Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 53
Текст из файла (страница 53)
8Л8. Отставшая часть соотвщтвуст вогнутому участку фронта и, следовательно, будет усиливаться по ыере распространения. Усиливаясь, оиа будэс ускоряться и таким образом вздутие будет сглаживаться. Анагюгичным образом любая часть ударной волны, выдающаяся вперед, ослаблнется и замедлянгся. Общим результатом является устойчивость.
Рассуждения об изменении интенсивности нолны в зависимости от кривизны количественно выраигаются соотношением между Л и М. В линейной геометрической оптика вогнугая часть волнового фронта приводит к наустике, поскольку лнвейные лучи ортогональпь1 исходному волновал|у фронту и образуют огибающую (см. стр. 239 — 240„выше). По иере тою как волновой фронт распространяется по сходящейсн трубке лучей, сн усиливается и ею интенсйвность нюграннченно возрастаег при прнблннгании к каустике.
Но в линейной тюрин скорость возмущений неизменна, и пожому лучи остаются прямыми. В развиваемой здесь нелинейной теории ударная волна по ыере усиления ускоряется. Это как бы расталкивает лучи, и пе получается ни наложений, ни каустики. Возмущение обгоняет ударную волну, как показано на рис. 8.гб, и выравнивается, расплываясь вдоль ударной волны. Подробно задача формулируется как задача Коти с начальными значениями М и О, заданными на исходной ударной волне. В двух измерениях эта задача полностью аналогична задаче, рассмотренной в б ОЛ2.
Именгся исходная область взаимодействия, а затем возмущение раздслястся на две простые волны, движущиеся в положительном и отрицательном напранлониях вдоль ударной волны. Для каящой) ие них полные иаменеиия О и М будут равны нулю, таи что овн в конце концов превратятся в )У-волны 8.8. Устойчивость ударных волн с вторичными ударными волнами впереди и саади и линейным убыванием 8 между ними.
Форме ударной волвьг будет соответствовать рис. 8.18. Подробные вычисления адесь приводиться не Риь. В.)В. Схема вологкеввв ударной колин (оалогоные ирвеые) и л)чел (штриховые кривые) Лля нелинейного раолщо к устина. будут. Согласно общим реаультатам, установленным ранее, вторичная ударная налив затухает как Сйггв. дггя равномерно распределенного начального воэегущения типа синусоиды возмущение аатухвет как йф (см. й 2.8). Устойчивость сгодлл(игсл цилиндрическая ударных соля Возникает ин*ересный и важный вопрос об устойчивости сходящихся цилиндрических и сферических ударных волн. Ожидаемое высокое давление в центре будет значительно ослаблено несовершенной фокусировкой. В экспериментах Перри и 1(антроиица И) были обнаружены очень симметричные формы нля слабых и умеренных ударных волн и иокотарые признаки иеустойчииости для сильыых ударвых волн, хотя иыводы не представляются достаточно четкими. Интересно проаналиаировать втот вопрос, используя нашу теорию.
Локальные выпуклости на ударной волне будут проявлять тенденции, описанные для плоских ударных волн, но на них накладываэыся общее движение к центру и усиление валим в целом. Отставшие части будутпроявлятвтешгенциюк усилению, но другиечасти уже усилились за счет общего двияыния и блиаости к центру, так что отставшие части могут продоюкать аалаэдывать и, воэмонгно, отставать все больше и больше. Пока радиус Гл.
8. Дввамика ударных вала достаточно велик, кажкгса ясным, что поведение будет блиаким к плоским волнам в рагжространевве будет устойчивым. Поэтому вопрос касается поведения ударной волны вблизи центра, гле ее интенсивность велика. Задача для сильных цилиндрических ударных волн была исследована Батлером !2] прн помощи метода малых воэмущений, неявно включавшего приближения теории трубок лучей. В раэвитой адесь общей форыулировке овэ решается проще и беа лспольэоаавия предположения о малости возмущений. Для сильных ударных волн двунерные уравнешш (8.59) — (8.61) принимают вид Н) аМР ам ;,— =0, эб м э са эе м ам —.-(- — — =-О.
до+ мд эб (8.102) (8Л03) е ричвое решение для ударной волны с нсходиыы радиусе~ Ва дашся формулами Как и следовало ожидать, оно совпадает с решением Гудерлея. Для научения вовмущений атого решения испольэуем преобраэоэаиие годографа уравнений (8.102) и (8.103) и поменяем ролями еависимые в неаависимые переменные. Зто приводит к линейным уравнениям беэ каких-либо ограничений величины вовмущевий. Сначала введеы новые пероменные тогда уравнения (8Л02) и (8.103) перейдут в следующие: — +д — .=0, ээ э д9 (8Л 05) дв дт — =0. В этих переменных симметричное решение имеет вгщ д 1йе В т (1. При преобрааовании годографа () и э рассматриваются нак функции от д и В.
Формульг преобразовании таковы: Вэ —— =- Хэ, В, = — Х()т, д„ = — эге, д, = Х()е, где У вЂ” якобиав д (д, $)!д (э, ()). Уравнейия (8Л05) принимают вид 6,+да,=о, (),+„=0. Исключив )1, получим одно уравнение дэ~ + 2дэ (8.106) 8.9. Ударная волна в двиягущейся среде решая его ыегодом разделения переменных, яаходиы з=й с, р= — — лв ( — — тэ) эг е Г г1 тттэ 2 (4 (8.107) Вели т = О, то при р = — 1 имеем симметричное регпеяие. Вели т-:1, то Вер .= — ьы Следовательно, при прибаигкении ударпои волны к центру, когда д — ь оо, гармоники доминируют иад симметричной леской.
Помочу ударная волна оказывашся неустовчиаой. Мнимая часть показателя степени р указывает, что возмущение состоит иа волн, распространнющихся по ударной волне. Когда возмущсвиестановится болыним,якобианХ может обратиться в нуль, Зто оаначает, что отображение (д, 6)-плоскости на (з, ())- плоскость перестает быть взаимно однозначным, что соотаетотвуег появлонию вторичных ударных волн. Когда достигаетси эта стадия, дальнейшие расчеты следует проводить численно в (з, ())- плоскости. 8.9. Распространение ударной волны в движущейся среде Прн рассмотрении воэиущений в двюкущейся среде из линейной теории можно заключить, что лучи не ортогональны к волновым фронтам (сы. т 7.9 и рис. 7Л2).
Соотвотственно мы ие ыожом ожидать, что в нелинейной теории лучи будут ортогональны ударнын волнам. На первый взгляд это приводит к затруднениям поскольку нелинейная форнулиравка опирается на ортогональность при сравяении распространения з трубке лучей с распространением по данному каналу. Однако выход состоит в гом, чтобы в качестве пробного случая рассмотреть распространение возмущений в сдгюродяол потоке. В системе отсчета, движущейся с потоком, приыениыа старая формулировка, и остается только соэершмгь преобразование Галтглея н другой движущейся аистеме, чтобы получить правильную формулировку для двюкущсйся среды. Тогда, как и ожидалось, лучи уже не будут ортогональны ударным волнам.
Эта аацачь была ршпена автором (Уизем (12)), а приложения указаны Хуппертом и Майлсом (1). Интересно была бы продолжить это исследование, чтобы увидеть, каким образом метина непосредственно сформулировать теорию для движущейся среды. Все указывает на то, что близость лучей к ливиям тока не столь важна, как первоначально прелщаалялось„и эта может привести к новым точкам зрении. Глава в РАСПРОСТРАНЕНИЕ СЛАБЫХ УДАРНЫХ ВОЛН Как было указано в пачале гл. 8, мо>кко раввить другой подход л охватить другой класс задач, свлвавиый с ударными волвамк сравигпелько ьюлой ивтеисивкости. Геомзтри геские эффекты вводятся теперь беэ измевешгя из линейной теории, после чего мы в состоянии справиться с более общими яоквмейвыми взаимодействиями внутри волнового профиля. Нриблввгеввые методы будут развиты для ксстаииоваркых волн, первыми примерами которых явятся сферические и циликдрические волны.
Затем будет белее детально исследована задача о звуковом ударе, являющаяся, повидимому, наиболее ивтересвым приложением теории слабых ударных воли. Неприяткости от звуковых ударов прикипают угрожающие равмеры, во фактически вти удары представляют собой чреввычайко слабые ударные волны я естествеккая цель — сделать их еще слабее. Макслмалькое ивбьыочкоо давление у поверхвости Земли для современных и проектируемых сверхзвуковых лайнеров составляет около 2 фувт)футе (т. е. около 0,15 кГ/смэ.— Перев.), что соответствует ударкой волне иктеисивлости порядка 10 э.
Освоввую задачу для постоянной скорости и траектории полета люжко рассматривать как задачу о стациоварком сверхзвуковом обтекаяив, так что здесь будет продолжеко развитие теории, ивлажсккой в 1 бну. 9.1. Метод введения нелинейности Гсомшрические эффекты в простейшей форме возникают при рассмотрении сферических волк.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
