Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Для простых форм, подобных углам, такого соотношения не требуется, поскольку 0 просто принимает постоянные эначешш ка обеих сторонах угла и (и, )))-списание упрощается. Для более общих форм, для которых это неявное соотношение будет неудобным, обычно лучше работать в (к, у)-описании и вспольаавать аквивалентную систему уравнений (8.78), Граница сначала представляет собой прямую с 6 = О, и ударная волна однородна с В = О, М =- М . Положим, что 6 равно расстояввю от границы невоамущенной области, так что А, .= 1 к применимо равенство (8.64). Положим, далее, что сг = 0 в точке, где граница начинает иакривляться; тогда полная аадача состоит в решении уравнений (8.65) со следующими начальными и граничными уаловия>пп В=О,М=М„ирна=О, 0((1(со, В = — 0 (ы) при (3 =О, 0(а(ао.
Расщюстраяение волн вдоль ударной волны аналогично одномерным волнам в гаваной динамике. Отклонение стеяки соответствует движению поршня, и ыожио представить себе, что шо 8.7. Дифракция плоских ударных волн Š— ° (М) =- — м (М,) (8.83) всюду, причем ы (М) определяетсн равенством (8.72). В частности, число Маха М у стенки, которое, пожалуй, является наиболее важным ревультатоы, выражается черев Е беа дальнейшего решения жходных уравнений.
Имеем (8.84) 0„= и (М ) — ы (М,). Эначенке М, соответствующее любому конкретному вначевию О, получается кв етого соотношения при помощи табл. 8.8. гвс. 8.7. Харавтераствкв яля двфракпив ударной емпи. В простой волне граничные вначения распростреняются в область течения и остаются постояннымв ка характеристиках Ст, воображенных ва рис. 8.7. Если характеристическая переменная т определена вак вначеиие а в точке пересечения етой характеристики с границей 6 =- О, то решение в виде простой волны имеет вид 0 = 0 (т), М = М (О ), () = (а — т) с (М ).
(8.85) Соответствующие соотношения в (к, у)-описании таковы: е=е,„=ш 18у.'(6), м=м.(е„), у=-у„(В)+(к — $) 18(8„+ш„). (8.86) отклонение тянет или толкает основание ударной волны и посылает волны вдоль нее. Выпуклая гравице соответствует вытягиваемому поршню, посылающему волны раврежения, тогда как вогнутая — поршню, генерирующему волша сжатия.
В силу точно таких же рассуждений, как и в $6.8, решение в каждом случае является простой полной до тех пор, пока в рееултпате опрокидывания не обравуются вторичные ударные волны. Определяемый формулой (8.69) С-инвариант постоянен всюду, поскольку все характеристики С г~ачинак~тся в однородяой области перед волнами, в которой 0 =- 0 и М = Ма. Следовательно, Гл. 8. Динамика ударных волн Раерезгекие около угла Для выпуклого угла О скачком меняется от 0 до некоторой отрицательной величины О и остается равным атой величине. Соответствующее граничное значение числа Маха скачком меняется от Л/з до величины М, определяемой равенством (8.84).
У мел о,л 0,2 -О,З -0,6 Рзс. 6.8. Теорстшсоказ форма удзркоа возик ым дофразввв па угле з 60'. с(ЛХ) о(М )( (о(Мо) (8.87) Соответствующее значение 8 дается равенством (8.83). Вдоль ударной волны — = — з(нО, — =- еО; де . де лд(1 ' лд)) слодовательно, в момент времени 1 = а/а„ударная залка описывается следующими параметрическими уравнениями: з =пМ зй — ~ (м) з!п888, е /(М) /(м ) у=аМ зшй + ) созйг(8. / (М) д /(део) з (8.88) Возмущение явлпетсп центрированяойнростой волной (см.
Рис. 8 8), и решение для числа Маха М в атой волне находится из соот- ношений 8.7. Дифракцня плоских ударных волн Поскольку М и 9 являются функцвямн одной переменной 9/а, отсюда следует, что Ма в р/а тоже функция охгюй атой переменной. Следовательно, ударная полна со времеяем равномерно расы вряется. Это можно было был редскавать вара нее непосредственноо вв соображеяай ражоерностей.
В данной задаче вет характерной длины иля интервала времеви, так что все параметры теченвя должны быть фупкцвнмв от х/(аог) и у/(аог). Это одинаково перно я в точной теории, в в приближенной геометрической теория. Первое возмущение распространяется по характеристике 9 = = ас (М,). Поскольку 9 измеряется расстоянием от границы по негодной новозмущенпой ударной волне в и =- ао(Г), скорость н физическом пространстве равна оог(Мо). Одной нз немногих величин, которые можно найти в точкой формулировке атой задачи, является скорость иерного сигнала. Согласно тоорвв звука, первое возможное возмущенве от угла распространяется в область теченвя аа ударной волной с локальной скоростью авука а относительяо течепия с локальной скоростью и.
Следовательно, это воамущепне перомещается вдоль ударной полны со скоростью (ао — ((/ — и)') ай) (8. 89) где ЕУ вЂ” скорость ударнов волны. Величины П, а к и ыожяо выра- зять череаМ, в оказыеаетсн, что величина (8.89) равна а,с*, где '(м„— о) Дт — г) ы(4-г) )пх "=-(' ' В+о) ы,' Эту величину следует сравнять с с,=-с(1/о)= (,." г > / где Х (М) определяется формулой (8.26). Длв слабых ударных волн со /( 2 (Мо — 1) ) о* (2 (Мо — 1))щ й/о 1 (8.90) для сальных ударных волн при 7=-1,4 со — 0 4439Мо о* — 0,4082Мо Мо о . (8.91) Таким образом, зависимость от Мо оквзывзется одной я той же, н фактически имеет место приемлемое чнслеяяос согласование при Мо ) 2.
Длн слабых УдаРвьох «олн с, =- г/, оо. Можно возРаавть, что с о дает скорость только первого сигнала н что на самом деле основное возмущение мажет приходить позднее. Но все свидетельствует, по-вндвмому, о том, что для слабых ударных аолн истинное воамущеняе распределяется по всему звуковому кругу, з приближенная теория концентрирует возмущенна, грубо говоры, в воловвну атой области.
Гл. 8. Динамика ударных волк Мы увидим ниже, что полвзп амплитуда возмущения ыредскааывается, как свидетельствуют значения М , очень хороню, в концентрация возмущения в этой теории неизбежна. Для более свлыпгх ударных волн возмущение будет более сконцентрированным,и приближенная теория прекрасно описывает таггое понедевие.Можно добавить,что в атой теории основное внимание уделяется локальному поведению в окрестности ударной каппы, а это, оченвдна, лучше подходит для сильных ударных волн.
К счастью, задачи о слабых ударных зштах менее интересны и в любом ыгучае могут быть решены в рамках линейной акустики. Несмотря яа то что точная формулировка для дифракцив около угла приводит к автомодельному решению, зависящему от з)асс и у/ар, в общем случае с нкм мило что можно сделать. Однако для малых углов 0 можно лвнеаризовать течение аа ударной волной и провести решение до конца. Это было осущестялсно Лайтхвллом (4).
Мы можем сравнить пзпги резулыаты с результатами Лайтхилла для атого частного случая. 11ри малмх значениях 0 формулу (8.84) для числа Маха М у ставки можно аппроксимировать следующим выражением: М вЂ” А)с=с(Мэ)0 — ( „" ) "0 . (8.92) Сравним это выражекие с результатами у!айтхилла в двух предельных слуюях Мэ 1 и Мз -ь оо. Для слабых ударных волн М. Ауз И(Мз 1)Р«б.з. тогда как у Лайтхилла зто значение умножается на 8!(Зп).
Длн сильных ударных волн 51 — Ауз — 0,4439 Маб а значение Лайтхвлла приходится определять по графику, но числеяяый множитель, по-видимому, близок к 0,5. Теорггя Лайтхилла показывает, что для слабы«ударяых волн возмущение распространяется по всему звуковому кругу, по для более сильных ударных волн ово более сконцентрировано,и действитедьно, при ДХе г кривизна стремнтсл к бшковечности. Учитывая сратппельную простоту этой приближенной теории, ревультаты можно считать удивительно хорошими. Анализ Лзйт«влла, ограниченный злу шем угла и малых 8, уже существенно сложнее нашего; приближенную же теорию монгно применять к огромному множеству задач, для которых другие аналитические решения не найдены.
Результаты должны быть корешами, за исключением очень слабых ударных волн, но даже для них полное изменение числа Маха должно предсказываться хорошо. Об экспериментальных проверках, нокаэыяающих это согласование, рель пойдет анже. 8.7. Дифракция плоских ударных волн Решение для проиакольното исходного числа Маха и любой величиям угла дается формулами (8.87) и (8.88).
В пределе сильных ударных полн, когда Ме — ь со, лти формулы упрощаются Ряс. 8.8. Дафрекцая удараой велим: сралнекае екслераыеатвльных (салолы аые кралые) а теоретачссках (ытрахоаые кравые) ревулшаю» (по Скьюау). и форма решения становится яснее. Длн сильных ударных лоан соответствующее выражение для М принимает вид М„=Мсехр ( — '= ), )/ а (8.93) и удуу )щ+ю Мс ( МИ / Е= — ра —.
8)/ и+( М,а (8.94) Гл. 8. Динамика уцзрных волн Урзвнеяие для ударной волны в момент времени Г = а/аэ находятся из (8.88) с/(М) = М . Легче всего использопэть в качестве параыетра О вместо (1 и определить постоянные ивтегряровэиия иа условий х =- АХеаэт, р =- ЗХкгэс/)Хл при 0 = О. Тогда имеем -~- ~ г ~ ж „, ~;, О < 0 < О, (8.95) где 18 0 =-)/л. Форма ударной волны приведено вэ рис. 8.8 для В .—. — я/2. Автомодельпая форма решения эоле была указано, и мы лишь добавим, что для сильяыт ударных эолп решение таклге сопоставимо с Мэ. Решение длл Различных значений Мэ сРаенввэлось с зкспеРнментэчьныыи результатами Сльюаа (1).
Согласование оказалось приемлемо хорошим; типичные результаты воспроизведены нз рис. 8.9. Для сильных удэряых полн ве существует ограничений кэ вслпчипы О, для которых можно найти решение. Для достэточпо слабьгг ударных волн такое ограничение существует, поскольку М вс может быть меньше единицы. ) (оэтому, если В „, окаэывэстся мепьп.е величины Оп, определяемой как Г зэх Оп Лг ' ! то рспгспия не существует. Предположительно это соответствует сильному разделению или другим эффектаы около угла, но в нестоящий момыы интерпретация кеяскз. ди/рракциз ва кли>м Для вогнутой границы волны нэ уцврпой «олпе опрокидываются, и в решение (8.85) приходится вводить вторичные ударные «олны, используя условия вэ разрыве, установленные в т 8.6.
Мы рассмотрим подробно только решение для вогнутого угла, эквивалентное решению аадячи о дифракцви плоской ударной волны нэ клипе. Этой зэдзче уделено значительное внимзнис в литературе (см. Курант и Фридрвхс Ш, стр. 338). В приближенной теории решение просто. Это ре~пекие соответствует вторичной ударной волне, разделяющей две области, в которых М и В постоянны, кэь нэ рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
