Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 39

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 39)

Иитегрел Фурье от таких олементарных решений дает другой вывод формулы (7.28). Первые проиаводнме д описмеают ванные фиаические величины (давленне и скорость в акустике). Делая в (7.28) подстановку сЬ ф =- о (С вЂ” 11)lг, получаелг д,=.— ~') д'( — —" Ь3)33= — —,' ( о ~р,= — ( сЬЕд (С вЂ” — сй"ь) НЕ= (7,30) о 1- Я ( С вЂ” ч О'СЧ)ВЧ 2к ) 1/р ч1г.

зсог ' Эти формулы монгно также вывестн непосредственно иа (7.29), использовав рааумкое интегрирование по частям, чтобы набежать расходящихся изпегралов, или понятие оконечной части» интеграла по Адамару. Последнее включаетсн в подход, используя>щий теорию обобщенных функций.

Ловгдвнис вблизи начала координат Иа последней формулы (7.30) следует, что д,— — ) д'(9) 311.= —,д(С) при г — гО. Отсюда расход на единицу длины линейного источгпжа равен 1пп2пгд =д(С) -о что подтверждает наше опредетение д (С). Имеем такгке 1и г, ой) 2я но часто требуется следующий член разложения. Интегрируя выражение (7.29) по частим, получаем гр= — — ) д (ц)1п (( 9 1 1 ) дта Коли теперь ато «ыразкение при мааых г заменить яа д — — ) д' (ц)!н 311, — О, (7,31) СС,2( — ч) тя 7.4. Цилнндрнчесьие волны то аккуратными оценками ьгожно покаватгч что ошибки пропорциональнм г.

Выражение длн гв, получается ив (7.3!) заменой О (т!) на ф (ц). Поведение «блнвн волновою фронта и на болыонх расстолннлл Если й (!) =- 0 при ! ( О, то нижний предел в интеграле (7.29) можно положить равным нулю и решение отлично от нуля лишь при в — гвс ) О. 7!ервый сигнал прибывает с волковым фронтом в — гвс — — О. Введем переменную г т=в —— е иные ряющую время, протледшее после прибытия волнового фронта; тогда (7.29) можво переписать так: в(=- ) г ч(ч) вч = ! — — ) о. à — 2я,) рв(, ц) (в — в!22М.) о Поскольку ц меняется от 0 до т, прн ет/г (( ! второй сомножитель под знаноы корня можно приближенно заменить ва 2г)е.

Отсюда в Таким образом, имеем й — — ( — ) 4В ( — г/с)„— (( 1, (7.32) где (7.33) о Выравненне (7.32) можно сравнить с выражениями (7.20) и (7.24). Во всех трех случаях аыплитуда убывает как г ю вщ, где н — размерность пространства. В данном случае, однано, соответствующая форыула не подходит и О не явлнется просто ннтегюивностью источника.

Простал интерпретация указанной зависимости ампчитуды будет приведена в ! 7.7 (уравнение (7.70)). Гл. 7. Волновое уравнение Раачоженнв (7.32) можно продолжить, заметив, что о е(ч) ( . )'ж у ( — ~)( (т — »б )о'... 2я ( — 1(2)1 ( — » — 1(2)1 где ( — 1.|2)1 01 ( )=,',2'1 —. ~ 7(»))( — О) '"»(сь (7 33) Интересно, гго есчк д (-(-0) ) О, хак что нсточнмв прн включении имел конечную ннтенсннносттч то (» (с) . с '"1(т, т О.

(7.36) 'Ганя»г образок, рвзчоженне по времени после прохождения волно- вого фронта происходит по полуцелым степеняы. Хвост дилимдричесьчй волны Одним ив важных различий между нечетным н четным числим намереннй, замеченных Ада»иром, нвляется поведение реже»шя для источника, действующего в течение конечного интервала времени. Предположим, что д(1) равна нулю вне интервала времени 0 < 1< У. Для плоских илн сферических волн ия (7.20) ') п (7.24) видна, что воз»»ущенне ограничено ннтерваламн — <Г< — +т и — <С< — г Р е я д с с соотвстстне»шо.

Первый сигнал прибывает с полисным фронтом, понпяуншют источннн прн 1 = 0; это должно быть верно певавксп»го от рав»»ерностн. Интересно то, что возмущение прекращается вместе с сигналом, покинувшим истОчник в последний момент времени 1 = Т. Для цилиндрической волны выражение (7.29) солержнт интеграл от квтенсивности источника д(1) и воамущенне ') дяя (7.20) зедае*ся Е„, так что над «еоамущеиием» мы понимаем величины р в Е»1 то об тоя е ьсхео, что т может быль отличной ат нуля восжяавоп при Г Ь е(+Т, ве спжеежя возмущением. 7.5. Сверхавуьовое обтекание тела вращения 2(9 продолжаегсл после С =- г(г + Т. Имеем т 1 ( «(а) и 1 О Дли фиксированного г с~ —,"+Г. 1-е ос. (7.37) Воакущение стремвтсн к нулю только асимптотически при с -г.

оа, 'г7.5. Сверхзвуковое обтекание тела вращения Наиболее интересное приложение заеденного цилиндрического волнового решения свваано, по-видимому, *о сверхэвуковой аэродивегевьой. (огласпо уравнению (7.7), воамщцение потенциала скорости удовлетэорнет двумерному волновому уравненисо, причем М' — 1 (Сгг. )(лн теда вращении уравнение (7.7) принимает вид )РФ ф ( ф В Р Иг ( где г — расстояние от оси вращения, а х — расстовоие от носика тела.

Решение, равное нулю при х ( Вг, ищется э вида *-в Ф= — — Г с(г(, х) Нг. (7.38) 1 Г ч(ч) тл ) )/ (» ч)г лг„г с Интенсивность источника д(ц) сангака с формой тела. Граничные условии нэ поверхности теле состоят в том, что на вев вормальаак составляющая скорости равна нулю.

Поэтогсу, есчи тело имеет форлсу г == В (х), то Ф, = В' (х) ((С ч- Ф ) при г =- Н (х). Длл лннеариаацни уравнений тело должно быть тонким, т. е. Л' (х) мало и Ф„и Ф, также малы. В силу етого, граничные условии линеарнэуютск, а иыенно Ф„= Ву('(х) лри г =- В (х). (7.39) Е!о Ф, д (х)/(2кг) при г-г.о, так что (7.39) цвет Ч (х) = 2нву( (х) Д' (х) =- бгб' (х), Гл. 7. Волновое уравнение (7.41) Следовательно, па поверхности тела Ф, =- О (6), Ф„= О (бг!и — ) . Отвлекаясь от члена 1п (1/6), который в практических ситуациях не слишком велик, видим, *по член г/гФ, "так же важен, как и член Ф„. Поэтому для получения хорошего приближенна для где я (и) .= яЛг (и) — площадь поперечного сечения тела на рас- стоянии и от переднего конца.

Интуитивно чувствуется, что Уб' <т) — скорость, с которой возрвстающап площедь попереч- ного сечении оттаггкивает жидкость, а ага и есть иятенсивность источника. Итак, для заданного тела реюение имеет вид Ф=- — — — Вг > О, (7.4О) п ' г ж<о>яч 2п ! )/< Ч>г Вг,г Компоненты возмущения скорости получавыся надлежащим наме- пением равенств (7.30): я'<ч>и> Ф„- — — ( 2п 2 )2 <и — грг — Лггг -в, Ф, =— (7.42) 2п 3 4Г<г,»г Лг„г г В линейной теории давление определяется по фарггуле (7.8).

Однако возникает нгпересный вопрос о применимости линейной теории, в особенности по отношению к давлению. Точное выраже- ние длп давлевип в потенциальном течении запается ураввекием Бернулли (сы. (6.167)) Сле>Ювателыю, посколькУ о,' = ТРр<Ри — г' — — (<>Ф -'- — Ф'+ — Ф,') +....

Если хне мало по сравнению с длиной тела, то Ф„ и Ф, являются относительно мадымн величинами порядка 6', где 6 — относи- тельная толщина тела (определяшгяя как максимвльныв диаыетр, делюшый ня длину). Тогда линеарнзацпя, при которой пренебре- гают вели пожми Ф' н Фг, корректна. Однако на поверхяогтв тела г = В (х) = О (6), н для ыялых г Сл <> , ол <> 7.6. Сверхзвуковое обтекание тела вращении давлении, видимо, следует взять форлзулу Р— Рс (РФ ! гр (7.43) а не формулу (7.6). Лайтхилл [!) и Бролерик [![, тщатетьно нсслодовав приблии;ения высших порядков, покааали, что (7.43) верно с ошибкой 0 (бз!пз(!/6)), В то же время следует выяснить вопрос о корректности линейной теории, посколььу граничные )тления накладываются в области, гле Ф,, и Ф„имеют равлн шый порядок.

В цитированных работах показано, что (7.4!) и (7.42) действитсльно являются главныыи члеяами в разлолсеныи по степеням малого параметра н что единственное существенное изменение согвоят в введении нелинейного соотношения (7.43). Сопроогизлсяис В= ~ (Р— Р,) 6' (г) с(х, е где иитегриранание проводите н по длине тела 1. Вблизи ты~а имеем Ф - — — ) Я" (з))!и " йт! и г . х( — Ф т л о давление даетсл равенством (7.43). Отсюда дзя ижюм (сзт.

(7.3!)), а сопротивлении =- ~ 6'(х) ( — 5'(х) 1п Л (з )+ с !!оскольку Я'=2яВН', первый и трший члены объединяются в — ~ (6'(-)6 (*)! Л(*)+ — '„'„*,' Л'(в)~6*, с и ато дает — ~ — '( —,' бш(*) й В(*) ) 6 4 б о Сопротивление, вызванное вовмущениелт давления, в~лражается формулой Гл. 7.

Волновое уравнение для тела с В'(0)=Я'(0=-0. !!осле интегрирования по частям второй член Лает В= — ~ Я (х) ~ В (ц)М бцбх= а а а = — ~ ) Б (х)Я (а))!» бхй). а а (г!веп с !и (2/В) прн интегрировании дает нуль.) Эта анамепнтая формула Лля сверхзвукового сопротивления впервые получена Карманом н Муром И! в 1932 г. (7.44) Ф- — ' ~~ бц, 3=.* — В. В Г Л (я) то )с гВ 3 рс! — „ а Длн ьомпопелг скорости почучаем, следовательно, Ԅ— ( '), Ф, ВВ (* ), — *сф1, (7.43) гие у($) ", =й,.

Характеристики

Список файлов книги