Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 45
Текст из файла (страница 45)
В среде с бесконечной проводимостью и однородным магнитным полем, направленным вдоль оси хг, воаыущения удовлетворнют урав- нению Гл. 7. Волновое уравнение ф — о я)2: )7 ерш' г' О, е-о)' ае-<-бе г ае Ю чгаеоге Рис. 7мф Выеновые франты е ыапшезой гааовой ввяамвае.
сенным расходвщийсн волновой фронт Ум иаображенныв ва рис. 7Л4. Второе решение странное. Дли обоих пределов ф — г О и ф -о к)2 имеем $ -о О, а е нвлвется конечной велачвной. Это лает точка Р и 17 на оси а,. В точке Р мы имеем ф =- я)2, так что волновой фронт проходит по касательной и оси; в точке бе мы имеем ф = О и волновой фронт перпендикулярен оси. Между ф = =- О и я)2 должен достигаться максвмум или мвнимум функцпн $.
Поскольку а = р -~-ф, вто происходит прн аначении еВ определяемом уравнением — +1=0; ар аф аспольауя равенство 12 р = сус, вто условие можно переписать е виде с" гф) + с (ф) =- О. с-о агах+бе, с'-оО, О, Решение, соответствующее первому на осях ае и х, и дает искаженный, ам ~а~-',- ш столбцу, имеет точки А, В но представляющийся естест- 253 7.5. Аниаотропные волны Можно понаватго что волновой фронт имеет я этой точке эаострение. Можно покааать также, что $ отрицательно. Таким обрааом, второй фронт имеет удивительную форму,рм иаобра>кенную на Рис. 7.>б Пояске аолноэме фроитм э иагиатаой гаэовся лэааиоае. рис.
7Н4. Несмотря на то что при >р ) О волновой фронт локально движется в положителыюм направлении оси х„энергия распространяется в отрицательном направлении оси х„и как следствие волновой фронт появляется ниже оси хт Это удивительный пример рааличия между скоростью волнового фронта и скоростью вдаль луча, между фаэовой скоростью и групповой скоростью. Полные волновые фронты симметричны относительна осей х> н х„ и полнан их картина иаображена на рис. 7.15. Глава 8 ДИНАМИКА УДАРНЫХ ВОЛН При обсучнденпи волнового уравнении бьша выявлено большинство основных идей линейном теории гиперболических волн в пространствах двух и трех измерений, и теперь мы обратимся к нелинейным эффектам.
Для плосних воля в однородной среде оказалось возможным разработать аакончевпую нелинейную теорию. (>днако в противоположность линейной теории, которая была почти тривиалыгой, здесь потребовались глубокие пдев и взощрепяые методы. Значительные трудности ояащаются з задачах с болыпии числом памереппй пли в случае неоднородной среды, где даже лпнейпан теория становится слон:ной. Цилиндрические и сферические волны зсе ея!е оппсываштсн двумя независимыми переменвыни, во возникает некоторое усложнение, поскольку уравнения для пих содержат переменные коэффгп!кенты.
Аналогичная ситуация имеет место для плоских волн в неоднородной среде. В общем случае дауа- или трехмерного распростракения приходится иметь дело с бблыппм жзслом независимых переменных и геометрии становится еще сложнее; не удивительно поатому, что приходится прибегать к приближенным методам.
В самом деле, единственные точные решения, которые удается нанти, зто автоыодельные решения длн частных задач, и даже з них обычно требуется численное интегрирование приведенных уравнений. Лвтомодельные регпения для цилиндрических и сферических волн и длн волн в неоднородной среде были рассмотрены в 1 6.!6, о других речь пойдет ниже.
Наряду с автомодельвьши решенинмп приходвтся нспольаовэть приближенные теории нли численные методы. Эта и следующая главы посвящены некоторым приближенным теориям, созданным для научения распространения ударных волн в таких условиях. !!вложение проводится дая ударных волн в газах, ио пдеи и математическую техникуме>кис использовать н для аналогичных аадач иа других областей. Наиболее очевидный способ приближении для таких задач состоит в том, что их можно рассматривать как малые воамущения более простых задач с иавестными решениявги.
Например, плоскую волну, распространяющуюся в слегка неоднородной срезе или вдоль слегка гофрированной стенки, можно рассматривать как возмущение однородного случая. Задача, подобная этой, будет подробно проаиалиаирована виже, поскольку она окаэываетсл аеобходимой в иной свяаи; будут указаны и другие задачи. Но Гл. В.
Дина»жка ударных волн методы, соответствующие вовмущеииям такою типа, обычно очевидны, и возникающие математические вапачи, хотя вачаотую и трудные, уже не свяваны с какимм-либо новыми аспектами поведения волн. Мы снова не ставим своей аапачей развивать чисто математические методы и переносим внимание на приближения, по существу связанные с распространением волн.
Основываясь на интуиции, можно сиаэат»о что трудности в атих задачах обусчончены сочетанием двух эффектов: ударник волна приспосабливается к ивменению теометрии (»«ли сре«л«) и в то же время вовлекается в сложное нелинейное взаимодействие с течением позади иее. Нелинойные плоские волны свободны от первого, линейные неплоские волны свободны от второго. Гели в более общем случае сравнительно просто учесть один из эффектов, так что можно сосредоточить внимание на втором эффекте, то можно надеяться, что уцаотся развить прибли»келную теорию. Этв «лаяв посвящена вадачам, в которых основную роль играют нелинейные геометрические эффекты и взаимоцействие с течением позади ударной волвы не приводит к существеянмм изменениям в ее движении. «Динамика ударных волн»,— па-види»«ол«у, подхоцящее паававие, поскольку движение ударной вечны решающим образом действует яа течение всей жидкости. В следующей главе мы рассмотрим задачи, лля которых справедливо спорее обратное.
Это задачи о слабых ударных волнах,и основная идея азвлючается в том, что лдя слабых уцарных волн теометричоские эффектьк хотя и важные, мо»««но беа изменения заимствовать из линейной теории. Тогда нелинейный анализ состоит во введении в рамках этой геометрии основных аффектов нелинейного вааимодействия с течениеы. В обоих случаях прибт»«жен»«я проводятся на интуитивном уровне и основаны на включении иавествыт эффектов в математическое описание. Обоснование достигается проверками на частных случаях, которые допускают точное реюение, и сравнением с наблюдениями. Эти задачи слишком трудны для обычныт приближенных методов. При изучении динамики ударных воли описание будет основано на картине, даваемой геометрической оптикой. При этом геометрия течения описывается в терминах волновых фронтов, распространяющихся па трубкам лучей, причем для и»етрояней среды лучи являются ортотональиыми трзекторинми последовательных полон«ений волнового фронта.
Для ударной волны, распространяющейся по неподвижному газу, среда и»охранна. Позтому по аналогии мы введем лучи, орто«опальные последовательным положениям ударной волны, и выясним, как элемент ударной волны распространяется по трубке лучей. В то же время между ударной волной и линеиным волновым фронтом существует принципиальное различие. Скорость ударной Гл. 8. Динамика чдарных коэн волны з данной точке аанисит от сеинтенсизности, так что геометрпю нельзя задать заранее незазисимо от определения интенсизности залпы. Оба вопроса сказаны между собой, и геометрия трубки лучей должна определяться однсаременно с определеэп~ем интенсивности волны по площади трубки лучей.
Ураннения, соотнетстнующие уразнеэп~ям (7.60) и (7.61), связаны между собой так, как если бы н уравнении (7.60) скорость с зазисела от Фэ. Приходится снова проанализирозать несь этот вопрос. Краеугольным яамием эзоп теории является распространение волн по ааданной трубке с произнольным поперечным сечением, и это распространение яам необходимо изу'шть.
Оно интересно само по себе, и, конечно, распространение а клинообразном канале идентично цилиндричсскии волнам, а распространение а конусе идеэпично сферическим волнам, так что мы имеем нозможности лчя изучения з дальнейшем и этих задач. Распространение плоской копны з неоднородной среде происходит аналогично, и неноторые его детали также нключены з рассмотрение. 8.1. распространенпе ударной волны по неоднородной трубе Рассмотрим одномерное (тидразличсское) описание течения по трубе с заданной площадью поперечного сечения А (х). Даже н однородной трубе уларная копна может изменяться сложным образом вследствие ззаимодейстзия с течением позади нее, как описано з задаче о поршне н $ 6.8 и 6.11. Но мы заинтересозаны з зозмок<но бачее полном зыделеньш зффентоз, саяаанкых с иепостоянстзом вели 1ияы А (х), и фактически хотим рассмотреть самый простой вариант задачи о поршне. Точнее, мы хотим сформулиронать задачу таким образом, чтобы н случае А (х) = сопз1 ударная волна имела постоянную скорость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
