Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Метод введения нелинейности с /(т)гцг. Следовательно, для нолучвнвя нелинейной мацнфикацив решения во всей области достаточно ваять комбинацию выражений (9Л6) н (9.14). Во всяком случаз, нелннзйнаямоднфнкацмя играет пврвостепенную роль в области сзт/г (( 1, глз (9.16) можно аппроксимировать выравгениом (9.13), в котором з Слолует отметить, однако, что надложащне граничные условия обычно задаются вне области с„т/г (( 1, так что либо (9.16), либо полное линейное репюняо, к которому оно сводится, необходимо для определения функ~тки / (т), фнгурнругощей в разонствах (9.13] н (9Л4).
1'егпающая роль геометрической оптнкн теперь становится очевидной, поскольг<у (9.12) представляет собой приближенна геомстричоской оптики для цилиндрических волн. В общол~ случае геометрическая оптнка даст гоометрню лучой н (для однородной среды) мы имеем ф Ф(з)/(г — — ), (9Л 7) вдоль нажцого луча, где з — расстояние по лучу, Ф (а) — аыплнтуда, /(г — з/сз) опнсывает пРофиль волны. Зто естественная форма нелвпейной модификации и она применима как раа там, где нелинейные эффекты наиболее важни — вблнан фронта волны и на больших расстояниях.
Для нелинейной модификации следует волов:кть й = Ф (з) / (т) (9Л8) г= — — +~/(т) ~ Ф (з') бз'+ Т (т). з Объединив результаты для всех лучей, волучнм нелинейную модификацию полного решения. Следует отметить, что с (й) означает адесь скорость вдоль луча,что не совнадает с нормальной скоростью волнового фронта для аннаотропной срепы. Для неоднородной оралы с и сз ьюгут така;е зависеть от з. В этом случае з/ср ааменястся на ~ бз/сз, к если валнчнна с,/с,' зависят от з, то в формуле (9.18) ее следуст внести под знак интеграла. Теперь уместно сравнить данный метод с методом, равннтым в предыдущей глава.
Грубо говоря„для тех задач / (т) была функцией типа ступенька, тазг что нелинейное вааююдзйствиз было умеренным н можно было учесть свльньге нелинейные аффенты, вэмевяющис геометрию лучей. Здесь геометрия лучзй и ее влияние Гл. 9. Распространение слабых ударных волн на амнлитуду Ф (а) принимаются иа линейной теории без ивмене- ния, но допускаются более общие профили 7 (г)2 Можно предпо- ложить, что в еще более общих задачах может понадобиться комбинации обоих подходов, но такой анализ выглядит устра- ша вице.
Второе обобщение рассматриваемого метода связано с те», что часю нелинейная скорость распространении вависит от производ- ных ро и 1Р„а не от самой фУнкЦии Р. ОДнако лРи зтом пРоЦеДУРа меняется мало. Выражения для 91 и р, вьщисываютсл в видо, аналогичном выражению (9.17), и исправленные характериспнои определяются ив соответствующего разложения Щ 1 1 агро пай при т=сопщ. Ь а со В силу (9.17), соответствувицие первые члены для (о1 и й, равны р =Ф()Г(), ъ= — —,Ф()Г(), 'а и характеристическое соотношение пронимает вид —,= — -й| (.)Ф(а), й=аг — ак;.
да 1 -1 Характеристики определяются из ураююния 1.= — — йр(т) 1 Ф(а') Ы+Г(т). о (9.19) Типичный пример подобной ситуации связан со сферичесними волнами в гааовой динамике. Линейная теория — зто акустика, и ~р„ ф„ соответствуют возмущениям давления н скорости. Пв (7.3] и (7.4) имеем Р— Ро 7 7Р (1 — т(аа) а ца = Ро ао о 1 Р (1 — /аа) ( Р— (ао) ао ао аож Нелинейная модификация решения имоьт вид Р— ра 73' (т) Ро а — «о 7 — 1 Р(т) 2 а Р (т) 1(т) т яра' [9.20) (9.21) где Р (т] = — 7' (т)(а,*.
Нам потребуется также возмущение скорости звуха а, которое определяется равенствами а — ао 7 — 1 Р— Ро 7 — 1 РР— !аа) ы 27 Ро 2 9.1. Метод введения нелинейности где т (1, г) следует определять по исправленным харантеристикам. Точные характеристические уравнении были приведены выше (см. уравнения (6.135)). Выходящие характериглики имеют скорость а -!. и. Следоватшоьно, для понравки нервого порядка к характеристикам шоеем до 1 1 а-(-а — ао Л. = а-Ри — ао (9.22) Согласно (9.20) и (9.21), зто означает, что Ш 1 т+1 Р(т) 1 1(о) + ао 2о 1 = — — — - Е (т) )и г — —, — + Т (т) .
т-(-1 1 )(т) оо ЪЧ а! (Соотношение между Р (т) и ! (т) принимает зид Т(т) .= — а,'Е (т) Т'(т), если Т'(т) ~ 1.) 1)оскольну нас интересует область аот)г((1, а в этой области член ! (т))г всегда сравнительно мал, достаточно положить Р— Ро огйй а — ао 2--1 Р(т) ш ' ы 1= — — Е(т)'!вг ! Т(т). 7)1 2ао Р (о) (9.24) Ф (з) Е (т), где Ф (а) — амплитудная функция, а г" (т) описывает профиль волны.
Уточненная скорость распространения а ашом приближении равна секса+ сойФ (а) Г(т), (9.25) где козффициент й — постоянная, определяемая конкретной связью между с и зависимыми переменными. Исправленные характеристиказ удовлетворяют уравнению — = — йФ (а) Е ( 1) Ш 1 до оа (9.26) Это довольно тривиальный пример, в котором сохраняется лишь приближение геометрической акустики к (9.21) и (9.23). Цилиндрвческие и другие волны в газовой динамике рассматриваются аналогичяо, и приближение геометрической акустики дает суп(затаенное упрощение, подобное переходу от (9.11) к (9.12). Если в выражение для с входит производные, то их удобнее считать новыми зависимыми переыенньваи.
Тогда зо всех случаях лриблиокение геометрической оптики приводит к выражеаиям для етих зависимых переменных, пропорциональным Гл. 9. Распространение слабых ударных воли 320 и имеют иид йу (т) ) Ф (а') бр + Т (т). а (9.27) Построение риаркеос Ударные волны в служе необходимости вводится с помощью условия на слабом разрыве т С= — (с,+ст), 2 где С вЂ” скорость ударной волны, а с, и с, здесь означают скорости распространения возмущения на двух сторонах раарыва. В данноы случае удобно рассматривать кривые в (а, г)-плоскости, считая Г функцией от г, так что условие на разрыве принимается в виде ( —,",) = —,.' ((Ф),+ф),), (9.23) аквивалеитном предыдущему с точностью до членов второго порядка относительно отклонений скоростей от с,.
Если ударная волна описывается уравнением г= — С (а), ср то имеем С' (а) = —. й (Е (тг) + Р (те) ) Ф (а), С (а) .= ЙТ (т,) ) Ф (а') На' — Т ( г,), е С(.)=бр(т,) )" Ф(Т)б' — Т(т,). е Таким образом получается типичное соотношение «равных пло- щадейа — (Р (т,) + Р (т,)) (Т (т,) — Т (т,)) = ) Т (т) бТ (т). (9.29) Положение передней ударной волны, движущейся в невоамущениую область, определнотся уравнением (9.27), где т связано с а соотношением — )йч(т) ) Ф(ь')<Ь'= ) Т(т')НТ(т'). (9.30) с е 9.2.
Обоснование метода 311 При г — ь со уравнение ударной волны асвмптотическн переходит в уравнение г= —" — К(~Ф(/)Лг'~ ' -) У(ть), е (9.31) где К=-(23) ьг(т)оТ(т)~Н, Р(то)=0. (932) а Е(а ударной волне параметры течения пропорциональны КФ(г)() Ф(Б)йг ) (9.33) а Типичная асиьштотвческая форма волны — это Л'-волна с уравновешенными ударными волнами, в области между которьььпг происходьп линейное убывание по вреыени, пропорциональное Ф(г) ( ~ Ф ( ') Лг') (9.33) е Для сферических воли Ф (г) == 1)г и интенсивность ударной волны (9.33) убывает кан г ' (!пг) ььь, лишь неаначьпельно быстрее, чем затухают линейные шьпульсы.
Для цилиядричесних волн Ф вЂ” — г-ьть и интенсивность ударной волны убывает как г "тд. Конечно, плоские волны тоже описываются этими формулами; для них Ф постоянная и аакон аатухаиня имев~ вид г Нь, что согласуется с полученными ранее результатами. Зги асимптотические ваконы затухания для цилиндрических и сферических волн были получены яевависимо различными авторами, первым иа которых был, вероятно, Ландау (1). Для более общиг двух- н трехмерных воли в однородной среде Ф (г) с Л ы (г), где Л (г) — площадь соченин трубки лучей.
Дальнейшие детали и приложении можно найти в ранней работе автора (Уиэем (5)). Дла неоДноРолной сРеДи Нсь заменЯетсЯ на ) Нг/сь и все выРажения в (9.26), зависящие от г, должяьь быть включены в Ф (г). 9.2. Обоснование метода Существует несколько подходов, при помощи которых можно матеыатячески научить метод введения нелинейности для конкрет- ных систем, и каждый ив них отражает свои аспекты шого при- ближения. Гл.
9. Распространение слабых ударных волн Прежде всего предположим, что нелинейное уравнение для <р имеет вид грт+(се+сэр) и + Р с 9=0, (9.35) В данной снтуапии это уравнение предлагается как модель, но впоследствии ыы увидим его связь с другими служями. Линеарязованное уравнение 9~+се + — е — 9=0 (9. 36) имеет репюпис / 9 — */го) 'Р = (9.37) Прн () =- 1 это вырангекие соответствует сферической волне, при () = 1/2 — цилиндрической. Характеристическая форма уравнения (9.35) эанисывается так: (с,+с„,) се бсо ст (9.33) л (9.39) Еэ се беж Уравнение (9.38) имеет точное репюние ~рс ютг т— / Гт) э (9.40) где т — характеристическая переменная, которую следует определить иа уравнении (9.39). Ясно, что выражение /(т) „в (9.41) для малых р является равномерным приблюканием к (9.40).
Это нодтверждает основное предпалоткеиие ланяого метода. Способ определения переыенной т можно иаучитго используя разложения выражений (9.39) и (9.40) по степеням й, сходящиеся при ) й ( ( ( с,/со Имеем — = — + — + + И 1 т~/(т) тт/э(т) Ь се Э эв где коаффициенты у„выражаются черев ср и сб в частности, 7, = = — с,/сс Отсюда /= т (т)+ — *(- т"'/('),же р ут/'('), — а+,, (9 43) — — эб (В случае когда () = 1, 1/2 и т.
д., соответствующие степени ааменявлся логарифмами.) Первое равномерное приближение имеет 313 9.2. Обоснование метода 1= Т (т) + — + — з — Э с тсщс) сс 1 — б (9.43) и согласуется с результатами, вытенающими из (9.41) и уравнения — — Ф. ,а 1 с, (9.44) а* сс с т — 1 с 2аг а, -1- иа„+ —, а ( и, + — ) =- О, 2 2 и, + ии„+ - — аа, = — О.
т — 1 (9.45) (9.46) Раассяшнил ио малому яерсэысссру Один очевидный полход состоят в том, чтобы продолжить формальнме разложения но малой амплитуде за рамки линейной теории, посмотреть, что будет не так, и внести исправления. Здесь окааывается полезным ввести палый параметр з в явном виде; например, е мошно положить равным максимальной величине отношения и/ас на некоторой исходной поверхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
