Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Для этого предполон[ ила что А(к)=Аз=сонм при а~О и что ударная волна перноначазьно днижется по этой части трубы с постоянным числом Маха Мэ. Можно считать, что ударная волна образонана поршнем, днин|ушимся с подходящей посслсякной скоростью далеко саади з однородной части тртбы. поршень нее еще создает напор, поддержинающий Пнижение ударной волны, но это нс приводит ни к кляня изменениям; изменения полностью сняааны с имзеиением площади поперечного сечения. Задача тогда состоит н том, чтобы найти эанисимость числа Маха уларной волны от А (л) при к ) О.
Течение, строго говоря, не одномерно, но если площадь поперечного сечения меняетоя ие слюнкам быстро, то уравнения, 8.1. Ударная волна в неоднородной трубе получаемые усреднением по сечению трубы, будут давать хорошее приближение. Эти уравнения таковыг рг+ир„фри„фри — =О, А' (я) (8.1) и, ф иия + — р„= О, р р~ ~ ир„— о'(р,+ир„)=О, (8.2) (8.3) Изменение площади фигурирует только в уравнеиии нераарынно- сти (8.1), а это уравнение немедленно следует иа закова сохранения массы в виде (рА), —; (р ц =о. (8.4) Заметим, чта для распространения волны внутрь клина с вершивой в точке хо А'( ) — г А(я) ж — я ' (8.5) А(х) ( о — х), а внутрь конуса А (х) (х — )' А'( ) — 2 (8.6) ~А (я) (яо — ) ' Если положить г = (хо — х) и нридать противополажвый авак скорости и (чтобы она била направлена в сторону возрастания г)„ Рис. 3Л.
(м Г)-диаграмма дяя удариой волли, входявгой в воодвородаую баасгв. у -- ударная волна. то ати уравнения совпадут с уравнениями (6Л32) — (6.134) для цилиндрических и сферических волн и в ятом случае оии будут точиихи. Последнее указывает, что истинный критерий справедливости одномерной формулировки фактически состоит в тоы, Гл. 8. Динамика ударных волн .=а,— (М вЂ” — ), 2 1 Г 2 т — 1 р= рпа' [ — Мз — — 1, [ -~-1 т(т+1)!' (тфОмп Р=рп(т Омпх2' (8.7) (8.9) кроме тото, в случае необходимости можно попользовать формулу для скорости звука: а* = ур/р. Случай ааыых еоамущпнай В одномерной формулировке ке требуется малости изменений самой функции А (х),поскольку для достаточна больпшх расстояний масут иметь место большие иамвнсния даже в том случае, когда производные от А (х) будут оставаться малыми.
Однако, в случае котла отклонение А (х) от А, остается малым, л (и) — лп ((1 Ап мояаю предположить, что возмущения состояния и„рс, р, ва ударной волной и изменение числа Маха ударной волны соответственна малы. Тогда можно искать решение задачи, используя сто близость к решению для одяородной трубы. Уравнения (8.1)— (8.8) и условии на разрыве (8.7) — (8.9) линеаризуются около состаяник ис, рс, р,. 'Однако следует отметить, что вввичины чта кришсзна стенок в х-направлешси давжна бытьумалой. На вопрос о случаях, когда ата теория точна, по-видимому, не был изучен до конца. На рис.
8А приведена (х, 1)-диаграмма рассматриваемой задачи, причем аа начало отсчета времени 1 взят момент, когда исходная ударная волна приходит в *очку х = О. При 1 ( О течение состоит иа однородных областей, разделенных двинсущейоя ударной волной. Положим и =- О, р =- рм р = р, для невоамущенного состоЯвиа пеРед УДаРной волной и и = и„ Р = Рм Р = Рс дчЯ исходного однородного состояния аа ней. Величины и„ р„ р, выражаются через р, рм Мп при помощи условий на раарыве. Когда ударная волна доотитает точки х = О, возмущения атого состояния распространяются по траекториям частиц Р и отрицательным характеристикам С . Кривые С масут иметь положительныа или отрицатпльнмс наклоны в зависимости от тата, какое иа неравепстн (и, ) асили и, ( ос) выполялется; последний случай иаображен на рис.
8.1. Задача состоит в том, чтобы ив уравнений (8.1) †(8.8) определить эти возмущения, а также иамепепия полопкения ударной волны и ес интенсввнасти. Условия на разрыве имеют вид 8.1, Ударная волна в. неоднородной трубе рг — Ро ° .. яе предполагаются мальвги; ударная волна может вметь произвольную интенсивность. Линеариэоваввые уравнения имеют внд Р+.~Р+Р + ' =О р,и,А (х) Ае ) и, + и,и„-). — р = О, Р1 р, -)- и,р„— а', (р, + и,р„) = О; (8АО) при этом Лля сокращения записи мы подрав)меваем, что р, интеРпРетиРУетсн как (Р— Р,]о А'(х) как (А (х) — Ае)' и т.
Д. Поскольку ато линейные уравнения с настоянными коэффидиентами, общее решение находится без труда, причем удобнее перейти к уравнениям в характеристической форме. Характеристические уравнения длн (8АО) записываются так: Си г — +(и,+а,) — „)'(рф р,а,и)-)-р,а*,и,— =О, (8.11) Г д д \ А' (х) С: ( з, +(ит — аО з 1 (Р— Рьа,и)+Р,а,'и, ) —— -О, (8.12) ах А' (*) Р: ( — -)- и, — ~ (р — а,'р) = О; (8.13) решив каясдое иэ них по отдельности, получим (Р— Р д+ Р а, (и — и ) = — ' ' ' . -( А — + Р (х — (иг+от) )), (8.14) (р — РΠ— р,а, (и — и,) = — . еж 1 А(з) — Ае -)- 6 (х — (и, — о ) с), (8.18) — и,— а~' Ае (р — РО) — а,' (р — рг) = Н (х — игс), (8 А О) где Г, 6 и Н вЂ” произвольные функдии.
Благодаря постоянству коэффициентов в лиаеариаованной форме мы смогли нровеств интегрирования для трех семейств характеристик в явном виде, причем характеристики бьши аппроксимированы прямыми * — (и, ~ аг)с =- сонат, х — и,с =- сопз). три п)юиэвольные функции определяютси начальными условиями задачи и граничными условиями на ударной волне. Первое и решающее условие состоит в том,что Р должна быть тождественно равна нулю.
Это следуЕт ив того,что все характеристики С+ эа ударной волной, т. е. примые х — (ит + а,)г ( О, начинаются в однородной области, где и = иг, р = Рг, р = рх, А = А, (см. рис. 8.1)," отсюда, согласно (8.14), Р = О. Йменно на этом ваге исключаются возмущения, приходя)цие иа области ва Гл. 8. Дивамика ударвых волн ударной волной. Следует подчеркнуть, по в раыках прикятото метода утверждение е" =- О строго выводится иа формулщювки начальных условий и не ярк<дается в ивтуитивиом обосвовэвип.
Две другие функции 6 и Н отличны от нуля; ояи описывают вовмущевия ва характеристиках С и траекториях частиц Р, иаображенкых ва рис. 8.1. Эти кривые вачииаются ва воамущен- иой ударной волне, и трет условий ка раврыве достаточно для определения 6, Н и иэмэвения числа Маха (во которому иажио найти и иамеиеяие положения ударной волны). Функции 6 и Н представляют второстепенный квтерес.
Основной нужный нам реаулыат — вэмекепие числа Маха, и его можно найти, ве аатра- тпвая 6 и Н. Условия яа раврыве выражают аоамущекия р — ро и — и ва ударной волне черве иамеиеипе числа Маха М вЂ” М . В силу (8.7) и (8.8), имеем р — р,= — М,(М вЂ” М,), сэья) т сэ (8Л7) и — и,=- — аэ(1+ —,) (М вЂ” Мэ). Подставив эти выражения в формулу (8.14) с Е =- О, полужм (8 А 8) Выражения для и„р, а черве М„находим ив условий (8.7) — (8.9) с М = М,. Тогда после некоторых алтебраических преобраэовавий равеиство (8.18) ваписывается в ниде — = — б(М,) (М вЂ” М,), Лэ (8.
19) б(М)= ы, (1+ — ',— '"') (1+99+ — ',), (8.29) р = ттясэ — (т — т) ' Ввчичииа р фактически является числом Маха ударной волны отиосительно течения аа ней. При необходимости выражения для 6 и Н ыожво найти, рассмотрев соотвожевии (8.15) и (8.16) на ударной волне; в теории малых воамущеиий корректна при атом принять, что условия (8.7) — (8.9) удовлетворяются ва Фронте невовмущеикой ударвой жжвы л = аэМэа, посколькУ ожибки бУдУт малыми втоРого порядка. Детали можно иайти в статье Честера (1), где впервые были получены эти реаультаты. 8Л.
Ударная волне в неоднородной трубе Интересно, что в равенстве (8Л5) член, содержшций А (х), мениет знак при ит = а, и вриводит к особенноств при и = а,. Тем не менее в равенстве (8.19) не обнаруживается вм изменения знака, вв какой-либо особенности. Фридман Н) исследовал случай и, = = а„который соответствует в точности звуковому течению за уларной волной. Он показал, что лля тото, чтобы получить ретулярное решение„в возмущения на характеристике С следует включить малые нелинейные аффекты, но при этом равенство (8.19) не изменится.
Прюкде чем подробно обсуждать соотношение (8.19), перейдем к важному обобщешпо. Ьокечиие изменения площади; праеиео характеристик ЕА — = -й (М)* А ам (8.22) и вообще нет необходимости проводить разбиение яа малые отрезки) Далее, саыо ссюткошение (8.19) всего лиюь результат подстановни условий яа разрыве в характеристическое соатношенве на харантеристиках Сь. Таким образом, весь вывод можно сформулировать в виде слецующето правила характеристик: Выписать точит нелинейное дифференч)ыыьнсе соотношение длк характерштик С„.. Вмеспьо р, р, и, а подсгаоеить их иероженил через М ие рслтий ка раарьые.
Пояученное диффереесциольное Ураенение определяет мыисимость М ыя я. Хотя мы уже имеем все необходимые резулшаты, выполним этп предписании, чтобы продемонстрировать их простоту. Основные УРавнения, описывающие данную задачу, — зто уравнения Пусть влощадь А (х) сечения трубы меняется медлонно, но труба настолько длинна, что при этом накапливаются большие изменения этой площади; тогда трубу можно рассматривать как последовательность коротких отрезков, на каждом иэ которых изменение А мало. На каждом такам отрезке трубы можно провести линеариаацию около локальных условий н врииевить теорию малых возмущений, как в (8.14) — (8.16). Но, серота говоря, уже нельзя полагать р = О, поскольку условия на вхопе каждото из этих отрезков уже яе будут отвечать однородяому состоянию.
После ряда последовательных шагов соответствующие ошибки могут накапливатьоя. Однако если мним пренебречь, то равенство (8.19) будет применимо к каждому отрезку с Аь и Мь, равными площади и числу Маха иа входе в рассматриваемый отрезок трубы. Но тогда теория чрезвычайно проота. Фактически мы утверждаем, что (8.19) представляет собой дифференциальную форму функциовальното соотношения М =- М (А); Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
