Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 49
Текст из файла (страница 49)
8.3. Имеем ~ р.( — „')АР= ~ — '„'..48, (8.49) г эггхееэ где Х вЂ” боковая поверхность трубки, Я~ н Яэ — основания, а ч — внешняя нормаль. На боковой поверхности ! э = О, согласно опренелению 1, так что поверхность Х не данг вкладе в этот инте- 8.3. «Геометрическая динамика» ударной волны грал. На Я величина Еч = -71, а на 8, величина 1 ч = — 1. Тогда правая часть равенства (8.49) сводится к равности 5 —.-Ж е, ж Если диаметр трубки стремится к нулю, ъ», в силу опренеления функ»гик А, оба нятеграла стреыятся к одному и тому же вначеяию, Рве. В.В.
Геометрия трубка ву«ей. (8.51) (8.53) (8.54) так что их равность стреыится к нулю. Следовательно, интеграл в левой части (8.49) равен нулю. Нескольку объем Р был выбран проиввольяо, сто оаначает, что равенство (8.47) выполняется всюду. Уравнения (8.44) — (8.47) дают уравнение в частных дроиввод- иых для а (х). Собрав ревультаты, получим М= —, )ра( ' (8.50) т. ( — 'Ры) =О, л, //(ы,) (8.52) где уравнение (8.51) получено иа (8.47) при помощи ранено~во 1 = 17а/( «7а( = М 17о. Зги выражения улабны для сравнения с ревультатаыи геометри- ческой оптики и линейкой теории. Линейный предел отвечает М вЂ” т 1, и линейная теория аамеыяет уравнения (8.50) — (8.52) соответственао следующими уравнениями: (В/а(= 1, В7 ( — '17а) =О, (8.55) Заметим, что в первых двух уравнениях, свнванных с геометрией, М тождественно ааменяется единицей, но в уравнение (8.55) входит М вЂ” 1 как мерв интенсивности (которая мала) ударной Гл. 8.
Динамика ударных волн волны. Таким обравом геометрия ие свяаана более с определением интеисввноств волны. Параметры течевия, такие, как з = = (р — р,)!рм пропорциональны М вЂ” 1, и линейнал теория испольаует скорее з, чем М вЂ” 1. Ив уравнений (8.54) и (8.55) имеем 5г. (ззгуа) = О. (8.56) Ураанепле (8.53) совпадает с уравнением заковала (7,65) с учетоы нормировки а на скорость звука, а ураанение (8.56) — не что иное, как уравнение нереиоса (7.66) с в» Фе. В линейной теории сначала было выведено ураанение (8.56), а затем найдена интерыретадия з е А хтв, соответствующая уравнению (8.55].
Испольаованные здесь рассуждения привели непосредственно к тому, что раныле было винтерпретацней». Основной момент, однако, состоит в тоы, что раввитая здесь теория в гоответствуввцелг пределе сводится к линейной теории. Главное отличие нелинейной теории состоит в том, что интенсивность волны х связана с М. Даже для слабых ударных волн с М вЂ” 1 (( 1 эта овяэь может привести к важным качественным отличиям.
8.4. Двумерные задачи В двумерном случае положения ударной волны в лучи образуют ортогональную координатную сетку, как показано на рвс. 8.4, «еа)вр Рве. ал, Лввейпые евеымпы ювемве ударных всвв. и, для некоторых делен удобно переписать уравнения в втих координатах. Последовательные положения ударной волны уже представлены семейством кривых а = сожа, и мы введем функцию р (х), представляющую лучи нак семейство кривых () = сопз$. Интересующие нас уравнения, в которых а я 6 используются как невависиыые коордиыаты, можно получхггь непосредственным преобравовавием уравнений (8.50) — (8.52), во в целях выяснения 273 8.4.
Двумерные аадачи дальнейших сволота геометрии поучительно провести независимый вывод. (Эти рассуждения фактически являлись основов первоначального вывода данной теории.) В описании, основанном на сетве кривых а — — сопФ, () = сопзВ геометрия тесно сввзана с линейными элементами, соотзетствующиыи приращениям координат йх и >)5, и геометрия трубок лучей вводится через >юсппабные коаффнциенты атвх элементов. Линейный элемент, соответствующий приращению Н(), равен А (и, 8) >)(), где А — неко>орал функция.
Эта функция А, очевидно, пропорциональна п>ирине лучевого канала между лучами () и () + е>(). В двумерной задаче трубки лучей именя постоянную глубину в третьем измерении, поэтому А пропорциональна площади трубки и может быть использована выесто зтой площади. Приращение >йх соответствует иамененвю поло>кения ударной волны за времл е>> = Иа!аэ. Следовательно, пройденное расстояние равно П й =.М>йс.
Отсюда следует, что длина элемента дуги, соответствующая приращению пм, рав>ш Мйх. В общем случае длина элеыента дуги выражается формулой (8.57) б>увкции М и А в таких ортошнальпых коорливатах не могут быть проиввольныыи функдиныи от (и, ()).
Ояи удовлетворяют некоторому дифференциальному уравнению„которое следует иа иавестного наы факта, что двумерное пространство, описываемое метрикой (8.57), в действительности плоское. Повтоыу кривизна, вычисленная при помощи М в А, должна обращаться в нуль. Можно форыулнровать это иначе: функции М я А должны быть такими, чтобы выражение (8.57)можно было преобразовать в следующее выражение> >(>>, дгэ + >)рз Соответству>ощее )славие, которое будет выведено ниже, имеет вид (8.58) Если добавить соотношение между А и М, то получитсн полная система уравнений для определения А (и, 5) и М (а, ()).
Зная их, можно найти лучи и положения упарной волны как функции от к я у. Для доказательства (8.58) рассмотрим криволинейный четырехуголы>ик Р()ВЮ (рис. 8.4) с вершинами (а, ()), (а+бщ ()), (а, () + 6()), (и -~- ба, 5 + 65). Пусть 8 (а, 5) — угол между лучом и фиксированным направлением, скажем осью х. 11оскольку стороны РЮ и б>В имеют длины Абф и (А + А„бм) 65 соответственно, а расстонние между кими равно Мба, изменение наклона луча Гл. 8.
Динамика ударных волн 274 при переходе иа точки Р к 8 составлнет 56 = — = —. 5(). ДД вЂ” РУ 1 дА М д. Стсаюа до 1 дА др дг а (8.59) Так как наклон кривой 8 равен О + Ч,и, аналогичные рассуждения покавывакн, что да 11(дмс (8.60) да А ВР' Как только 6, М и А найдены как функции от а и (), положения ударной волны ьсоксно получить интегрированием вдоль лучей.
На луче д дт — = сод О, — '=е1пО. Мда = М'да = Следокателысо, выран;енин я=.то (())+ ) МсоаО Аа, с о у=ус(6)+ ~ Ма(пОАа (8.63) определяют положение ударной воляы в момент времени ! = а!оо ао лавествому положению к = яа (()), у = уо ((с) при 1 = О. В общем случае коаффициент Ао()(Мо) в (8.61) может вависеть ° т 6, поскольку и А, и М, могут ивыеняться вдоль кривой а = О, шределлющей исходное положение ударной волны. Но мы мокем ввести новую переменную 6 в новую функцию А для тспо, нобы исключить ету аависимость.
Иннариантиой величиной Уравссение (8.58) получаежн исключением О, но удобнее работать с системой уравнений (8.59) и (8.60). Система аамыкается добанлением соотжнаения мвкду А и Мс А = Аа( 1'! (Ма),' (8.61) Эквивалентность уравнений (8.59) — (8.60) и (8.50) — (8.51) легко устанавливается с помощью соотношений соа 6 вао а М ' М а„= —, мн6 оог — йт=— А ' А 275 8.5. Распространение волн по ударной волне лвляется длина влеменш дуги Абб. Если А = й (р) А, то А АР = й ((1) А АР =. АА6, гдв 6=5 (6)86 Таины образом, любой нежелательный множитель й (()) можно поглотить выбором новой б.
Будем считать, что вто проделано, если не указано противное, и положим А = А (М). В вадаче дифрвкции (рве. 8.2) исходная ударная волна сс =- 0 является плоской и ЗХе =- сопи. Выберем в качестве Р расстояние ат атею<и в втой однородной области. Тогда А„== 1 в (8.64) А= —. 1 ('ва) 3.5, Распространение волн по ударной волне Интересно, что уравнения (8.59) — (8.61) окааываются гнпгрболичсснимв и ошюывают волновое дввжсвпе возмущений, распространяющихся вдоль фронта ударной волю». 11о небольшом равмыпшенни становится ясно, что етого следовало ожидать. Течение в области ва дсформирующейся ударной волной содержит двумерные волны, распространяющиеся с локальной скоростью звука относительно локального течения, как показано на рис. 8.5. Рве.
8.5. Цшшвврвческве волан, воаввкающпе прв авфрекавв ударвой вел як. Наши приближенные уравнения некоторым образом онисывают след втих цилиндрических воли при их переоечевви с ударной волной. Волновое распрострвиыше вовмущенвй по ударной волне про- является при изучении уравнений в характеристпческой форме, Гл. 8. Динамика ударных волн Прп подстановке А = А (М) в уравнения (8.59) и (8.60) они при- нимают вид — — =- О, дд А' (М) дМ дй М да до 1 дМ вЂ” + — — = О. да А (М) дй Характеристическая форма такова: ( — ~с — ) (6~) — ) — О, где д †функц от М, онределяемая как (8.65) (8. 66) с(йу)= у —,. А — М (8.87) Иоскольку А' (М) ч, О, характеристики вещественны, и мы имеем нелинейные волны, распространяющиеся со сноростямн — = -л- с АР да в (а, ())-пространстве.
Этя валим переносит намененкл формы н ннтевснвностн ударной волны по самой ударной волне. Инварианты Римана даются уравнением (8.66), а илгенно 6+~ А"'= с АР (8.68) 6 — ) — = голее на — =- — д. г АМ др Ал Аа (8.69) Зги уравнения во всех смыслах авалопщвы исходным уравнениям одномерной нелинейной газовой динамики, изученным з гл. 6, и развитые там идеи и методы можко применить к волнам, распространяющимся вдоль ударной волны. Зависимость А (М) выводится из уравнения (8.25), которое можно нерепксать в виде — — — 1 (М).
Л АА М А дМ Мл — Г (8.70) О ввода Ас= ( М' — ' )лю и интеграл в формулах для ипвариантоз !'нмана равен м м =1т=1(-"' )лщ л Могут оказаться полезными явные формулы для слабьгх ударных волн с М вЂ” ! ~~ ! и для сильных ударных волн с М Р !. 377 8.5. Распространение волн по ударной волне Зги формулы имеют вид а 4, л Лме — !Р Ае (М вЂ” !)» при М-е1 (8.73) Ас — ( ), а (М) — 2 ~~ (ЛХ вЂ” 1)'~~1 Характеристические соотнащения проще всего получаются в (гг, 8)-координатах, но в приложениях к конкретным «равным вадачам иногда предпочтительнее описание в декартовых координатах (а, у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
