Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Сингулярное поведение бвс делает раалажение (7.62) неравномерным н окреотности наустики. Правильное повеление впервые была найдено Эйри. Дальнейшее исслелование было вьпюлпепа Келлерам с сотрудниками (см., например, !(эй и Келлер (1]). Правильяый результат состоит в товв, тта амплитуда остается конечной, но растет с ростом ы обычно как дробная степень ы. Этот вапроо несколько более специальный, чем остальная чаоть этой главы, и штатель отсылается к оригинальным статьям' ).
7.3. Неоднородная среда В уравнениях, описывающих неадноравпвую среду, коэффициенты явлнются функцннми от х. Рассматриваемый метод рааложевия еще припвден, но уравнения для а и бвс иамеияются. В нзотроп- в) см. также найфэ А., методы исввущенив, м., смири, тиж, стр. 403-407.— Прим. Риз. 241 7.8. Неоднородная среда ных случеят единственное изменение уравнения эйконала состоит в том, что с = с (х), и полезнее обсудить сначала общую ситуаПию, а аатем перейти к конкретным примерам. Завиоимость от х изменяет форму уравлений для лучей. Если, как и раньше, ввести р;.=н„, и Н= — с(х) р,* — — д '(х)=0, 1 1 2 ' 2 та характеристические уравнения запишутся в виде д; дгр — = — =срн д. =др, ад~ дд дн (7.71) ' да ды сз да дн 'др; с Паскольху вектор р является нормалью к волновому фронту а .= совзс, ив первого уравнения следует, что лучи все еще ортого- нальны волновым франтам.
Одаака из второго уравнения следует, по величина ор; уже Гюлыпе не постоянна на луче, так тю лучи нскривляются в соответствии с нздравлением градиента функции с. Лучи следует определить решением первых двух уравнений относительно х, (з) и р; (э), после чего третье уравнение дает здесь а — время распространения волнового франта вдаль луча. Принцип Ферма утверждает, что эта время стационарно по сравнению с соседниыв путями, соединяющими две данные точки. Мы поягеы проверить вта.
Пусть произвольный путь, соелиняющнй две точки х = а и х = Ь, аадан в параметрическом виде х=-х(р), 0<р(1, х(0)=а, х(1)=Ь. (Для применения обычных методов вариагпюнпого исчисления удабпо нормировать параметр та», чтобы интегрирование проводилась по одному и тому яде интервалу для всех путей. Поэтому переменная д в данном случае неудобна в качестве параметра.) Время для важлого пути равно (7.72) Ъ В соответствии с известными результатами вариационного исчисления функции з,(р), при которых интеграл у=1 Я(х(р), х(р))др, х(р)=— др Гл. 7. Волновое уравнение достигает стационарного вначепия, удовлетворяют уравпеняям Эйлера В нашем случае уравнении имеют вил ар~с тд ° дя) гэ *х Вернувшись на атом слжцкаяирнщв иржи к параметру з прн па:лици соотношения )г хор =- хт, получим Это согласуется с (7.71), и мы проверили принцип Ферма для нашего случая. Пригщип Ферма неносредственно и наглядно обьлсняету почел~у лучи нвляются прнмыми, когда с постоянна.
Схоисжах среда Для слоистой среды, в нагорай с зависит талька от вертикаль- ной координаты, окажем у, вычисление лучей можно упростить. Прежде всего луч остается в той же вертикальной плоскости, в которой он начинается. Поэтому достаточно рассмотреть дву- мерный случай с осью х, направленной по гариэагмали, и осью у по вертикали. Скорость имеет виц с = с (у), и система (7.71) сводится к следующей: ц ээ — = сра — = ср, дш аг, ' (э) до г дэ ' Ь Ы ' Ь с Поскольку р, постоянно и Их/дз =- сра угол О между лучам и горизонталью определиетсв равенством соэ 0:= р,с (д), и если индекс 0 относится к некоторой исходной точке луча, то ссэ зэ ссз 0 (Э) (7.73) гэ ' соэ Оэ сс Это иавесткый в антике закан Снеллиуса.
Компоненту р, можно найти, решив уравнения дли у и р, или, еще лучше, заметив, что равенство р*, + р„'= 1/сз (уравнение эйяонала) дает „ /' 1 иго Зэ Рт= )г У сз(„) с) 7.8. Неоднородная средз Уревкевия лучей дают нам Ее р1 Р (у) соэ Еэ(сэ (7.74) РЕ жэ )Г( — СЭ(У)С1эзбэ(Р Следователыю, луч с исходвыы углом Оэ в точке (хэ, уе) овределяется равенством с (Р) еоэ еысе х ээ= у. )Г ( — 1(Р) соээ Ее1с,' Время прибытии волнового франта вычисляется ло формуле (7.75) Р -1 — '=)'+-~, КР (7.76) жрэ Э Р(Р))7 ( — РЭ(Р)ежэеэ,г С М Ре Следует отметить, что все, что мы действительна испольэовали при выводе этих результатов,— это закон Снеллиуса; мы рзссыэтривали его с более общей точки зрения теории характеристик.
Кэжукэееен безобидным расвределевие скорости с(у) приводит к неожиданным эффектам для лучей. Отметим два примера. Вояяоеод е океане предпалокгж1, чга функция с (у) имеет вид, увезенный на рис. 7.10, тэк что с изменяется талька внутри слоя ) у ) ( У, рес. 7.(0. Возноеод з океэве. с = с, вне этого слоя и с ( с, внутри слоя, достигая минимума с, прн у =-.
О. Рассмотрим лучи от точечного источника, расноложеннога в точке л =- у = О. Когда с возрастает вдоль луча, то одновременно возрастает соэ О = с соэ О /сэ и, следовательне, О убывает, луч жэворачи- Гл. 7. Волновог уравнение вается, приблюкзясь к горизонтали. Если бе ) ше соа (се/сг), то луч проникает в область с = — с, и дальше идет гш прямой. Однако если Оэ ч, агс соз (со(сг), то соа 6 воарастает до 1 и 0 убывает до 0 в точке р, дхя которой с (у) =- сов аз ' В этой точке луч гориаонтален, аатем он пересекает миниыальиое значение с„ и все повторяется симметрично относительно оси х.
Таким образом,ати лучи осцилчируют около оси х, как покааано на рис. 7.10. Канал ( у (ч. У образует своего родэ волновод, и через точки, лежащие внутри его и достаточн одалекле от источника, может проходить несколько накладывающихся лучей. Поэтому геометрическая оптика предсказывает последовательное повторение сигпалов. Кроме того, нри помощи (7.76) можно покааать, что сигналы, раснространяющиесн по периферии, могут появиться раньше, чем сигналы, распространяющиеся вдоль центральной линии. Они проходят больший пугач но выигрывают в скорости распространения. В такой ситуации значения амплитуды, получаемые при помощи геометрической оптики, неверны и следует обратиться н более точному рассмотрешгю (см., например, нелав;- нюю работу Ксана и Блюма !1!).
Зоны пени Для источника, расположенного ниже максимума функции с, как иаобрзжено иа рис. 7.11, аналогичным образом можно пока- Рис. 7ЛГ. Обрааованае зоны тези. зать воэможность образования зовы теин, в которую лучи не проникают. Такой случай приведен на рис. 7.И. 7.8. Неоднородная среда Распросшраненис эпсргии Л, + ГУ-(рр) = 6, ру,+УР =О, Р, — с'(Л, + У.РР) = О, (7.77) где с»(х) — скорость звука.
Для Р имеем уравнение Р~г — с (УоР— — УР). Р Используя два перпьгх .иена рааложения Р = ~' Р„(х) 1„(à — а (ь)), о находим Если К и В разложены в аналопгчиые ряцы, то коаффициевты К н В„можно определить по Р„и о, возвратившись к исходным трем уравнениям первого порядка в (7.77). В частности, Ротс Уо Уо=, Ло= 2 Р (7.78) Уравнение длв Ро(х) можно ааписать в дивергентной форме д ,— ( ' "г ) = О. ') Обозвачеигж, принятие в б 6.6, «Лось папеневы. Это сделано дл» того, чтобы побывать педораоуыоннб пуп псаольоовавпп индексов, нуперуюжюг члены рааложовпя аблпоп ыглнооого фронта.
Модификации уравнения (7.66) зависят от конкретной аадачи и от того, каьап фиэичжкая величина обоаначена символом ф. Замечательно, что в любом случае поток энергии ацоль трубки лучей остается постоянным. Мы проверим это для акустшги в неоднородной среде. Чтобы не усложнять аналиа, рассмотрим первоначально непсдвижную жидкость с постоянным давлением при отсутствии массовых сил, но с произвольным распрецелениеи плотности р (х). Можно представить себе нагретый слой жидкости, в котором гравитаиионные эффекты имеют высший порядок, и ими можно пренебречь.
Линеариаованяые уравнения ') для возмущения цавления Р, возмущения плотности Л и воамущения скорости У имеют виц Гл. 7. Волновое уравнение Интегрирование по тонной трубке лучей, как и в случае, рассмотренном перед формулой (7.70), дает — Р) Л.(= (7.79) рс За счет дополнительного множителя рс, зависящего от х, происходит изменение амплитуды давления, которое добавляется к изменению, свяаанному с расхождением лучей. Интерпретациго левой часта (7.79) кан потока энергии пам удобней провести для высокочастотного варианта геометрической оптики. Осредненная работа, которую соверпсают аа единицу времени силы давления, действующве на элемент жидкости с поперечной площадью А4, равна Роро (7.80) где ро„ вЂ” компонента вектора у, нормальная к Ь $.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
