Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Линеаривованиая теория была подробно рассмотрена в 1 7.5, так что теперь можно ввести нелинейности, польвуясь методом, раавитым выше для иестационарных волн. Соответствующая аадача для плоского течения, рассмотренная в б бй7, также дает вклад в втот круг идей. Пусть скорость П основяого течения параллельна оси а; н пусть 6'(1 + и) и Юс — компоненты воамущеяной скорости 6 (г) сс )п'12 г. Это согласуется с вырви<ениж< (9.31) для сферических волн.
Хоти втат последний метод является, воаможно, и наиболео простым и повволяет легко находить поправки вьюших порядков, он не мо<кет предскааать аависимость коэффициентов в уравкевии ударной волны и интенсивности ударной волны от исходного источника. Гл. 9.
Распространение слабых ударных воля в х- и г-направлении соответственно. Тогда и —..— 1 ( 8'(ч)сч (9.64) )7 (* — чр — л' ' ' е о=-— 1 ( У (ч)ач (9.65) 4'(» — ч)» Я»ж ' е где В = РгМ» — 1, а Я (л) — площадь поперечного сечения на расстоянии х от носика тела. Вовмущеиие сосредоточено внутри конуса Маха х — Вг =- О, обрааующие которого составляют угол Маха 1 р»= агав(п— вг (9.66) с направлением течения.
Величина х — Вг лвляется линейной характеристической переменяой и соответствует выражению 1'ос. 9.2. Пе»»ей»»во вввейамх хар»втервстка лра сверх»»уловок об»сванка осеюшметрв мого тела. 1 — гlс» при рассмохревии цилиндрических волн. На (х, г)-диагра»о»е линейные характеристики абравуют семейство параллельных прямых, составлянвцих угол ре с осью х, как покавано ка рис. 9лй В области (х — Вг)/Вг ~( 1»гоя»но кспольаовать приближения (7.46) — (7.47). Зта область включает фронт ударной волны и основную часть удаленных областей, и именно в ней нелинейные поправки играют решающу»о роль. Нелинейные аффекты модифицируют характеристики и вводят ударные волны, как укааано на рис.
9.3. Следуя нашему методу введения нелинейности, ваменим л — Вг иа 4 (т, г), где $ следует подобрать таким обре»он, чтобы кривые $ = — сове( были достаточно блинки к точным характеристикам. Модифицированные выражения для параметров течения 9.3. Звуковые удары 331 имеют вид Л (1) Вр (1! ~Г2В~ ' )«' 2В« (9.67) 7,У = 37э —, (9.68) л р е э Р ( ! 1 ) э т ! э Р И ж 1«2В, ' ээ 2 р'гв. ' где Ц х-(,в „ а гя ргб (9.69) Рве. 9.2. Ссяэаствс вэээяэавкх хэракырастнн с ударэыыэ эслвэкв врэ евер«эвуковок сбтекэввв осэсамкэтрпшсго тели.
с 5 .= х — Вг пе предскавьюает уларнай волям. Ясно, что именно эдесь иелипейлая модификация сыграет свою решающую роль. Тачиые уравкеяяя для беввихревого осесимметричного течекия такие иге, как и уравиепия для плоского течения (ОЛ58)— (6.159), только р эамепеяо ка г и в уравнение (6Л58) добавлен член — аэо(г. Поскольку проиэводные высшего порядка остались бев иамепекия, характеристические паправлепия все еще соответствуют углам О ~ р, где 0 определяет направление течения, а р — точиый угол Маха, причем р =- агс е!в айр В соответствии с этим па кривой 5 = совээ л* ~=-с«8(!«6 0).
Так «ке как и в вадаче лля иестациаиариых волн, достаточна испольаовать приближение первого порядка теории воамущеиии, и мы полол«им дэ э — =с!бр — (р — Рэ+0)соево Рэ. Типичная кривая Р била приведена ва рис. 7.3. Как укавывает соотиоп«ение (7.48), г" О при 5 — «- О и лииейкая теория Гл. 9. Распространение слабых ударных воля 6 точностью тога же порядка в;/ /в — ве 6 г, д — ре — — ( — и) Шсде, — р( вв откуда Вв /Л/т / в — 'ае — =  — ' — с — — и') — Л(то.
вг В ( ар Нодставдяя выражения (9.67) и (9.68) для параметров течения, полу'гаем а* - Суфцжв р< — =В— лг //)в/т гы/ твк что л=Вг — йр(Ц) гт/а+6, (9.70) где (У С С)В/в х//уяа/2 (9.71) Нелинейная модификация решения в области 8(ЛГ ((1 дается соотношениями (9.67), (9.68) и (9.70). Ударимв волям Если р' (6) ) О, го характеристики накладываются и вовникает ударная волна.
Как была укааана выше, для тела конечных раамеров так чю в общеы случае существу/от две такие области и две ударные волны. Аналогом равенства (9.28) являеюя утверждение, что наклон ударной волны равен среднему арифметическому наклонов характеристик нв обеих сторонах, а ударная волна страатен совершенно так же. Если ударная волна описывается уравнением л = Вг — 6 (г), 6 (г) — ВР (ст) г! ш — а/ — ВР а2) г//2 ьт где х (р(ы)+~ (ч'))(ш ьт)=) рсь)~ и Для первой ударной волны, перед которой находится иевовмущенное течение, Р Яг) = 0 и йг можно исключить иа расыеотрения. 9.3.
Звуковые удары Тогда, опустив индекс у 4м получим соотношения —,йрч(Е)г'гг= ~ Р(5)!$', (9Л2) о х=Вг — йР(4)гггг+$, (9ЛЗ) определнющие ударную волну. Параметры течения непосредственно аа ударной волной даются равенствами (9.67) и (9.68), где Е (г) определяется из (9.72). Обтекание тонкого конуса Для конуса с углом полураствара * площадь 5 (х) = пегхг и функция Р, определяемая по формуле (9.69), щ!икимает вид Р (4) = 2е 4тЩ В этом случае соотношение (9.72) мюкду $ и г для точек ударной волны записывается так: 5ыг а) г!и 2 а уравнение ударной волны (9.73) сводится к спедующему! х=Вг — — йге г. 3 Это соответствует конической ударной волне с углом полураствора цг ыг) (9.74) з г(ыг — 0'!' Интенсивность ударной волны находится ив (9.68): р — рс зг(т-)-1)лгг (9.75) рс 2 (Мг !) Для конуса ив соображений размерности следует, что точное решение является автамодельным и дараметры течения зависят только от г/х.
Тогда точные вединейные уравнения сводятся к обыкновенным диффереюгиальным уравнениям и нитегрнруюжя численно. Зто знаменитое решение Тейлора — Макколла !1), которое явилось вехой в развитии теории сверхввуновых теченвй. Выражения (9.74) и (9.75) были выведены для тошгих конусов в рамках автомодельвой теории Лайтхиллом [2). Они являются основой для ценяой проверки результатов более общего подхода Вля тонких тел. Численные реаультаты паказызаюц что выражения (9.74) и (9.75) представляют собой очень хорошие приближения для конусов с угламв полурастворв до 10 и чисел Маха в интервале примерно от (,4 до 3,0. Гл. 9.
Распространение слабых ударных волн Поегдепиз ударной волны на бсхыипх расстояниях от таха конечны ряхггсров Согласно (9Л2), для точек на ударной волне 2 2 при г оо, причем Р Яе) =- О. Тщда вместо (9.72) имеем асимптотнчсспое соотношение Ь Р($) — (-„) Р($') 66') (9.76) е Уравяение ударной волям асимптотичесии переходит в Ь х- Вг — (26 ) Р(2)А) гы' — ры е (9.77) а интенсивность ударной волны определяется тан: Π— "",'„(6(а — 1) ' () Р(2)сЦ)'"г-эы а (9.78) Зта наиболее втпная формула в исследованиях звунового удара.
Она поиааывает, что интенсивность азузозого удара у поверхности Зеыли очень слабо заавсит от числа Махе, иаменяется с расстоянием нан г-'Ы и зависит от формы тела за счет мнонгителя К вЂ”. (~ Р(2)ж)ы'. (9Л9) а Если длина тела равна й а относительная толщина 6 представляет собой отнолгение максимального диаметра и длине, то множитель К 6(агй Для тела, форма которого определяется урав- пениями )'6( (1 — (1 — *) ), 0(х<(, ~ 6(, ((х. находим К == 1,046!ый Для тонвих тел произвольной формы унааанные формулы определяют первоначальное павепение ударной волны.
Следует отметить, что в то время,нан воамущения около тела имеют порядап О (еа),интенсивность ударной волны является величиной порядка О (ег). Это з иавестиом смысле объясняет отсутствие ударных волн в линейной теории. 9.3. Звуковые удзры Асимптотичесвий волновой профиль имеет форму уравнове- шенной Л'-волны. В области между удзрными нолнями $ 6е, Р(6) О, тзв что, соглзсно (9.70), в.— +ы ьгыз и, в силу (9.68) и (9.7(), отнопгеиие дзвлений равно р — р, г (мз — г)зж (в — -~-6,) 9.80 рз 7+1 Лез г (. ) Течение за задней ударной волной не лвлнется невоамущенным, ио в ием возыущения имеют порядок мепыпий, чем для Л'-волны. Эти и другие детали мтяио найти в рвботе авторе (Уизем (3)).
Обебмения теории Могяет повазатьсн, что осесимметричпые тела существенно отличаютсн от реального летательного аппарате, но известно, что нз больпшх расстояниях от тела коночных размеров поле течении для любого нзиравлепня ьюжпо представить кав течение, вызванное зкеивзлевтным телом вращения. Это значит, что выреязения (9.67) — (9.69) применимы для любого направления, но важдому напрзвлепню будет соответствовать своя функция Р. В линейной теории, с которой мы нвчипзем, вююды ст фюзеляжи, крыльев, рзспределении подъемной силы и т.
д. можно учвтывзть по отдельности и результирующая функция Е для каждого непрзвлспнн получяется суымированием всех зтнх вилздон. Ззтем зтз фунвпин Е подстввлястсл в формулы для нелинейного решения. Объемный авлзд связвн с распределением площади поперечного сечения 8 (з), где в соответствии со сверхзвуковым правилом площадей плоскости образуют разрезы под углом и потону. Детали етого метода и яслинсйныс результзтм приведсвьз з статье авторе (Упаси (3)). Когда учитыввютсн рззли п1ые выступы, такие, вав крылья, производная Б' (х) становитсн разрывной и следует соответствующим обрезом изменить вырви елие (О.(В) (Уивсм (3)). . Эффекты рзспределснин подъемнов силы имеют тзкузо же нажностгч кав.п объемныс зффевты.
В линейной теарян распределение подъемной силы 1 (х) дает вклад -в гР, = —, — ) ' бц (9.8() 1 ссзм Г (е — г1) 1 (Ч) гнр,и ° ) У ( — ч) — ж.з с в потенциал скорости, где ы — угол между направленной вниз вертикелью и меридионзльнов плоскостью, проходящей через Гл. 9. Распространение слабых удержат волн траекторию полета. В области (я — Вг))Вг ((1 вто вырюкение можно аппроксимировать так же, как и выше, и воамущения снова даяпся формулами (9.67) — (9.68), в которых следует положить (9В2) Это интересная иллюстрация понятия «зквивалентиого тела» для асимметричных распределений. Следует отметить, что приближения (9.67) — (9.68) справедливы при 5/Вг(( 1 и их доглаточно для определения ударной волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
