Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Одвако распределение давления аа основной Аг-волной дает важный вклад в общую подъемную силу, переданную на Землю. Полное выражение имеет вид (9.81), и если потребуется подробная формула для учета подъемной силы, то следует использовать нелинейную моднфвкацию формулы (9 81). Это иногда вызывало недоразумения в литературе, где укавывалось, что распределение давления, полученное яв равенств (9.68), при интегрировании по поверхности Земли не дает полной подъемной силы ) Ь (х) бя.
Следует иметь в виду, что выражение (9.68) з применимо только в области основной Аг-волны, а формула, выведенная иа (9.81), суммирует все воанущения и дает полную подъемную силу. Обобщения на тела, движущиеся с ускорением, и на неоднородные атмосферы (последнее всегда важно в реальной ситуации) можно до некоторой степени провестя аналитически. Здесь теория существенно опирается на геометрвческую акустику (см. Фрггдьган, Кейн и Синьялла (Ц и цитируемую там литературу). Дальнейшие исследования и результаты сравнения с данными испытаний в азродинамической трубе и с данными наблюдений описаны в серии обзорных статей, опубликованных в !опгаа! о( Сйе Асана(!са! Зос!е(у о( Ашепсв аа 1965 г.
Подробные сраннеаия были проведены разлячными нравительствевяыми лабораториями и авиационными компаниями. (Популярный отчет, доступный для неспециалиста и содержащий ряд интересных сопоставлений теории с практикой, представлен в Воешй Оосашепз ПЗА16698-1.) Выводы, по-видимому, состоят в том, что теория дает хорошие реаулътаты и ценный подход к чреааычайно сложным практяческим зздачаы.
Глава 10 ИЕРАРХИЯ ВОЛН 'Свойстве семействе гиперболических волн олввзковой природы изучены теперь довольно подробно, внлючвя рззлкчные аффекты геометрии, диффузии и ззтухзння. Для зеверпгекия этой первой чести обсудим свтуецигщ ногдэ в одной и той же зэдзче получзются волны резличных порядков. Типичные примеры укэвынзлись е гл. 3, где были оделены некоторые нредверительные земеченпя. Например, потоку треяспортэ нэ одном из уровней описзнвя соответствует системз уревиений р, + (ри) „= О, т(из+из,)+ — р +и — У (р)=0.
т (Ю.1) и Эте система имеет двз семейства хврзктеристик с хврввтеристическими скоростями и + )го)т, и — Г'т(т. (10.2) Кэк следствие волны с этими скоростямв доюквы сыгреть евою вещную роль. Однако упрощенные уревневня р, + (ри)„= О, и =. 1' (р), (10.3) которые считаются хорошим приближением при достаточно мелит знечениях т и т, имеют одно семейство хзректернствк, причем характеРистическая скорость не совпедвет пи с одной из двух скоростей (10.2), е ссстэвляет (10.4) 1'(р) .( р У'(р).
Для того побы не было противоречия между двумя уровнями описзния, волны со скоростью (10.4) также должны нгреть вежную роль в решениях свстсмы (Ю.1), хотя ови больше и не свявелы с характеристиками. Наша цель здесь состоит в том, чтобы глубже выяснить роль зеолн высшего порядка» (10.2) и свели низшего порядкзэ (Ю.4) н посмотреть, кек кзждое из этих семейств волн модифицируется наличием другого семейства. Рассмотрим снзчеле линеериэоввнные варианты систем типе (10.1), поскольку в этом случве можно найти (при помощи преобревовзнвя Фурье) общие репюния тнпичиых зздзч и ззтем всполз воввть их для выяснения наиболее хврвитериых черт таких систеы.
Подобные енелитнческие решения полных нелинейных систем Гл. 10. Иерархия волн редко удается найти, но линейные реаультвты можно испольаовать для оценки соответствующего поведении равличных нелинейных вали, чтобы ва атой основе ввести упрощающие предполо»кения длн их приближенного описания. Когда системы типа (10Д) линеаривовапы, то удобнее работать с эквивалентным уравнением второго порядка. Опо имела общий вид »! ( — +с» — ) ( —.+с» — )»Р+ ( — +а — )»Р.= О, (10.5) где коэффициенты постонпны и для определенности принято, что с, ) с,.
С точностью до обоввачепий это совпадает с уравневием (3.4) для потока транспорта; с» и с, явлиются линеарнвованными формами выражений (10.2), а именно значениями в яевозмущеппом потоке, и а — линеаривовапной формой (10.4). Нслипейпал система (3.37) для паводковых волн аналогична системе (Ю.1). Ха!»аятеристичеак»»е скорости равны г ~ 'Р»б'й, но принеденнал система (3.38) указывает также нз наличке «олп пившего порядка со сноростью 3»»/2. Линеаривова»»нос уравнение (3.41) имеет тот же вид, что в уравнение (Ю.5).
Линейное уравнение (3.74), описывающее химические процессы обмена, нвляотся тощим и соответствует частному виду уравнения (10.5), где одна ив скоростей с положена раиной нул»о. Другие пример»л будут упомннугы»пгжз. Если рассматриваемая система имеет порядок вып»е второго, то число саыножителей е левой части уравнении (Ю.5) соответственно возрастает. Волны иысп»его порядка, очевидно, описываются факторивованпым оператором в (10.5).
Действительно, если бы отсутствовали члены вившего порндна (»! = оо), то общее резекне имело бы вид »Р вЂ” »Р» (х — с,с) -»»Р» (х — с,с). (10.6) С лругой сгорю»ы, если бы отсутстзовалв члены вьюшего'порядка (ц —. О), то зто решение имело бы вид »Р вЂ” рэ (т — ас). (10.7) !!оследяее, конечно, соответствует упрощенному уровню описа- ния, линеаризоваияый вариант которого даетоя уравнением — + а — — 0. з»г ьз д» дг (Ю.8) На»аи вопросы касаются комбивироваиных систем, различных ролей, которые играют волны на двух уроаннх описания,и модификаций выражений (10.6) п (10.7). Мы. мо»аем заранее нредставить себе, что должно проиаойти.
Поскольку характеристики уравнения (Ю.5) определяютсв чле- 329 Гл. 10. Р!ерархия волн нами высшего порядка, то первые сигналы и волновые фронты дозэкны перемещаться со скоросюзми с и с,. Но чтобы не возникло противоречве с упрощенным описанием, часть возмущения должне перемепгаться со скоростью а. Это иаображено на (л, г)-диаграмме, приведенной на рис. 10сй Когда параметр ц уменьшаегся, первые сигналы должны становиться малыии, основное возмущение должно ржпространяться со скоростьго а и с разумной точпостью аппроксимироваться выражением (10.7).
Рвг. го.г. (, з)-дззгрзияе дле залаю ноше. 1 — швсзвог зсзкуыгввс,  — яззме зсзяуа;евз». Эта картина имеет смысл только в том случае, ногда а лежит между с, и с,. Но, нак мы видели в гв, 3, именяо зто условие необходимо для устойчивости, тз» что условие устойчивости тесно связано с гдевки распространеявя волн. Трудно удержаться от выскааыгшп'я, что неусгойчнгость, возникающая при а, ве лся ащем в интервале между с, и с„объясняется тем, что в соревновании двух множеств волп волны.
распространяющиеся со стгоростью и, нс могут одержать победу. Здесь татгке возникает вопрос о подходящих граничных условиях, тав как часло граничных условий определяется числом характеристик, напрагленныл в интересующую нас (х, С)-область. Однако число характеристик может меняться прв переходе от (10.1) к (Ю.З) или от (Ю.б) к (10.8], к требуется раж яснить ато кажущееся несоответствие. В силу неравенства сг ) а > с„, накладываемого устойчивостью, уравнепие (10.5) может потребовать линга больше граничных условий, чем (Ю.Я). Когда ате имеет место, то между двумя уровнямн, описания не будет прстмворечня, если дополнительная информация длл уравнения (10.5) будет влиять нз ршпение только в пограничном слое, тонкои для.малых т), а вне атого слоя ршпение уравнения (Ю.б) будет хорошо аппрок- Тл.
10. Иерархии волн симироваться решением уравнения (10.8). Соответствующее решение уравнения (ПОЗ) будет удовлетворить только части граничных услоний, согласование жв'с дополнвтельнымя траниппсмн условиями будет происходить в пограничном слое. Детали всех этих рассуждений подтверждаются точными решениями уравнения (10.5). Затеи подходящие идеи можно частично перенести на нелинейную ситуацию.
Б нелинейном слу ше имеется воэможность возникновения ударных волн, н ва рзаличных уроняях описания эти волны будут иметь различную структуру. Понимание связей между ударныив волнами различных типов приводит к простому критерию, предсказыаакнцему, котла структура ударной волны все еще будет включать разрыв. Прссмсреми! таких условий являются неравенства (ЗЛ7) и (3.52). Теперь мы сможем дюсмотреть ати условнясс более общей точки зрения и привести ральнейшие примеры4 10.1. Точные решения линеаризованной задачи устойчивость. Злементзр- Исследуем сначала уравнение (10.5) нв нос решение имеет вид Е = Асв ™, если с) (ю — йсз) (ю — асс,) + 1 (ю — йс)й= О. Для сравнительно коротких волн Йссц )) 1 имеем с сс — а йсс— сс — сс ' ! а — сс Если не будут выполнены условия Ч >О с >о>с„ (10ЛО) (10Л1) (10.13) (10Л3) то адно из втих выражевий будет иметь положительную мнимую часть, что свидетельствует о неустойчивости.
Обратно, легко проверить, что при выполвеиив этих условий 1ш сс ( 0 при всех й, так что ониполностью обеспечивают устойчивость. Будем теперь считать, что неравевстна (10.13) выполнены, и рассмотрим более общие решения. Основные моменты одинакоао хорошо можно выявить как на решении задачи Коши кри помощи прсобрааонания Фурье, так и на ус~пении задачи о распространевии смекала при помоще прсобрааования Лапласа. Мы вмерзли последнюю, поскольку она содержит большее число различных частных случаев, аависящих от знаков сп са и а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
