Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Для простых воли 4 6.8 скорость распространеякя равна и + а, так по условие формкроваш»я ударной волны яз 41,2.6 принимает вкд (6Л09) ив + ав > П > и» + а» Некоторые важные свойства ударных воли будут выведены с помощью зтвх формул для полвтропвых газов, ва качествеквые результаты оставлся спразедллвымк к в общем случае. Сначала провервм условие (6.94). Для полвтрош»ого газа Я =- с„!о (р»рт), откуда, в свлу (6Л05) в определения з, имеем 175 6.10. Ударные волны Таким обрааом„ударная волна является сверхввуковой, если смотреть на нее спереди, н доввуновой, если смотреть на нее саади.
Иа (6.103) следует, что если О ) и + ап тот )О, в тогда другое неравенство вытекает ив (6.103), (6А04) и (6.106). Скачок антропив при переходе черве ударную волну, согласно (6Л07), вависит от интенсивности атой волны. Как слелствие течение аа ударной волной неменяющейся интенсивности не может быть иаантрогплческюь Это имеет валеное аначеняе для приближения простой волны ив у 6.8. В то н<е время ыы долялны рассмотреть воалюжность раврыва инварианта Римана та *= — — и, у — 1 испольаованного в (6.73).
Окавывается, что при переходе череа ударную волну ата величина претерпевает раврыв. Все ато оаначает, что решение в виде простой волны, строго говоря, не лынкет реалнюваться при воанвкновении ударной волны. Однаьо для ударной волны малой али даже умеренной интенсивности эти скачки удивительно малы. Слабые ударные сеяны Для слабых ударных волн все выра>кеняя в (6.103) — (6.107) можно равложить по степеннм е.
Первые нжколько членов имено вид — = 1-(- — е —. И+ О (ел), — т+1 (тб-1)а ел 4у авул — — — + . +О(), — В(у+1)е, л у 4ут 22уе Р» — Рл * у — 1 = — — —;+О(ел), Рл у 2ул — = — е — — ел+ ал — 1 у — 1 ул — 1 (у — 1) (у-).1)е л ал 2у бул гвуе ел-( О(е'], дл-дл ул — 1 — = — ел (-О(е"), 12ул ел — ел 2 ел — ел В общеы случае скачки параметров течения пропордиональны е, но скачки Я и е составлнют лишь О'(гл).
Даже для умеренных ударных волн они удивительно малы; ниже (см. таблицу) приведены типичные внечеиня для у = 1,4. Для ударных волн малов нли Гл. 6. Гавовая динамика 176 умеренной интенсивности в раэумном приблюкенви конево пренебрегать ивменевиями ввтропии и внвариаата Римана. Н этом 1 н-н 2 0,001 О, 005 0,010 0,085 0,20В 0,5 1,0 2,0 Б,О 10,0 0,005 0,013 О, 052 0,21Б 0,478 приблюкении решение в виде врастай волны ив 1 6.8 можно сохра- нить и испольвовать даже в тех случаях, когда имеются слабые ударные вопим. Сильные ударггые селим 6.11. Слабые ударные волны в простых волнах Как было отмечено ранее, только в случае, когда воэиикающие ударные волны имеют малую нли умеренную интенсивность, для врастай волны можно сохранить приближенные равенства я = яь, а = ае+ т— и.
(6.Ш) Тогда, как это видно ив (6.83), оставшееся уравнение можно ваписать в виде и,-)-е(и)и„=о, с=а-~-и=ае+т— +и. (6.И2) Н другом экстремальном случае очень сильных ударных волн можно испольэовать асиьштотическое поведение прв е со. Наиболее удобное выражение получаешя ив (6.99) — (6.101). Обычно в этом случае (7)) и, так что полагаем М вЂ” 677аг и М )) 1.
Тогда формулы (6.99) — (6.101) переходят в асиьштотические равенства пт 57. — — Ре — Рг(7» (6.110) 2 рь 791 г т+1 ' ш т — 1' тф1 где мы испольвовали соотношение а," = трг(р для исключения как рп так и а,. Этн выражения содержат только вараметр р, течения веред ударной волной; ио рн а, теперь малы по сравнению с величинами ва ударной гюлвой, так что в данном приближении имн можно пренебречь. Интересно, что сн'атис реlрг остаегся ограпвчевным нри сколь уголно болыпой интенсивности ударной вопим.
6Л(. Слабые ударвме волны в простых волках 177 Кроме тогс, что соотношения (6ЛИ) исключают два уравнения, ови приближенно удовлетворяют двуи условиям на раврыве, и остается одна условие, соответствующее (6.Ил). Поскольку атот подход приближенный, существует много равличных вариантов, отлкчаюгцихся членами)высшего порядка. Как мы ввделп в гл. 2, для уравнения вида (6.И2) удобнее всего половспть Сг-)-Се 2 в данном случае ато сводитоя к ()= — (ог ) гсг+се+па)=ае+т Кй 1-пе) (6.И4) 1 т-)-1 Согчасно условиям па слабом скачке, 1 —, г+1 (таей))» — — 1= — е — е -)-0(се)„ ат 32те — ~ — + 1 /се — с е — сг г 2-).1 (т-).1)е )= — е— те + О (лс), г( с, ч бт гата так что равенство (6.И4) справедливо в первом порядке во в, но не во втором.
Это приблиягепке является менее точнььч, чем (6.И1). В|оп<во найти выражение, свяаывающее П с иг и им верное с точностью до членов третьего порлдка по е, но ото нриведет к иалишпему обычно неоправданному усложнению при введении раармва. Задача построенил линии раврыва по существу те же, что и в гл. 2, п в случае (6.ИЗ) ее решение повторяет рассуждения 2.8. Можно было бы рассаютреть аадачу Коши для (6.И2), но ета вадача является вырожденным частным случаем общей еадачи Коши в гавовой динамике, когда начальные условия удовлетворяют соотношениям (6.И1) и течение является простой волной. Более естественно рассмотреть вдесь снова аадачу о поршне, где и = б(1) = Х (1) при х = Х (1), и аавершпть рассу.ьдевия т 6.8 и 6.9 рассмотрением слу щя, когда обравуются ударные волны ').
Региепие имеет вид и=у(с), (6.И5) х=Х(с)+(во+ — У(с)~(1 — с), (6.И6) где параметр т, выделяющий характеристику, выбвраегся так, что 1 = с на траектории поршня. Ударные волны должны форми- ') Рылееве дается в виде, ахватываищем ханже и более общий случай, «огда аадевиеа функции г (1) ие совпадает с х (с). Гл. 6. Гаеоввя динамика 178 роваться на характеристиках с у (т) ) О. Эту вадачу можно было бы свяеать с вадачей Коша, продолжив характеристики навад до оси в, как покавано на рис.
6.3,и положив ( с+ 2 б()) ' (') с+ 2 Затем можно было бы применить ревультаты т 2.8. Однако, видимо, проще действовать невосредствевво. ауис. С.2. Ударвме валин, воэвакаэвпве ври аеая;авек сорина. Рассмотрим движение передней ударной волны, распространяющейся в невовмущенвую область с и = О (рис. 6.3). Если траекторией раврыва является в = а(1), то условие иа раарыее (О.И4) дает — = со+ — 0 ('с) Ла т+1 щ 4 (бл17) а характеристическое уравнение (6.ИВ) лает а (1) = Х (с)+ ( аа+ т+ у (т) ) (1 — т). Решая ети два уравнения, находим а и с как функции параметра т, определяя таким обрааом ударную волну. Поскольку Х (т)/ае Х 1, Х (т)/ае Ч, т и 1 )) т на ударной волне, то равенство (6Л18) можно приблнжевно ааменить следующим равенством: ) ( +т)1 ))2 (В.ИВ) 179 6.11. Слабые ударные волны в простых иолнах Тогда имеем — =ао+ — б(т)+ ( — б(г)1-ао ) щ .
ао т+1 1 т-Ьг . т ао Сравнивая ато выражение с (6Л17), получаем — б( )+ — б(т)1 — = —. т~-1 т+1 ат ж 4ао 2оо Ф,в ' Интегрируя, получаем — /а()1=) б(т')б '. (6Л20) е Соотношения (О.М9) и (ОЛ20) определяют ударную волну. Если б (О) ) О, то ударная волна воашжает ораву в начале координат. Свяаь мюкду т и 1 имеет вид — д(0) г у+1 4ао так что о (а,+т+ б(0) ) 1. Ударная воляа начинает распространятьсн со скоростью во + + ((у + 1)/4) б (О), что согласуется с (ОЛ14). Если поршень останавливается так, что у (т) -т 0 при т -ь то, то асимптотическое поведение опгосьовается соотношениями — бо(т) 1 ( б(т) г)т, е о о аог+ ((2+1)ао ) б(т) о/т) 1 о — сото, е =у() ( ~ ) б(т)о/т) ~1 Траектория ударной волны в (к, 1)-влоскости нриближеняо представляется вараболой, а интенсивность ударяой волны убывает как гюго. Между ударной волной и предельной характеристикой т =- то Игосого ( т-~-1 «) так что к/=й(г) 2 о — оо 0 — го) 1 О Гл.
6. Газовая динамика Другие ударные волны рассматриваются аналогичным образом. Если поршень возвращается в исходное состояние в момент времени С = Т и затем остается неподвижным, то асимптотическое поведение описывается уравновешенной йг-волной со скачками а точках х=-ае(С вЂ” те) ~ ((у )-()ае ( у(т) Фт) е причем между ними х, — гор — те) и т+1 Другие частные случаи и вредельяые выражения можно изучить, следуя рассуягдениям, проведенным в 4 2.8. 6.12. Задача Коши; вваимодействие волн Простая волна — ато воамущение, распространяющееся но одному иа трех семейств харантеристнк. Для аадачи Коши с вачальнымн Р Р '1 а Ь Раг. С.4.
Задача Каюк з газазеа меев~иве. данными общего вида волны распространяются по всем трем семействам, если начальные условия сами не удовлетворяют соотношениям простой волны. Если начальаые условия однородны си =- О, а = ае, Я = Яр всюду, за исключением отрезная ( х(Ь, то (х, г)-диаграмма имеет вид, изображенный на рис. 6.4. Имеетсл область взаимодействия аАеЬ, ио затем, если яе возникают ударные воням, возмущение распадается ва три простые волны, нак пока- $81 ОЛ2.
Задача Коти; вааимодействие волы вано на рисунке. Их существование можно устеповить, ваметнв, что в кан«дой ив них две характеристики выходят ив обдастн с однородными начальными условиями. В областях, расположевяых между простыня волнами, все три характеристики выходят ив той или другой области с однородными начальными условиями; следовательно, в иих имеетсн одяородное состояние с и = О, а = а«, Е = Б«. Как только найдено решение в области веаимодействин, простые волны можно описать аналитически (как и в $6.8) с граничными условиями, двктуемыми областью вваимодсйствия. Если ентропин первоначально всюду одинакова, то течение являжся иввнтропическим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
