Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Тогда формальные равлошения примут вид и = еи, (с, 1) -(- сси, (г, 2) -)-..., а = ас + аа, (г, 1) + есаз(г, 1) +.... Полставки их в (9.45) н (9.46). Приравнивая коэффициенты при последовательных стененях е к нулю, получим цепочку систем уравнений для (иаа,), (има,),.... Очевидно для и, и а, получим линейные выражения, выведенные ранее; их гтавные члены Следовательно, равномерное приближение, полученное из уравнений (9.41) и (9.43), в точности совпадает с приблшкением ыетода введения нелинейности. Заметим, что в самом деле было бы бессмысленно добавлять дальнейшие члены в раелоясевие (9.44) без добавления соотвотствусощит членов в приблюкенне (9.41].
Остальные подходы иллюстрируются на примере уравнения для сферических волн в газовой динамике (чтобы сделать выкладки как можно проще), во не вызывает сомнений, что они пройдут (с возможными незначспельнымн изменениями) н в цругих случаях.
Достаточно, опять-таки простоты ради, привщтн детали лишь для иаэнтропического течения, хотя методы не ограничены этим случаелс, и даже при наличии ударяых волн изменения энтропии для слабых волн не влияют на члены низшего порядка. Полные уравнения были првводенывьгше (см. уравнении (6213с1 — (6.134)), н лля наэитропического течепвя их москно свести к следующей системе уравнений для скорости звука а и радиальной скороотн и: Гл.
9. Распространенно слабых уларных волн 314 т=т*-)- —,ер(т) !пг. т-(-1 лм Во эпси выралсения в спочноети еовпидасож е предлпаеенным нели- нейным реисением (9.20), (9.21) с серело.'иной т, определенной как в (9.24), и е Т (т) =- т. Ситуация очень напоминает ситуацию, рассмотренкусо в 1 2.10.
Процедура последовательного подправ- ления ряда Тейлора навестив в теории возмущений. Введение проиавольной функции Т (т) вносит больше свободы в выбор характеристической переменной т, и этот проиавол в выборе т «о»шенсируется при определении функции Р (т) иэ граничных условий, так что окончательное решение определяется однозначно. Предыдущее иссчедование покааывает, что во избежание неравншлерностей следует начинать с разложений и=-еи,(г, с)-)-з»и,(г, т)+ ..., а=а»+во,(г, т)+е»а»(г, с)+..., где с — — т (Г, г, е) выбирается надлежащим образоы. Еще лучше добавить к (9.47) разложение 1 —.— С (г, т)+Мс(г, т)+...
(9.48) (9.47) будут пропорциональны Р (1 — г/а»)/г. Затем находятсн выражения длн и» и а», содержащие члены с г ' !пг, г» !и г и г». Первый вз вих несет ответственность за неравномерность, поскольку из-аа него отношония и,/и, и а»/а, стремятся к бжконечности при г л- со; другие»не члены безвредны. Эти выражения имеют следующий ниц: » ( т )1 Р(с»)Р (т») 1 + 1 ва» 2 а — л» Р(т")» Г т+1 Р(с*)Р'(т») — Ъ =е +.
!и -)а )+..., — + где т* — лннеариэованная характеристическая переменная (в — г/а». Здесь и» ив» обозначают члены, равномерно ограниченные по и, и иь Р (т*) .= — /' (т')/а'„как и раньше, а зр тегюрьзаменяет функци»о Р в (9.20) и (9.21). Мы сразу замечаем, что появление енеправильпых» членов можно интерпретировать как следствне неоправданного применения разложений в ряд Тейлора н выражениям 2 а — оо Р(с) 7 — 1 е» 9.2. Обоснование метода 3!5 ш д ' а-1- и ' Тогда уравнения можно нависать в ввде (9.49) — а, + и„ф — ' — =- О, (9.50) 2 2 1 т — 1 аф < 2 < 2 ;И вЂ” а,— и,— ( — аа„+ии„) — '1,=0.
(9.5!) — — ) Система несимметрична вследставе смешапнога испольвоаання характеристической переменной т и радиального расстояния г. Однако (9.50) можно рассматривать как характеристическое уравнение для иамененвй вдоль характеристик т = сопа1. Уравнения (9 4<9) — (9.5!) теперь решаются с помощью рааложений (9.47) и (9.48). В ниешеы порядке уравневве (9.49) дает 'ие а в, откуда >р — — — +Т (т). е Члены первого порядка в (9.50) и (9.5!) дают наы уравнения 2 ли, — ао .! ио !. — -- О, 7-1 2 2 — а<„— иы — аса>„7' ('<) = О.
т — 1 " ' т — 1 При решевнв атил уравнений следует помпвтгь что оня явлшотся аамасквровавнымн лвнеарнеованными уравненвяыв. Легко про- верить, что решение имеет вид е г аеж 2 а< Р 1.'> Ч и овределять функцию с (г, т, е), подбирая 1, (г, т), 1, (г, т),... так, чтобы не воанвкалв члены, нарушающие равномерность приблвп<ения. В волновых аадачах мь< о>кидаем, что последнее рааложение будет определяться требованиеы, чтобы кривые < = = сопл< были характеристиками.
(Этот метод <дефорыврованных координате (а1га!веб соотг!па1е) был предлоя<ен 7!айтхвш<ом (3! в свяав с другими аадачавн.) Предполагая варанее, что т окая<ется характеристической переменкой, очевидно предпочтительнее перейти е уравнениях (9.45) — (9.46) к нееаввснмым переменным т в г, полагая 1 =- 1(т, г). Прв втоы, в силу уравнения для характеристик, Гл. 9.
Распространение слабых уларных волн где г" (т) = — а,'Р (т)Т' (т). В следу<ощеы поряцке (9.49) дает Э« и<4 в< в. Отшодв г, = — Р ( <) !в г — —; —. тф < < 1(<) Эоь Полученные члень< пившего порядка в точности совпадают с нелинейной модификацией решения, описанной формулами (9.20)— (9.23), оправдывая, таким обравом, наш метод и давая последовательную схему двя приближений вышних порядков. Ровложвнил на больших роппнонн<и<х Вариантом втого подхода является игпольаование рааложений функции и (г, т), а (г, т), < (г, т) не по степеням малого амплитудного параметра с, а по отрицательным стенепям г (доно<шенным при необходимости логарифмическими членами) с коэффициентами, эависящими от т.
Это по существу совпадает с подходоы, испольэовакнь<ь< автороы в его ранних статьях (Уиэеь< (1, 21). Равложвнив вблиы< волнового <дрок<на Другой подход, не в такай мере иснольвующнй раалоя<ения по степеням в, основан на аналогии с простыми волнами в плоСком случае. Полная система характеристических уравнений для (9.45) — (9.46) иыеет вид ( о +(и — а) о ) ( — а — и)+ — "=О, (9.52) ( — 1-(и+а) о ) ( — а+и)+ — =О.
(9.53) В плоском случае член 2аи/г отсутствует и для простой волны уравнение (9.52) ваь<еняется следующим утверя<дениеьи величина Ъ< — и г — < постоянна всюду. В сферическом случае это эаключение в точной формулировке неверно. Однако ивменение рассматриваемой риь<авовой веременной будет вависеть от величины интеграла ввятого вдоль характеристики С .
Вблиаи фронте волны атот вклад будет малым, носкольку область интегрирования мала (см. рис. 9 1). Относительное иэменение римановой переменной аа 9.2. Обоснование ыетода 317 счет интеграла фактически будет иметь порядок лот/г, шюкольку т дает оценку изменения вреьсеии вбливи фронта волны. Далее, иа скаваиного выше следует„ что наибольший интерес представ- Рве. 9,1. Характеристики в удврнвн вовне в елучее сфервчееввх волн. (9.54) тогда уравнение (9.53) окажется единственным уравнением пер- вого порядка для определения и. При его решении потребуется иитегрировнние вдоль характеристик С+ и область иитегрирова- ния вдоль Ст не ыэлв.
Это уравнение для и имеет вид — +(ае+ У+ и) — +(а + т — н) — "=О, (9 55) Оио почти что совпадает с уравнением (9.35) прн () =- 1 и может исследоваться авалогичныи обраэом. Полеано также сравнить уравнение (9.55) с уравнением (0.83) для плоского случая. Точное решение (9.55) имеет вид (9.50) где с — характеристическая переменная, которую следует анре- доллть иэ уравнения ш г у>т тт т т+т — =(а„+ —,и) дг ( 2 ) ае 2 аее ' Равномерное приближение имеет вид (9.57) — — — — ег(т) +7( ), уф1 ео уае р (т) ляет область нот!г ц,1. Поэтому ясно, что предположение о постоянстве инварианта Римана является в этой области хорошим приближением. Примем в качестве приближения к уравнению (9.52) равенство Гл.
9. Раснростраиение слабых ударшах волн 318 и, согласно (9.54), Х а — е и Р(т) Ч вЂ” 1 Ы 'е Это совпадает с предложенным вьппе решением (9.24). Следует, однако, отметить, что в атом подходе в отличие от предыдущего мы получаем для и и а только прнблвнгевия, соответствующие геометрической акустике. Этого вполне достаточно для опжаиия поведения в области аст/г (< 1, но для определения Р (г) требуются другие методы. Когда в головной части волны имеется ударная волна, скачки антропии и инварианта Римана (9.54) будут величинами третьего порядка по интенсивности ударной волны и не окажут нляяния на приблшкенне пившего порядка. Раалсжеяпе Дчвслям При наличии ударных волн типичное асиьштотическое пове- дение окончательного волноного профиля на больших расстоя- ниях представаяется Л'-валкой с центром на предельной харамте- ристике т,.
Для сферических волн, угачнив коаффициенты в (9.24), получим 2 а — аа о хаа г ( — — — — — — — — Т (та) г (г 1н г) . (9.58) ч т . „чдг(. Это укааывает иа то, что ококчательный профиль в виде )Р-волньг моя<но получить непосредственно, есаи искать решения в ваде рааложсний к=о (~)И-()+ъ.(~)(4-()'+", а = ае+ Ь, (г) (г — Ь ) -(- Ь (г) (4 — (,)а -Ь..., (9.59) где Ь вЂ - г — г)ае и бе обоаначает асншпотвчески прямую характь ристику мыкду ударными волнами.
Если ати раэлоягения под- ставить в уравнения (9.45) — (9.46), то приравиивание коеф- фициектов при последовательных степенях (Ь вЂ” Ьс) приведет к цепочке уравнений для (ин Ьг), (гы Ь,), .... Первая система уравнений такова: Ч вЂ” ~ Ь,=— х оч ч-~-т "( ы (9.61) ш х аа ° ' Первое уравнение подтверждает соотношение мыкду а и и. Второе уравнение можно переписать в виде 9.3. Звуковые удары 319 и проинтегрировать, что даст 21 1 Г-! 1 ° 1в (9.62) ато подтверждает аависимость от г, укааанную в (9.56). Иаложекный простой подход к асиьштотическому поведению является одним иа выдающихся ревультатов да<яюй теории.
5(он<- по, действуя так же, определить положение ударной волны. Если на фронте ударной волны 6 — фе = 6 (г), то (9.59) дает равложении <ю степеням 6 (г) для параметров течения ка ударной волне. Условие на раарыве (9.28) в данном случае имеет вид Ло 1 еф —,е аг 2 ее< и при помощи (9.66) — (9.62] находим — — — + О (бч); Н 2 !в следовательно, (9.63) 9.3. Звуковые удары Главней аадачей теории ввукового удара является определение ударных волн, лоран<даемых осесимметричвым телом в стационарном сверхевукавом полете. Исходя ив реюекия этой основной аадачи, приходится тем или иньла способом учитывать влияние формы тела, ускорения, искривления траектории полета и неоднородности атмосферы. При решении основной вадачи удобно работать в системе отсчета, в которой течение стационарно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
