Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Влияние членов высшего порядка заключается в диффузии волн нижнего порядка, как показывает уравнение (10.28), но зта диффуаня мала, еспи ц достаточно ыало. Случай с, ~ О, с, ( а ( О. В атоы случае максимальное значение экспоненциального миан<итона в (Ю.24) все еще достигается на пряыой х — ах, но прн о ( 0 ато происходит вне области х ) О.
Выражение (10.24) акспоненциально мало по всей области х ) О. 5!етод перевала неприменим при:г —. О, поскольку, согласно (Ю.25), серловая точка, очевидно, отсутствует; однако припомощи (10.18) легко показать, что решение экспопенциально убывает от значения ы = ((г) прн х = 0 и возмущение сосредоточено в пограничном слое толщиной ц/сг.
В атом случае первый сигнал экспоненцнально затухает, а основное возмущение не распространнется. Улрощенное уравнение (Ю.8) не позволяет задавать значения гх при х = 0 и имеет решение 9 = О. Ото согласуется с препыдущим описанием в области вае пограничного слоя, и различие в граничных условиях поглощается пограничныы слоем. Случай с, ) о ) с, ) О. В этом случае обе «арактеристкки уравнения (Ю.5) направлены в область х ) 0 и следует налоткнть два условии й .= Г (1) й. — у П) прн з †...— О, С ) О, (10.29) Заыетнм, однако, что только одно иэ них или, ьюя'ет быть, их комбинацию моя;но сохранить для (10.8).
Два условии (Ю.29) в точности соответствуют гюложнтельности с, и сб оба члена в (10.10) следует сохранить, так что имеем две произвольные функции, которые гидо определить. Пусть! (Р) ну (р) — преобрааования Лапласа функций / (1) и д (1)! тогда произвольные функции, входящие в решеяие (10.16), определяются из уравнений Р+ С вЂ”.-7, Р,Р =-. Ртб =.б. (10.80) 10Л. Точные решения линеарнаованной аадачи Є— Рг (10.31) Но при выводе формулы (10.26) Рг анпроксимируетоя для малых значений г)р, и Рз тоже следует анпроксныировать аналогчгчкым обрааом. Иа (Ю.(1) легко получить, что иР,= — — Де+О(д'р ), дР, = — — '+О(др); з эсз в этом ириблия;енип равенство (10.31) сводится к Следовательно, граничное условие гр =- 1(1) действительно выполняется; его следует использовать для упрощенного уравнения.
Второй член полного решения имеет вид — ~ — ехр ( р1 + Рз (р) з) бр. д) (10.32) Посколыэу Рз — р)сз при р — ь оо, это выра>кение равно нулю при з ) с„1; слеповательно, нюрой волновой фронт свнэан с волнаыи, распространяющгшися со скоростью с,. Как и ранее, легко покааать, что зти волны экспоненпнально затухают и становятоя пренебренэвмо малыми при х/(сзй) )) 1. Метод перевала аатем покаюезает, что вклад интеграла (10.32) мал всюду, аа исключением окрестности прямой х = О. Чтобы исследовать поведение решения вблиаи з == О, можно вспольаовать асимптотическое разложение, соответствующее предельному переходу с — сю, — финсировано.
сщ Известно, что ага асимптотика определяется видом подынте- грального выражения в (10.32) при малых э)р. Имеем Р,— —. О(Р) — — (б+ — 1) —. а г Р т сэсзв сичл ' а ) з Исследование слагаеыого вида (Ю.(8) выполняется точно так гне, как и вьппе, и приводит к тому же заключению, а именно: первые снгналы распространяются со скоростью сг, во затухают; основное возмущение распространяется еоскоростью а и диффундирует под действием эффектов высшего ворядка. Основное возмущение опять хоропго описывается уравнением (Ю.8), и единственный новый вопрос евяаан с выбором подходящего граничного условие.
10унндия Р (р), фигурирующая в соответствующем решении (Ю.26), находится из уравнений (Ю.ЗО): Гл. 10. Р(ерархия волн Следовательно, интеграл (10.32) имеет асичнтотику — (у(С)-( — Г(Г)) "" т)ехр( — з з ). (1033) Таким образом, вервын вклад от интеграла (10.32) раснространвется с сз-волнамв, но аатухает. а его основной внлан соответствует нограннчкому свого н овределветсв вгзравгеггием (10.33). л сгг л.=аг с=от Рю. !0.2.
(, г)-лзагрзкиа зля зашел с Расеи стравьшш сзгззгга. А — швраввчаьп) счоа, И зкспонешг зльн е затух;вас, С вЂ” поза е юзязп~зззе 1!овнов решение крв «)г) )) 1 получается слоткениен лау» основных зггланоз н имеет вид И =) (à — — *) —. (а(Г) т — Д(1)() — '"' г)ехр ( — — ). (10.3йь) В нернолг приблв>ггеннн ато вырагкевне удовлетворяет обавн граничным условиям. Второй член необходим лла уловлетворония второго граничного условна, но быстро затухает вне кограгпгчного слав толщиной норядка т)с,с Га.
Полученные результаты удобно изобрааить ла (х, г)-лиаграмме, как кокааа~о гга рис. 10.2. 10.2. )гггрощенньгй годход Другие линейные уравнении с ностоввными коаффицнентами всегда моткно рассьютреть аналогичным образоы при помощи преобрааований Фурье и Лапласа и нолхолящих асимнтотических разлошений.
Однако существует белее простой интуитивный подход, который позволяет не только обойтись беа утомительных 10.2. Упрощенный подход подробностей, но и глубже понять суть дела. Продеьюнстрируем этот подход на примере предыдущей аадачи. Прежде всего в любом волновом профиле, движущемся со скоростью, блнакой к У, производные по г и х свявань> прпблия>енным равенством д д — — 1' —. ы и ' (10.35) Этот факт можно пспольаавать в уравнению (10.5) и исследовать поочередно волны, движущиеся со скороствмн сп сы а. Для с,-вола положим д/дс — с>д/дл во всех проваводных, выделив предварительно главный член, солержащнй ннож>ггель д>д> ф + с>д>дх, и получим д > д а > де а (сэ — с>) — ( — +с, — ) >р-~- (а — с,) — —.
О. ас (ш ст! аэ Оператор д>дк >юн:но проинтегрировать беэ потерь, поснольку оп соответствует вкладу др>тнх волн. В соответств>ш с этим имеем — (-с, ~+ ' >р О. (10.33) д> дг > (с» — ) Решение в точности совпадает с выраженвеы (10.20). Аналоги шо для с -вали находим — — +.,— + ' ' к-О. >ч ач '2 М аэ >(> — сй Решение вь>ражается формулой, аналогичной (10.20), н ыожет бь>ть строго обосновано при папаши (Ю.32).
Для ноля нижнего порядка, распространяющихся со скоростью и, в членах второго порндка в (10.5) мы полагаем д!3> . — ад(д> и получаем соатветствуавцее приблюкенаое уравнение + ф, - 0 (с — а) (а — с>) >у,. (10.37) Это паходитгя в точном соответствии с (10.23). 1(сли в членах второго порядка предло >есть производные по Г, то получим ал>,- тернатнвное уравнение (10.27). Воамоя>ность существования пограничного слоя еблпан л 0 можно исследовать в том же духе, счптан, что нраизводныс по .г будут гораадо балыке ароиаводпых по с, так чта следует внести саотноп>ение д д — » —.
д. М (10.33) Это мов>на интерпретировать как частвый случай приближения (10.35) с У вЂ” О, что соответствует неподвижным волнам. В таком приближении (Ю.5) сводится к уравнению >)Всэ>Р„„+ а>Р„= — О, (Ю. 39) йбО Гл. 10. Иерархвя волн общее решение которого имеет вид т =- А (/) -)- В (Г) ехр ( — — *), и согласуется с решениеы (10.5ч). Конечно, зкспоненциальное ревгение исключается, если не выполнено условие а/(сгсзц)хО, и только в случае зкглояенциального убывании возможно суще- ствование пограничного слоя.
Для слоя вблнаи / = О, где н полном уравнении задаются начальные значении для в и гр,при 1 == О, рассмотрим уравнение в приблюиенив д/дг )) д/дх. Для уравнения (10.5) имеем „„, + „— О, т .—. С (х) + В ( ) .— Я. Вто показывает, кав полное ревжвяе переходит в приближенное ре!кение, учитывающее только начальные значения Указанный подход поазоляет быстро дать оценку различных представлявхцнх интерес областей и получать соответствующие приближенные формулы.
На атой оскове легко развить более строгую процедуру рядов теории возмтщеникь Например, непосредственное ревлон<ение т =-те(т /) + гРР (х, И+ я'т,(х, 1) + ... приводит к уравнению (10.5) длн те; разложение р .=. / (5, 1) + цг/а/, (6, с) -Р ..., 1 = т) 0' (х — а/) приводгж к уравнению (10.28) для те; разложение р = р, (х, г) + ц р, (х, 1) ф ..., Х=-ц'т приводит к уравневиа1 пограничного слоя (10.39) для тз. 10.3.
Системы высокого порядка, нелинейные эффекты и ударные волны В случае нелинейных снстем уравнений, описывающих плоские волны различных порядков, мы, как правило, ве имеем полного точного решения уравнений и при аналитвческом анализе приходится опираться на аналоги приближевных выражений из предыдущего параграфа. Детали процедуры будут в~еняться от аадачи к задаче, но можно отметить некоторые общие путеводные нити. Для удобства ссылок будем называть полную свстему уравневвй системой 1, а упрощенную систему, получаемую при равенстве нулю некоторого параметра з), системой Н. 10.3. Нелинейшзе эффекты н ударные волны Теория характериствк дает характеристические скорости ст, , с„ для системы 1 и харантеристические скорости аг, ... ..., а [т ( я) для системы 11.
В случае провзвольвой иелинейвои аадачн они будут функдиями от аависи»1ых переменных. Однако линеарызованная теория для малых эоаыущений около некоторого однородного состояния оказывается полезной для подготовки арены дальнейших действий н является источником информации об устойчивости. Коли имеются только два порндка, то ливеариаованная теория для плоских воли з однородной среде сводится к одному уравнению )(дг+ ~+) '' (зг+ д ) р+ +( — +а~ —.) ... ( — +а»,— )~р=О [10.41) для некоторого потенциала возыущевия й, где постоянные скорости распространения равны своим значенвнм в однородном состоянии.
Стандартное исследование устойчивости приводит к следующему интересному розультату: в устойчивом случае порядки связаны формулами т = л — 1 или а~ = я — 2. В перво»1 случае полные требования иъюют аид т л — 1, ц>0, ст>ат>сэ>а »...и„;>с„.[10А2) Это как раа те условия, которые допускают удозлетворятельную интерпретацию пронесся аппрокгю~ации решений полной системы 11 решенияыя системы !. Второй случай т =: н — 2 вводит эффекты, более типичные для днспергирующих волн, н его обсуждение переносится зо вторую часть книги. [Условия устойчивости для этого случаи были получены Ву [Н, нгпразгшшим неправильное утверждение автора, считазпюго, что [10.42) — единственный допустимый случай.) »равнение [10.41) моною решить при помощи преобразования Фурье, но набросок обшей картины неясно сделать на основе подхода, описанного в предыдущем параграфе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
