Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 47
Текст из файла (страница 47)
8. Динамика ударных волн (8.() — (8.3). Уравнение вдоль характеристик С+ имеет вид — +ра — + — — =О. «М Счгэ 1 ЭА (8.23) д дг « -) ч А И* Условия на раврыве определяются равенствами (8.7) †(8.9). Подставив их, палучны б(И) — -) — — =-0, дМ 1 ИА (8.24) тде функция б(М) вадана формулой (8.20). Уравнение (8.24) удобнее переписать в виде (8.25) тле 2(м) =- ((+ — ', — «р') (1+29 ) — ',), (8.26) (т — 1) Мг-)-2 р = 27М« — (т — 1) ' Припою такого выбора состоит в там, чт ь (М) очень слабо аависит от числа Маха. Предельные вначения равны йу-ь1, 2-«4, [8.28) М-ьаа, 'ь-ья=-1+ — +ф« =«=50743 для 7=(,4. (8.29) 2 т У т-«= ° Формула (8.25) впервые2была получена Чивпеллом [21 при помощи друтато подхода. Функция А (х) аппроксимировалась паследователыюстью рэарывных ступенек, и решение строилось с помощью акалпэа элементарного вааимодействия ударной волны с каждым иэ раэрывов.
При каждом вэапмодействин ударная волна проходит ступеньку с иамененной интенсивностью и воамущения отра«каются (воамущения «ы кривых С и Р в нашем подходе). Но отраженные воамущения повторно отражаются, когда они достигают предыдущих ступенек; эти повторна отрав«енные волны накладываются на ударную волну и дают вклад и последующие вэапмодействня. Если пренебречь всеми повторно отражешпгми волнами, та получится уравнение (8.25). Чиэнелл проаналиаировал эффект всех один раэ повторно атрая«енпых вавмущенпй и обнарукил, что их суммарный вклад в уравнение (8.25) гораэдо меньше, чем вклады, вносиыое отдельными воамущенвями. Еще до этого Мбкель Н) араме«п«л аналогичные идеи к стационарным косым ударным волнам в неоднородном сверхавуковом патоке.
Неолнородный поток ваменячся слоями, раэцелеииыми поверхностями раэрыва; в каждом слое нараметры теченвя были постоянными. Решение строилооь по алементарным выппюдействиям на рааделяющих слои «юверхиостях. 8.1. Ударная волна в неоднородной трубе Хотя подход Мбяеля — Чианелла в принципе солержит возможность последовательного улучшения путем учета многократно отршкенных волн все более вьиюкой кратности, не представляется целесообразным идти далее учета один раз повторно отрангенных волн. Трудно такяге оценить степень приближения, с которым были решены уравнения (8 1) — (8.3). Однако сравнителвно малые иаменения, вносимые один раз повторно отраженными волнами, указывают, что соотношение (8.25) может оказатьгл неожиданно хорошим. Это, как мы увидим низка, действгггнчьна имеет место.
Когда быстрый вывод соотношения (8.25) иа правила характеристик пришел мке на ум, н надеялся, что и полный анализ етого приближения моакко будет провести на основе уравнений (8.1)— (8.3). До сих пор сто не сдезагго( Для того чтобы показать, в чем здесь трудность, заметим, что характеристическое уравпеяие (8.23) можно записать так: Это точное уравнешге, справедливое зо всем течении, поскольку она является просто комбинацией основных уравнений (8.1)— (8.3).
Если к ударной волне, движущейся со скоростью С,применить равенство (8.23), то можно утверждать, что соотношение будет хорошим приближением на ударной волне. Объединяя уравнения (8.30) и (8.31), видим, что зто приближение основано на предполоя<енни об относительной малости вырагкения (и и+а)(р~(( (8.32) иа ударной волне, т. е. о малости етого выражения по сравнению с рУС. 3(алость первого сомногаителя будет соответствовать предполоясешпо, что характеристика С+ на рис.
8.1 лежит достаточна близко к ударной волне, так что мы всего лишь переносим соотношение, справедливое на С+, на ударную волну. Опнако, хотя величина (и + а — 6)/С равна нулю при М = 1, она стремится к 0,274 (для у = 1,4) при М вЂ” ~- оо. Результаты, полученные при помощи правила характеристик, иногда окааываются в сотню раз точнее( В случае цилиндрического или сферического сходящегося взрыва (см. нюне) относительная ошибиа составлнет около 0,003. Таким образом, хоти первый самножитель молин мало способствовать точности, правило работает хорошо, поскольку величина Р~РР ж Рг (8.33) Гл.
8. Динамика ударных волн р, + р,аьи1 = О в этой теории. Точность уравнения (8.25), лишь частично обоснованная случаем малых возмущений и анализом Мйкеля — Чивиелла, была подтверждена сравнением с известными решениями. Прежде всего для слабых ударных волн М 1 и 2 ск 4, откуда (8'.34) М вЂ” 1 .~А мз. Ото согласуется с результатами теометрическай акустики для слабьш иьшульсов, когда 91 — 1 пропорциональяо импульсу. Далее, уравнение (8.25) можно применить к сходящимся цилиндрическим ваи сферическим ударным волнам, положив А ~ хб— — я или (в, — в)» соответственно, и сравнить полученнме результаты с точными автомодельными решениями Гудерлея, описанными в 4 6.16. Для бесконечно сильных ударных волн 2 стреыитсн к значению в, определяемому соатво1пенмем (8.29), и уравнение (8.25) принвмает вид — — + — — =-О, М А в бм 1 НА — 11 Ы ба А д (8.35) Следовательно, праюсло характеристик дает М с г-тш для цилиндрических ударных воли, (8.36) М эг-тш люся сферических ударных волн.
Сравнение с показателял7и точных автомодельных решений проведено в табл. 8.1. Точность удивительная, учитывая простоту приблин<енвой теории. Кроме всего прочего, она показывает, что сходящиеся ударные волны реагируют прежде всето на иэменяю- таб ьэа 32 ц»зачб юю бае чс вз У Прб ею тш Паса е о т О, 163Щ2 0,197070 0,225425 О, Ж6223 0,394142 0,450350 0,320752 0,394364 0,452692 0,161220 0,197294 0,226054 ещ 775 513 чрезвычайно мала на ударной волне. Хотя в исходной статье (Уизем [7)) были приведены дальнейшие доводы, вполне удовлетворительното объяснения зтото факта нет было найдено.
Конечно, мы знаем, что зтот результат верен в теории малых возмущений, и при помощи уравнения (8Л4) с" с" = О моисем проверить, что 8.2. Ударная волна в стратифицировавном слое щуюся геометрию, как и предполагается в приближенной теории, а дальнейшие возмущения от источника влияют на них очень мало", интенсивность исходной ударной волны входит только в коэффициент пропорциональности в соотношениях (8.38).
Это ке имеет места для расходящихся ударных воли. Они будут замедэяться ва счет расширения, и продолжающееся взаимодействие с течением на большом расстоянии повали будет играть важную рель; рассматриваемая приблшкеняал теории яе годится для таких аадач. Другой интересный момент состоит в том, что, согласно вриближенной теории, покааатель для сферического случая в точности равен удвоенному показателю для цилиндрического случал. Такое равенство неверно, однако, для точною автомоделыюго решения, хотя отклонения от него чрезвычайно малы. С увомлнутым выше частичным обоснованием и зтиын независимыми враверками мы ааклкчаем, что в аадачах такого тина правило характеристик дает хорошее простое приблиягение и его можно уверенно испсльаовать дяя широкого круга задач.
Для произвольного М решение уравнения (8.25) можно записать так: л =((и) ° Х(М)=ехр) — 5 мз г пМ1. (8.37) В частности, агу формулу мояэпо испол ьзонать длл распространения реаультатов для сходящихси дилиндрических и сферических ударных волн и включить в рассмотрение ударные волны умеренной интенсивности.
Конечно, прн приближении к дентру г( О в М оо. Значение функции 7 (М) для 7 =. (,4 будут приведены в табл. 8.3 (см. стр. 278). В слегующем параграфе правило характеристик используетс» для задачи об ударной волне, распространяющейся в слое с неоднородной влотностью; дальнейшие же примеры можне нзйтв в исходной работе (Уиэеы [7)). Это правило будет такнэе основой для юометрического подхода к двух- н трехмерным задачаы о распространении ударных эоле э $8.3.
8.2. распространение ударной волны к стратифицированном слое Применим теперь этот метод к одномерной задаче о плоской ударзой волне, движущейся в з-направлении в данной среде с равновесным распределением и = О, р = рз (х), р = рз (х). Если даваение рз (я) непостоянно, то в данной среде должны действовать иассовые силы, соответствующие градиентам давления, и их надо Гл. 8. Динамика ударньпс волн включить в уравнения. Одномерные уравнения имеют вид р,+ир„+р „=О, 1 и,+ии„+ — р„=,х Р р, + ир„— аз (р, -(- ир„) = О, (8.38] согласно результатам г 6.6. Применим теперь правила характеристик к распространению ударной волны в такаы слое, помня, что ато правило врименимо только двя локальных аффектов стратификации и должно испольвоваться липп тогда, когда допел нательные аффекты малы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
