Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Тогда уравнение (6.152) снодится к ю к Ч =. О. (6Л56) Нэс интересуют точько пдоскке или осссимметричные течения, длн которых го н Ч ортогональны, тэк что ю = О, т. е. течение является бежихревмм, В трехмерно» случае существузот особые течения, так нззываемме течения Бельтрзми, удовдетворязощие равенству (6Л56) г. ю ть О.
Для позитронного газя Й = аВ(у — 1) гг уравнение Бернулли (6.154) можно зависать в виде аз = а,' —,. (Сэ — Си), (6.157) 199 6.17. Стационарное свертвуковое течение рассмотрим теперь непрерывное двумерное течение с однород- ными условикыи вверх по течению. Течение щцется на (л, р)-плос- кости. и 9 = (и,и). 1)оскольку все термодинамические величины, в силу (6.155] и (6.157], явлиются иввесюгыми функциями от д, необходимы два уравнении для и и и. Могкно испольаовать (6.149) и условие отсутствил вихрей ю = О. Остальные уравнения будут удовлетворяться автоматически, в силу тех или друпгх интегралов движения.
Имеем (ри)„-1.(ри)„ =. О, и„.— и„= О, где р выражено череа и н а с помощью (6.157). Свиаь мыкду а и р имеет вид аг э рт' г, откуда ат т Ейр) и и-Рай: Р т г аг „г Следовательно, уравнения можно преобрааовать к виду (гд — аВ и, + 2иьъг + (гг — аг) и„= О. (6.158) г„— иг — — О, (6.159) где а' дается равеяством (6.157). Характеристические урааяеяиг Согласно нроцедуре, описанной в гл. 5, следующий тат состоит в исследовании характеристической формы. Выкладки, хотя и елементарные, довольно сложны, и пригодится испольаовать некие ухищрепия, чтобы сделать их как можно короче.Мы начнем с непооредственных вычислений и рассмотрим линейную комбинацию (иг — а') и„+ (2ии — () и„+ (г, -Р (сг — аг] аа = О. Это уравнение имеет характеристическую форму (и' — а ) (и„+ ти„) -] ((и ф то„) = О, (т =- гг — ац (иг — а')т = 2иа — ( и Вегшчина т долгтгна удовлетворять уравнению (иг — аг) тг — 2иып + (га — аг) = О.
(6.160) Это уравнение имеет два вещественных корня, если иг + гг ) аг. Следовательно, система явлвется гиперболической в тех областях, где течение сверхавуковое. Соответствующие характеристические уРавнения ивгеют вид (иг — а ) т — + Оа — аг) — =О при т = — т. (6.161] я Иг аг Гл.
6. Гааован динамика Поскольку гигеются только две перемеинме, диффереыциалытн фо!Эыв (и' — аг) тли + (ьг — а*) ао (6.162) интегрпруема при любом выборе т и можно получить две римаповы переменные. Процедура ясна, но в атоьг месте (зная заранее ответ!) можно воспользоваться маленькой хитростью. При атом слепует руководствоваться симметрией. Поскольку т — наклон характеристики, то (6.160) можно предстанить как соотношение между дифферыщяадами с(х н Иу на характеристике и переписать в виде (и' — аг) дуг — 2исг)х Иу + (ог — а') дхг = О, яли лу япе (иФ оух)т = аг(г)х2+ с(уг), Если й — угол между характеристякон и осью х, а Π— угол кежду линией тока и осью х, то г)х = соа у дг, с)у = ып у, т, и=дсоаО, о=дзшО. Тогда дифференциальное соотнотенпе принимает ввд д' и!пг (у — О) = аг.
(6. 163) Но а есть функция от д, таи что если ввести переменную р, определнемую условиями !и! =- —, 0<р< — ',, (6.164) ч' ' х' то соотношение (6.163) перейдет в равевство 2 = О ~ р. (6. 165) Характеристики образуют углы ~р с направлением линий тока. Величяиа р называется углом Махая связала с д соотяошеяяягш (6.164) и (6.157). Ввиду их важной роли мы будем далее работать с двумя независимыми переменными р и 0 вместо д и 0 или и и о. Остачось перейти к новым переменным в дифференциальном выражении (6.162) для римановых переыенных.
На характеристнко выражение (6.162) обращается в нуль; следовательно, (6ЛОО) также мояаю нснольаовать для яачождеиия свнзи между г)и и Ит Зта свяаь имеет вид (и г(о + и ба)г = а" (бй + ай). Использун д и В, получаын д' Идг = а' (г)дг + дг,г)Вг), 6.17. Стационарное сверхввуковое течение вли Следовательно, рнмановы переменные равны 0 ~ Р (р), где Таким обрааом, характеристические уражгения имеют вяд О+Р(р)= ш С,: — "" =16(6+1), 0 — Р (р) = сопве на С: —.=. 16 (Π— Р). ли (бйбб) (6.167) 77ростме еюжм Частное решение, длн которого одна ив римановых переыевных постоянна во всей области течения, будем по-прюкнеиу навивать простой волной.
Такое решешге получается при научении С(а) рве. 6.О. Сверхавтвоеее теченяе раерея<еквя. обтекания аакругленного угла, ивображепншо на рис. 6.9. Вверх по течению относительно угла течение однородное, скажем с р = рю 0 = О. Характеристики С все начинаютсл в атон однородная обласюк следовательно, на каждой ве них Р(р) — 0 = Р(р,). (6й68) Как счедствие ета рнманова переменная постоянна во всей области течения. Тогда ив уравнений длн Се следует, что р и 0 должны принимать постоникые аяачепия на каждой характеристике С+ и каждая харантеристика Се представляет собой прямую с пакло- 1'л. 6. Газовая динамика 202 ном 16(0 + р).
Поскольку граничные вгжчения 0 = 0 определяются профнлеи угла у = У (х), решение моя;но записать в виде 0 =.9,(2), Р(р,ь) = Р(р,)+0,„„ (6.169) Р = Г и (й) + (* — ф) тл (6 и+ Р „.). Пмеется близкан аналогил с задачей о поршне, зал в формулах для рыяенил (ср. (6.76) — (6.77)], тая и в выводе формул. При атом у х, т с, й т. Все предсхавляющие интерес величины можно вычислить па найденным значениям р и 9. Особый интерес представляет С!е! т Р! Рзс.
Е.тс. Певтраровавива веер г!рзвдтаа — Ыеагра аая сзерхззуаозого обжваввв узле. давление у стенки, и для его нахолздения требуется только инварна!ы Римана (6.168); значение р, определяется но 0 „,, а давление связано с р соотношением г ! а !' т <т- ! ~ (т )г( ' !"е! ) 6 1 70 ж (а) !.(-(т -тр(зз!оз!! / В пределыюи случае, соответствующем углу, изображенному яа рис.
6.10,простая водна переходит в веер характеристик (веер Прандтля — Мейера) и рыаение в области веера дается равен- ствами Р(р) — 0=В(Р,), гб(6<-р)= — '.. (6.!71) Когда величие угла приводит к сжатию, образуются области многовначности, связанные с пересечениями характеристик (как показано на рис. 6.И), и вознияает разрыв (ударная волна). Предельный случай профиля с угловой тачкой изображен на рис. 6Л2, Вели появляется ударная волна, то различные первые интегралы вдоль линий тока и вдоль С, вообще говоря, ухе 6.17. Стационарное сверхзвуковое течение ие обязаны сохраняться, поскольку нвралсетры потока меняются скачком при переходе через разрыв (ударную волну).
Одннко эта ситуация очень похожа на ситуацию длн соответствующих нестационариых задач, рассвютрепных выше. Для слабых ударных залп ати первые интегралы сохраняготся с точностью до членов Рпс. 6Л1, Образование утырной Рис. блэ. Обрввовыше ударной волны п сверх:вуколом течевв». ионны ири сверхевтъово» бжке- пнп «нипв. первого порядка и решение тяпа простой завесы справедливо в первом парндне по величине вовмущепвя. Для полного описания следует талька ввести соответствующие ранрслвы. Соотыошенил длн косой ударной волны Нам потребуются услоаин на разрыве для васой ударнов полны, изображенная нв рис. 6Л2, Их легко почучпть из соответствующих соотношений (6.95) — (6.97) для ударной волны, фронт катара(с артогонвлен направлению движения.
Коли течение на рис. 6.12 рассматривается наблюдателем, двисиущгп~ся со скоростью д, сов () вдоль ударной волны, та течение са стороны 1 будет представляю,св направленным па нормали и ударной волне. Тогда равенства (6.95) — (6.97) дают соотношения для прямой ударной волны с н, =- дс зш б, и, =- дв ын ф — О). Креме того, в этой двпнсущейся системе координат течение однолсерно и, шседоватечьво, со стороны 2 тоже направлено по нормалнм и ударной волне.
О~сюда д» сав () = д, сов ф — О). Полную систему условий нэ разрыве можно записать (в несколько более общей форме, унитывающей угол нашюна О, скорости в области до разрыва относительно пеноторага фиксираваннога направленив) в следующем виде: р,дс эсп ф — О,) = р,д, вш ф — О,), рс+р д,'э(псф — ОО= — р,+р,д,'ып'ф — О,), (6.172) д» соэ (9 — Ои) =- д, сов ((1 — О,), йе+ ~ д',э1пх ф — Ои) = Ос+ — д",э!ив()1 — ОД. Гл. 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
