Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Дисперсионные соотношении ние окааывается более сложным. Тивнчным прш>ерем является теория волн ва глубокой воде, в которой, каи будет показано ниже, волны распространяются гориаовтально, а аааисимость от вертикальной координаты не являются осцкллирующей. Вторую воамо>кность, для которой волновое поведение имеет ыесто по всем переменным, моно>о продемонстрировать на примере одномерного интегродифферевциального уравнения т (., 1)+ ~ К(л — $) ~ ($, 1)Д=О, (И.12) где ядро К (л] — ааданнан функция. Это уравнение имеет алементарпие репюния 4> = Ас> "" при условии, что — яссе + ) К(л — $)>хе>"гас=О. Э>о условие можно переписать в виде с= е = ) К(ь)а >год(.
(И.18) Вравая часть представляет гобой преобрааование Фурье ааданпого ядра К (с), в, согласно формуле обращения, имеем К(л)-= — ) с(х)с'""Ах. 1 (И.14) то К (я) = — с>6(х) — с>6 (л) + ... -1-( — 1) с> 6'т >(х) и (И.12) сводится к дифференциальному уравнению — +со — — с — +... +( — 1) сс =О. ар ар ааг аа +»р д> дх > да> а» Если с (х) — функция более общего вида ° бесконечным рядом Тейлора ш> степеням и, то можно рассматривать соответствующее диффере>шпальное уравнение бесконечного порядка, но лупяе перейти к уравнению (И.12).
Такам обрааом можно построить уравнение вида [И.12) с любюй желаемой функциой с (и) и, следовательно, с любой дисперсионяой функцией; надо просто положить К (с) равным преобрааованию Фурье (И.14) этой феновой скорости с (х). В частяости, если с (х) = с> + с яс +... + с мт 11.1. Линейвые диспергирующие волны Определение диспергирующил впав Теперь мы ь«>жом дать более четкое определение диспергирую- щих липе(и>ых систеы как систем, имеющих решения (11.1) и (11.2), которые удовлетворяют условию (11.5). Иь>естся некоторое пере- сечение с гиперболическими системами (зто видно иа примера (11.6)), ио обычно такие системы не явлнются гиперболическими.
Как показывает последний раздел, не следует ограничиваться рассмотрением только дифференциальных уравнений. Сразу ясно, чго що определение слишком узкое. Даже для линейных дифференциальных уравнений оно ограничено условием постоянства коэффициентов. Например, ес>п в травлении колеба- ний балки козффнциент у зависит от х, т. е.
>рп + у (*),р„„„, = О, то решений вида (11.1) не существует. Однако если у (х) — плавнан функция от х, то моя>но ожидатгч что решение будет во многом похоже на решение уравнения с постоянным коаффициентом у. С этим случаем можно связать общую задачу о диспергирующих волнах в неоднородной среде. Уравнение может также иметь факторизованпые решения, например Х (кх) е '">, е> = И'(я), где Х вЂ” нокоторая осциллирующая функция типа, скажем, функ- ции Бесселя. Такое решение будет в некотором сыысле дисперги- рующпм, но его было бы трудно включить в общее определение.
Но-видимому, в настоящий момент придется ограпичитыя сле- дующей неконструктивной идеей: в каждом случае, когда осцилля- цви в пространстве и осцилляцпи по времени связань> дигперсион- ным соотношением, можно ожидать поведения, характерного дчя диспергирующих волн. Аналогичная ситуации имеет место и для нелинейно систем> можно точно определить некоторый ограниченный класс уравне- ний, а ватам естественным образом вводить обобщения.
Голее содержательный ответ, возкожно, дают вариациоиные формулировки, о которьпг пойдет речь нике. Вти формулировки поаволяют развить общую теорию реп>ений требуемого вида и, видимо, обеспечивают надлежащий общий взгляд на многие вопро- сы, включая классификацию. Пека зтот вопрос остается аткрьпым. Ц.2. Обшее решение в виде интеграла ()>Урне Коли формулы (11.1) — (11.2) дают элементарное решение линейного уравнения, то — по нрайней мере формально — функция р(х, 1)= ~ р( )е '*- > > (и (И.15) Ичй Общее решение в видо интеграла Фурье тшэже будет решением.
11одбирая должнгэм образом проиавольную функцию Р (х), можно удовлетворить задаиншн начэльным или граничным условннм, если, конечно, эти условия достаточно разумны для того, чтобы можно было применнть преобрэвование Фурье. Если имеется п ыод с и равшгчныии функциями )Р (х), то будет л слагаемыт вида (И.15) с л произвольгпэми функциями Р (х). В этом случае длн полного определении решения естественно задавать л начальных условий. Примеры (И.б) — (И.й) включают по две моды, и естественно задавать р и й, при 1 = О. Как н в атих примерах, две моды обычно имеют внд ээ = ~В' (х), и в типичной одномерной задаче соотвотственно получаем р:.: ) Р,(х)еш"-сгшкбхф ) Р (х)сэ'щм1 Кдх (И.16) с начальными условными ф = р (л), пг = р (г) при г =.
6. Если В' (х) — нечетная по х функция, как, например, в примере (И.у), то в (И.16) первый член описывает волны, двнэкущиеся вправо, з второй член — влево. Если гке Вг (х) — четнан фунмция, кан, наприыер, в примерах (И.6) и (И.8), то волны, движущиеся и вправо, и влево, содержатся в обонх членах. Накладывал началькыо условия, получаем фэ(х) =. ~ (Р,(х)+Рэ(х)) е' цйх, % (л] =. — 1 ) 1У (х) (Рэ (х) — Рэ (х)) е™мбх. Формулы обращения лагот Рэ(х)+Рэ(х) ==Фэ (х) =- — )1 грэ(х) е э 'Нл, 1 — гй'(х)(Р, (к) — Рэ(х)) =-Ф, (х) = — ~ ф,(к) ес м дс, 1 откуда находим Р, (х) и Р, (х): Гл. 11.
Линейные диспергяругощие волны г,( — х) = Р((х), )га( — х) = Рф(х), (11 и 7) а для чвпюй И'(х) Р, ( — х) = Рх (х), Рт( — х) =Г",(х). (11Л8) В обоих случаях) решение (11.16) вещественно; вешестаевные начальные условия для вацественного уравнения должны приводять к вещественным решениям. Стаццарпюе решение, по наторел~у легко построить остальные решения, моя<но лолучнть, положив фа(х) = б (я) фг(к) = О. Тогда Р, (х) = Р (х] = 1/(4я) и выражение (11.16) сводится к следующему: ф= — ( соаххсоаи'(х)асах. 1 с Конечно, атот расходящийся интеграл следует интерпретировать как обобщенную функцию. 11.3.
Асимптотическое поведение решения Хотя интегралы Фурье дают точные решения, все же их поведение трудно определить непосредственно. Если рассматривать асюштоткческие выражении для большвх в и 1, то ато поведение становнтсл яснее, а основные свойства днспергирующих воли понятнее. Расслютрим сначала типичный интеграл ф(х, 1)= ~ р(х)е*' -мишкин в одномервои случае. При изучении волнового движенил мы иитересуеися поведением при больших виачениях как я, так и 1, точнее, при 1-ь оо, л)1 фиксировано. (Конкретный выбор отношения хи поаволяет научить волны, движущиеся с аадавной скеростью.) В соответствии с этим аапшпем интеграл в виде ф(т, С) =- ~ Р(х)е-гхгбх (И.20) Поскольку функции ф» (к) и фх (к) вещественны, Фе ( — х) = = Ф," (х) и Ф, ( — х) = Ф, (х), где авевдочкой отмечены комплексно сопршкевные величины.
Отсюда следует, что для нечеткой функции И' (х) И.З. Асимптотическое поведение решения где 2(х)= )Р(х) — х —, В даяном контексте хд — фиксированный параметр и 2 вависнт толька от х. Интеграл (И.20) можно теперь научать методоьс стационарной фаны; в самом деле, именно для шой аадачи Кельвин равработал укаваниый метод. Кельвин покавал, что для больших 1 основной вклад в гслтеграл дает окрестность стапионарюех точек х = й, таках, что) х'(4)=Н/ (й)- — ", =0.
(И.21) В остальньж точках происходит быстран осцилляпия и суммарный вклад оьавывается малым. Падве повдние формулировки метода скорейшего спуска (или метода перевала) могут быть легче обоснованы и повволялп оценить ошибки. Полное обсуждение втих методов содержится, например, в книге Дисеффриса и Джеффриа (Сверло) И, 4 17.04 — 17.05] г). Для наших целей достаточно найти первый член асиюпотнческого равложення, счедуя рассуждениям Кельвина. Раввожим функции г" (х) и у (х) в (И.З)) в рнды Тейлора в окрестности х =- й. Доминирующий вклад дадут членьс Х(х) = Х(й)+ — (х — й)'Х (й) лри условии, что у" (/с) ~ О.
В таком приблвжении лакомый вклад равен Р(й) охр( — 12(Р) с) ) ехр ( — — (х — й) х'(й)/~ с/х. Оставшийся ннтеграл сводится к вещественному интегралу ошибок е- 'с/х= (к/и) поворотом контура ннтегрирования «) на ~я/4: внак следует выбрать такой же, как внак у'(й).
Окончательно получаем /7(й) )/ П, „ р ( Х (й) 1 ай Х" ~ . «) См. также Лелреатьев М. а., Шабат Б. В., Нежди теорнн фуннцвй комолексного переменного, вед. Е, М.— Л., «Нвукее, 1973; Пчдорюк М. В., Метод перевале, М.— Л., «Нвугсее, 1977.— Лрмм. ред. т) Это еаответствуег верехаду к лавки окаревсвего спуска Гл. И.,Пикейные диспергирующие волны Если существует несколько стационарных точек к = й, удовлетворяющих ураввевию (И.21), то ка»кдая дает вкалогичвый вклад и имеем Х ())' «(В" »П к »шмв з х ехр (Гйх — 1)У (й) à — а здп В'" (й) ) (И.22) Для получения следующего члена аси»штотического разложения необходимо продолжить ряды Тейлора до члена (к — й)» для Р (х) и до члена (к — й)» для 2 (к).
Д«а следу»ощнх члена необходимы, поскольку вочетвые степеви при ивтегрировании вьшадав:т. Когда зто сделано (предпочтительвее с испальаованиеы метода скорей»пего спуске), дополнительный члев можно записать в виде мвожитазя «Р' 1 ш я' 5 ш"»» ю» 1.)- ' „( —, — — — „— '+ — —.— — —. ) (И.23) с(к") ( зя г и" р т«и "» з к. при соответствующем члеве в (И.22). Столь сложное выравсевие получается из-ва необходимости работать с двумя следующими члевами рядов Тейлора для г" и 2. В общем случае асимптотическое повщевие описывается дальнейшим раазожевием по отрицательвым степевял» Г с коаффициевтал«и, аависящими от )г. До сих пор смысл выражения «большие значения Г» оставался неясен.
Теперь можво потребовать, чтобы поправочвый члев в (И.23) был малым; г должво быть большим в шкале времени, связанной с дисперсиоивым соотвошением и шкалой длин из вачальвых условий. Для начальных условий в виде четко выражевкого пика с малой характерной дливов величины г' и г' малы и требуется, чтобы г было больши»«по сраввевию о характерлым периодом для Вг (А), что в свою очередь задается паралютрами ураввепия. В предельком случае начальных угловий в виде 6-фувкции величина г постоянна и г"' = г" = О„ Для частного случая с двумя модами ю = ~В«(к) полное решение дается формулой (И.16).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
