го Ро о Р Рс откуда Р,$'ыйс( = — 'сг.я. рс Таким обрааом, равенство (7.79) покавывает, что поток энергии остеетсн постоянным вдоль трубки лучей. 7.9. Аннзотронные волны Когда в среде имеются выделенные направления, уравнение эйкоощла может быть несимметричным по а .. Всчедствгое этого лучи, определнемые как характеристики уравнения эйкснала, уже пе ортогональны волновому фронту.
Если считать, что среда однородна, так что х не входит явно в уравнение эйконала, то уравнение эйконала можно ааписать следующим обраэом: Н (Ро, р„р,) = — О„р, = с с Характеристическими уравнениями в этом случае являются — о=н, — =0, — =рн . Нос Ырс За (7.8$) На лучах величины рс постоянны, поатому направления лучей Нос постоявяьс и лучи являются прнмыми линиями. Однако направления лучей ортогональны волновому фронту тогда и только тогда, когда Нр орс, 7хй Дниаатропные волны Это верно тогда и только тогда, когда Н нредставляет собой функПию от р", -~- р, '+ р,', т.
е. в ивотропном случае. Простой пример аниаотропии дает волковое уравнение в движущейси среде. Если среда имеет скорость Н в направлении оси х, и если ае — скорость распространения в покоящейся среде, то «1 (Символ с аареаервирован для нормальной скорости волнового фроьпа, которая не равна а,). Уравнение эйкоиала имеет вид ас = —,(1 — Са„,)', (7.82) и мы полагаем Н= 2 (р'; — а,'(1 — Срь) ).
Направление луча определяется соотпошенпяыи Щь Гй Г С П«\ Х« 'Гз щ «+( е«! хх " ж Оно, очевидно, не совпадает с направлением нормали р я волновому фронту. Длн точечного источника волковой фронт явлиетси, Рис. 7 12. Ныгвоэон фронт и аучи иан анус«носового и«в«унеси н деви уыеасн сасне. очевидно, сферой радиуса а Г, снесенной вива по течежпо иа расстояние ГСГ. Лучи пакаваиы на рис. 7.12. То, что лучи не ортотональны волновому фронту, несомненно, сначала напоется удивительным. Интуитивное представленне, что волновой фронт движется по нормалям, естественно,и как следотвие ыожно ожидать, что артагавальные траектории играют в геометрии движения основную роль. Но это совсем не тая.
Дела в том, что лучи свяаапы с распространением энергии, и ни скорость, пи направление их ие облавны совпадать с нормалыгой скоростью яолновато фронта. Это первое проявление в ограниченной форме важного рааличия между фааовой скоростью и групповой скоростыа. В общем виде это равличие будет обсуждатыя в гл. 11, и более подробное ивученне лежащих в его основе понн- тий мы с«ока отложим.
Гл. 7. Волновое уравнение Вернемсн к общему случаю системы (7.8!). Поскольку величины р, постоянны, уравнении интегрируются. рассмотрим случай точечного источника, расположекногь в начале «оорданат. Пусть ь — расстояние ат источника; тогда решение системы (7.8!) имеет вид (7.83) где ! — единичный вектор, направленный вдоль луча и имеющий компоненты 1 (7.84) ~'н,, ' Семейство лучей получается варьированием р, по всем аначениям, удовлетворяющим уравнению и (рн рм р,) = О. (7.85) Каждый выбор р, определнет луч, и в момент времени 1 вояновой фронт с = 1 находится на расстоннии 1 ВЕ1 (7.
86) вновь луча. Координаты соответствующей точки волнового фронта равны х;= — '1; (7.87) М' намекая параметры р, рм рм удовлетворнющне уравнению (7.85), получаем весь волновой фронт. Подставляя в (7.63) приведенную форму Я = — ! — а (х), получаем для нормальной скорости волнового фронта следующее выражение: 1 1 (гс! р В сичу етого, единичная нормааь к волновому фронту нмеет компоненты н, =срн и угол р между векторны ! и нормалью определяетсн уравненпевг соа р =- 11н1 =- с11р1.
Поэтому (7,86) можно переписать как а= (7.88) соа р Вщщовой фронт движетсн вдоль луча с увеаиченной скоростью с/соа р, а его скорость вдоль нормали равна с. Иногда в качестве параметров удобнее испоаьаовать не р, рм р, а с =- 1!р и едииич- 7.9. Апиэотропяые волны 249 ную нормаль лс =- сро Тогда уравнение эйконала (7.85) определяет с как фуннцию от п.
Эта функция с (и) описывает апиаотропную среду и геометрию лучей и полностью определяет волновой фронт, Такое описание особенно удобно для влосвих и осесимметричных эадач. 9(ы описываем эти случаи в переменных (х„х,), причем в осесвиметричном случае переменная х, является расстоянием от оси симметрии. Нлсслис и охспчметричяыс задачи Пусть нормаль и обрааует угол ф с осью хб тогда уравнение эйконала определяет скорость распространения в виде с =- с(ф). Чтобы описать лучи и волновой фронт в терминах с(ф),необходимо найти выражение для направленного вцоль луча единичного Рпс. 7ЛЗ.
Гееметраа аоласвсго фрыгеа, лучсе а парижей е мнюстрсппсй среле. вектора ! как функции ат с (ф). Окааыааетсн, что удобнее всего найти угол р между вектором 1 и нормалью и (см. рис. 7,13). Поскольку 1 имеет направление дН(др и и имеет такое же направление, что и р, этот угол можно найти, проведя рассуждения в р-пространстве. Сначала представим вектор Нр, в р-пространстве в полярных координатах р к ф Он имеет компоненту дН)др в направлении р и компоненту дН((рдф), перпендикулярную к р. Отсюда 199=а — — ' т ан,ар р дтодр ' (7.89) С помощью функции с (ф) можно написать энвивалеит уравнения эйкопала для Н (р, ф): Н = рс (ф ) — 1 = О. Следовательно, «(9)" (7.90) Это основная формула, свяэьаающая направления векторов 1 и и.
Гл. 7. Волновое уравнение 7!учи определнютсв равенствами хг = — ь соа (р +ф)1, х„= аа1п (р + ф)!. Волновой фронт (7.88) находится на расстоянии (7.91) вдоль луча с перел~стром ф Следовательно, в декартовых координатах волновой фронт определяется ревенстваыв х,= — соэ(рч-ф), хе= мп(р+9). с(д)Г, с!7)г осер ' сеав ' Исключив р с помощью формулы (7.90), после несложныл преобравований получим х, = (с(ф) соьф — с'(ф) ыпфР (7.92) х, = (с (ф) юп 9+ с' (ф) соаф)1.
(7.93) Соответствующая геометрия попавана на рис. 7ЛЗ. йюрь~улы (7.92] и (7.93) мпкпо вывестн иначе, ваметив, что волновой фронт лвляетсв огибающен элементарных плоских волн х, сов ф + х, е!и ф = с (ф)1. Такая огибающая находится совместным режением этого уравнения в урааненив, полученного иа него дифференцированием поф — х, в1в ф + х, соа ф = с' (ф)!. Рещение имеет вид (7.92), (7.93). Этот вывод проще, но он огранпчен однородной средой и не выявлнет каких-либо свойств лучей. Мы предпочлп обьединить все случаи одним методоы, а имелво методом характеристик для уравненил эйковала.
Иыпачник е деижре(сйсл среде Чтобы проиллюстрировать полученные реэультаты, применим их к уравнению (7.82). При р = сое ф(с, р, == ып ф(с уравнение эйнонала дает Следовательно, с(ф) = Исааф+ее для уходящей волны. Волновой фронт (7.92) — (7.93) описывается уравненияии хг =- (ы + ае сов 9)Г, хе = (ае егп 9)1. 7.9. Аниаотропяые волны Это окружность радиуса арг с центром в точке, смыцениой иа (/г вина по течению, как и требуется. Магнитная газовая динамика г'ч ог гя — — (агжбг) —..
~„'Д(+агбт —.(/ад=-О. г Уравневие ачконала имеет вид 1 — (лг + б*) р' + аЧРргрг = О. (7.94) Иалагая р, =- сов 9/с, р = 1/с, получаем с' — (аг + бк)сг + а*Ьа соагф = О. (7.95) Существуют два расходящихся волновых фронта (быстрые н медленные волны) в соответствии с увеличением порндна уравнения (7.94). В данном случае удобно работать в полярных координатах; в силу (7.91), волновой фронт находится на расстоянии г= г Ьгг'г з-сг вдоль напрааления 5(ф)=р(9)19, 189= — ',,',„",'. (7.97) В силу (7.95), проиаводная с'(ф) удоалетворяет соотноигению (2с' — (а'+ Ьг)с)с' — агбг в!а 9 соей = О.
(7.98) Иусть теперь параметр ф меняется в интервале О (ф < и/2, и пусть для опрецеленности а ) Ь. Согласно (7.95) — (7.98), югеем при ф — н О о ф -н я/2 следующие соотноюевия: Ф О: с — на, Ь, с' О,О, р О, О, Е-нО, О, г аг,бг; Сноха сравнительно беаобидные на ввд аацачи приводит к удивительно сложной геометрии. Интересный пример подобной ситуации аоавикает в магнитной гааовой динамике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
