Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 52
Текст из файла (страница 52)
8.10. Согласно (8.81), число Меха на стенке находится 8.7. Двфракцня нлосиих ударньгх волн яв равенств (М«хг«)1!2 (Ау А«)1!2 А ((М) 1«((М«) ' (8.06) Угол д для фронта вторичной ударной волны, наабраженной на Рис. 8.10. О«рви«иве Маха иа клине рис. 8ЛО, определяется, согласно (8.82), не равенства 1 ( 0) А 71 — (Мо!М )2)112 (8.07) (бд — =А У~ М Для Сильных ударных волн п у станов(пся функцией только от 0 . Соответствующий график приведен на рнс.
8.1(. В действительности нстннная конфигурация представляет собой отражениеМаха с третьей отраженной волной к вихревым следом, как показано на рис. 8.10. Кроме того, «стебель Махаев часть ударной волны около стенки — слегка искривлен. Гааоднвамнческне условия на раарыве длн трех ударных волн дают гоотяошевия между углами течения п ударными волнами в тройной точке. Если считать, что стебель Маха прямой, то атн соотношевкя поаволяют иным способом определить д как функцию от 0„. Этот реаультат представлен на рнс.
82М штриховой кривой. Рааинчне для малых значений 0 окавывается првмерно таким, как и ожидалось, н является велнчвной того же порядка, что н раохожденне в (8.9$). Затем кривые случайным обрааом сбляв«авыся я пересекаются. В теории с тремя ударными волнамп существует верхний предел для 6, прн нотором отраженне Маха переходит в обычное отражение (см. $,6.17), * то время как упрощенные Гл. 8. Динамика ударных воли соотношении для вторичных ударных воин продолжают предскавыаать очень маленький стебель Маха. Однако для углов О, боль- х-у, 25 20' 15' 10" О' 10' 20' 50"10' БО' БО' 70' 80' 50' Рис.
8.11. Овежакесгь угла 2 — О ет ттаа ааааа О яла сграягеваа Маха. Соломках кривая пютаегствует Хвакой георна,штриховая теаран с тре- ка ударным велнааи. ших примерно 70, атот стебель Маха так мал, что практически мьг имеем ту же картину, что в дла обычного отражения. Мы снова ааключаем, что ета теория удиаишльно хороша гг кйракцил на кругсгол Оилпг10ре Воемогк1ю, наиболее суровым испытанием атой теории явилось ее приложение н дифракции на круговом цилшадре, которое выгюлнили Брисон и Гросс И! и сравнили ватем со слоями аксперименталъпымн результатеми.
Здесь возникло еатруднение, саяваниое с поведением решения в яередней точке цилиндра, но Брисов и Гросс предложили удовлетаорительньж способ обойти его. Прежде всего ударная волна испытывает обычное отражение вплоть до угла около 45' от яередвей критической точки цилиндра, после чего обраауется стебель Маха, который в дальнейшем удлиняется. Как укааано на рис. 8ЛБ, приблшненная теория предскавывает сущестяонание стебля Маха для всех 8 вплоть да я/2.
Брисои и Гросс приняли ту точку врения, что если стебель Маха чреваычайно мал, то ато отражение практически является обычным. Однако оставалась еще трудностгь свяванная с началом яычисаеняй у передней точки, поскольку а втой точке имеется особенность. Брисои и Гросс еоглольаовались следующей процедурой. На ранних стадиях предполагается, что маленький стебель Маха прямолинеен и направлен по радиусу, как на рис. 8.
22. Если длина жгно стебля составляет Ь = Ь Ьр), где 51 — угол, отсчитыааемьгй 8.7. Дкфракцня плоскнт ударных волн от передаей точки, а радиус цклкндра нормнрован на единицу, то вевовмущенвые лучи, лежащие в трубке с ч площадью А» Рнс. 2.1д Дифрахцва ударной «схаы ва сфере в циавнаре. А — втсрвчаая ударная волна.  — луч. = (( + Ь) в(п р, проходят черен площадь Ат = Ь. Поэтому / (МО (1+а) ею Ч /(Ые) ' Поскольку а непрерывна на вторичной ударной полке и а = х/Ме в невоамущенной части ударной волны, то а=(1 — (1+Ь)соаф)/Ме.
Число Маха М определяется равепством — =)Чн)= — „ 1 до м Вар дхя данного радвуса й. Объединяя етя два равенства в принимая среднее еначевне /( = 1 + '/, Ь для М, получаем — — (1 — (1+ Ь) соа гр). (8.99) Уравневня (8.98) и (8.99) дают двфферевцяальное уравяеняе для Ь (р), которое следует решить с начальным условием Ь = О прн р = О. Для сильных ударных волн с Ме,н ( вто уравнение таково: Дл ~~9 Ь=а/я "чр, 0,12 О,ОО 0 10' 20' ЗО' 40' 50' 1'ис.
8.13. Длине стебля 1!еха для сторячвой ударной волны. А — етсричвея удервея волне. Па оси ебсцисо отложены свечения р. 3 Ис и О 0 1 2 3 4 5 8 У ы/~ Рис. 824. Двйуевцил ве дыеивДРе пРв Дус = 2,81 сне БРисоиУ и астор 211)..4 — евслеряыывчленс вейдевкые трейиые точки,  — харыыеристики, С вЂ” вторичная удервея волне 1,  — лучи,  — вторична» удервея водна 2. 8.7. Дифракция плоских ударных ноля Регление уравнения (8Л00) иаображено на рис.
8ЛЗ. Брисон и Гросс испольвуют вто ревтенве вплоть до ф = 45', а ватам переходят к подробному характеристическому решению. Когда двв стебля Маха пересекаются в вадней критической точке, ва цнлвндром обравуется другая вторичная ударная волна. Ревучьтаты приводятся на рвс. 8Л4 и сравниваются с експериментальными данными. Теоретически найденные положения ударной волны и двух вторичных ударных волн соответствуют сплошным линиям, а лучи — пыриховым.
Кружками в треугольниками отмечены вкспериментальныо точки для положений вторичной ударной волны с числамв Рейпольдса Ке = 7,79 10е и Бе = 0,87.10е соответственно. В эксперименте около фронта вовникал вихрь, траектория которого нанесена крестиками; втот вихрь, конечно, ие описывастси нашей простой теорией. Теневые фотографии картины теченвя представлены на рис. 8.15а, 8.155 и 8Л5с. Дифрскцил не конусе плп сфере Двя трехмерных еадач испольауется исходная система уравнений (8.50) — (8.52). Для осесимметричных вадач первые два урвиневия принимают вид а„'+а, = —, е ( Мт где е — расстояние идола оси врвщшшя, а г — радиальное расставание.
Опять удобно ввести лучевой угол 8 равенствами вы в ваб а = —, М и М и работать с системой (8.101) 7(М) '(о ) (аго) 1!а гравице имеем 190 = г' (х) при г = г„(х). Для дифракции на конусе решение является автомодвльнылс и все величины вависят лишь от г/е. Уравнения (8Л01) можно сиеста к обыкноаенвым дифферевциальиым уравнениям, которые следует решать совместно с условиями на стенке и на вторичной ударной волне.
Детали приведеяы в оригинальной статье (Уивем (9!). Брисон и Гросс обобщили вычисления и сравнили ревультаты Рнс. 825а. Танеева фотография дгфракцви ударной волам на целиндре диаметром 0,8 дюйма (2,27 см7 нрл йу = 2,82. Видна начельнал стадил отрмва пограничного слоя. ~Ъо Врнсону и Гроссу 7712 Обоеначеиия: 1.8.— исходная ударнаи «олив; ьйй.— ударная «олне дувка; В.В.— ограненная ударная есина; С.О.— ковтактяма раврма; Т.Р.— тройная точка; у.— вихрь. 8.158. Теневая фоаографии дифренции ударной полны на цилиндре диане!Ром 0,5 Дюйма пРв Дуе = — 2,81.
(1!о ВРиоонУ и ГРоссУ !1!). Обознаиеввя со же, цо на рис. 8.15а. Рис. Блйс. теыенаи фотография двфоеиции ударной волны на цилатойи двеиетром О,й д~ойма ирв ййе = Ц84. ~П| Брисоиу и Гроссу [118 Обоенанеиии те же, нто ва рис. 8Лйа. 0' Р )О 20' ЗО' 40' ЬО' БО' 70' 00 уи Рис. 8.18.
Сраваение сааремаских (спаса~пел кривая) н експерииеатальинк (кружки) реаулые*он дяя угла в*орвчнсй ударной «олен лри дифрендпте па «опусе (но Брисоиу п Гроссу (1)). А — вторичная ударная волне. 0 0 2 3 с п()7 Рпс, 8.17. Дифракцкя на а)сре. Кружки соответствуют случаю Ие = 2,85, аРестиви — Д(о = 4,41 (но ВРисовУ и ГРоссУ (1!).
А — шоРичааа УдаР- ная волна 1, З вЂ” хараптераспжп, С вЂ” тройная точка 2. Гл. 8. Динамика ударных волн с экспериментальными данными. На рис. 8Л6 проведено сравнение для аависимости угла вторичной ударной волны д от угла границы 0 при Ме — — 3,68. В случае сферы Брисон и Гросс продалали вычисления для системы (8.гсг) методом харантериствк. Вычисления в окрестности передней критической точки проводились яриближенным методом, аналогичным методу, испольаованному иыи для цилиндра.
Полученные результаты ие так полны, кав для цилиндра, но согласовавие между теорией и экспериментом, показанное на рис. 8Л7, столь же хорогяо. 8.8. Устойчнвость ударных волн Рассматриваемая теория позволяет получить количественную оценку эффектов, на яоторые всегда юылаются при объяснении устойчннссти плоских ударных волн. Предположим, что по какой- либо причине иа'удврной воляе образовалось вздутие, изобрангенноо на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
