Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 30
Текст из файла (страница 30)
С.Ь Всяв» разрегяеья», яаавякешщая яря еьиягяеаяив поршня. Зто соответствует распростравеквю волны тольао в одном ваправаевви, в в линейной теория в равенствах (6.70) было бы либо Р = О, лабо С = О. В качестве основной моделв, иллюстрирующей збрааовавве вростой волны такого тапа, рассмотрим волам, соадаавемвю еадаквыв дввжевием поршня ма конце длинной трубы. на рве. бл приведена соответствующая (х, т)-диаграмыа. если В велввейвой теорви соотвошеввя, определяющие характерп- стякв, зависят от решевяя, которое ыце следует пайти, в ввтегрп- роваяве так вепосредствевво яе проводвтся. Для ваавтропвческого течения Я = сося( всюду, так что урав- векие (6.69) ыожво опустять.
Кроме того, р .= р (р), аа =- р' (р), в поатоыу первые два характеристические ураввеввя можно аапв- сать в виде а (р) ар — (-в=совет яа Сы — =и.-)-а, л Р ж а (р1 ар р — и=сосет па С: — =-и — а. д ж 6.8. Простые волны !65 не возникают раврывы, нарушающие выводы, следующие ив дифференциальных уравнений, то можно утверждать, что течение должно описываться простой волной. Для вростоты рассуждения проводятся для политропного гаев, но распространение не болев общин слу ~ай очевидно. Предполагается, что в области х ) О при Г =- О гаа находится в соглоянии покоя о и == О, а =- аы У =- бы и, как уже говорилось, раерывы временно ве допускаются.
Поскольку поршень сам движется по траектории частицы, ясно, что треыгторик жех гастиц начинаются на оси я в однородной области. В силу (6.69), 8 постоянна на траектории каждой частицы Р к, следовательно, равна своему начальному авачевню Яе. Но начальные ввачевня одинаковы для траекторий всех частиц; следовательно, о = ое по всему течению. Так как течение ивентропическое, то можно испольаовать теперь соотношевяе (6.71) для двух других семейств характеристик. Па хараг<теристиггах С величина г!х)г(г меньше, чел~ на траектории частицы, и, следовательно, все они начинаются на оси я в певовмущевной области (см. рис. 6.1). На ваягдой таков характеристике г 2ес — а — и =.
—, т — г т — 1 поскольку етот инвариант Римана постоявеи на каждой иа ннх и сохраняет первоначальное аначение яе области и = О, а = ае. Поскольку началькое значение снова одно и то же для всех этих характеристик, инвариант Римана (6.73) всюду равен одной и той же постоянной. Ив етях рассуягдеяий следует, что решение является простой волной. Обратимся к другому характеристическо- му уравнению в (6.71) и определим оставшуюся часть решения. Для тех характеристик С+, которые начинаются на оси х, справедливо равенство (6.73) с противоположным анаком. Ожюда в области, покрываемой такими характеристикам, ии = — О, а =- ае.
Таким обрааом, исходные однородные условия имени ьгесто а обла- сти нпереди характериствки С'„, отделяющей характеристики Ст, начинающиеся на оси х, от характеристик Ст, начинающихся ка поршне. Поскольку мы нредполагаем, что течение непрерывно и ве имеет раарывов, то и = О, а = а, впереди С'„ и на самой этой характеристике. Таким обрааом, С', определяется равенством а = аег. Для характеристик С„., начинающихся на норюне, испольауем равенство (6.71) со шиком плюс: 2е Вг — -1-и=сопят ва каждой Ст: — =и+а. т — 1 и Гл. 6.
Гааовая динамика В силу равыютва (6.73), справедливого всюду, ато сводится к условию и=свисс яа каждой Сы —,=аэ+ — и. д, г-~-1 г (6.74) и=Х(г) при х=Х(г). (6.75) На характеристике С~, пересекающейся с поршием в момеят времени т, и = Х (т), и тогда иа (6.74) следует, что ураввеяие этой характеристики таково: л= Х (т) + ( + + г Х ( ) ) (à — ). (6.76) Паатому решевие имеет вид п=.Х(т), я=а,+:Х(г), о= уы (6.77) где т (я, г) неявно определяетоя равенствам (6.76).
Поскольку характеристики Се яюппотся прямыми с яаклоиом бЫМ, воэрастающим с ростоы и, ясна, по характеристики будут иакладываться одаа на другую, если и может возрастать иа поверхности поршня, т. е. если Х (т) ) 0 для какого-либо эиачеикя т. Это типичное нелинейное опрокидывание иэобрэжеяо на рис.
2И, и ово показывает, что обраауются ударные волны. Если и воарастает, то возрастают а, р и р, так ыс опрокидывание и ударвые волны воаиикают в области сжашиа вовмущеиия. Для иэучевия ударных волн необходимо пересмотреть предположевия, люкащие в основе ревеиств (6.72) и (6.73), а также обсудить соответстиующие условия ка раарыве.
Для волиы раврежевия решение, даваемое формулами (6.76) и (6.77), является полным. Особый ивтерес представляет предельный случай, когда поршень ввеаапко выдергивается со скорсгяью — У. Имеются однородная область, где п= — У, а=аэ — =Г, г — г 2 Значеиие и ва каждой иа атих характеристик различно и ваиисит от того, где данная характеристика пересекается с поршнем, ио видно, что в общем случае семейство положительных характеристик вредставляет собой семейство прямых, важдая иэ которых имеет наклон ае + ((7 + ()/2) и, соотвегствующий аначению и иа ней.
Граничные условия состоят в тоьк что на поршне скорость ге ае раева скорости поршвя. Следовательно, если движение по ршия описывается фушгцкей я = Х (г), та граничное условие имеет вид 167 6.8. Простые валлы рааюлоя<сивая сразу эа поршвем, и переходная область между ией и первонечальвой ыевоамущеныой областью, описываемая цеитрироваишям веером характеристик,как покааако на рис. 6.2. Рас. Сд. Пентрароааааыа веер рааремса<я.
Пес<<ольку все этк характеристики начинаются а точке х = 1 = О, их уравнения имеют вид х= (а 1 — и) 1, — У<и<О. Все значении и, лежащие в ивтервале от — У до О, мгвовеныо достигаются е начале координат, но каждое влечение определяет совою» характеристику из веера.
Разрево»в его сооткошеыие относительно и и добавив вырая<евие для о из (6.73), получим систему и= — » ~ — — 1), т-~- 1 ее< т+«я 1 — — — « — 1. (6.79) Если поршень двия<ется вверед со скоростью У, то веер выворачивается и образует многолистную область, которую можно рессматривать как складку в (х, 1)-плоскости (ср.
с рис. 2.3). Очо, коыечио, соответствует мгновенному оврокидывавию, которое следует аамеиить удариой волыой. Для других задач аиалогичиые рассуждения применимы, как превило, вблизи фронта произвольного возмущекил, распространяющегося в однородную область. Существует область, в которой траектории частиц и олью семейство характеристик выходят иэ лежащей впереда однородной области, так что в этой области течеыие является иаэитровическим и один иввариаят Римана всюду имеет одно и то же значение. Другое семейство характеристик «переносит» возмущение: па каждой ив них параметры течения остаются востояниыми, и каждая из них является прямой линией.
Область простой волны простяраашя назад до первой траектории частвцы, выходящей иэ веодиородиой области. Рис. ОЛ остается Гл. 6. Газовая динамика справедливым,но траектория поршня замеияетсн атой граничной характеристикой. Возникновение таких областей простой волны, прилежащих к однородным областям, хоро>по иллюстрируется задачей Коши в 1 6.12. 6.9.
Простые волны и ншгематичосние волны В 1 2.2 мы видели, что уравнение неразрывности р, + д„= 0 (6. 80) вместе с фтнкцнональным соотношением д =- () (р) приводят к простейшим неликейныы волнам. Из! >эемые сейчас простые волны имеют ту же природу. Хотя в газовой динамике имеются три основных уравнения дэя трех величин р, р, и, в частваы случае простой волны существуют два интеграла 2 аэ 8.= бе — — и= —.
у — 1 г — 1' Это азнечает, что два из основных уравнений ма>кво исключить и любые две вз величин р, р н и можно вредставить как функцяи третьей. Таким обрввам, прихолим к одному уравнению, которое можно взять в виде авкова сохранения, свяаывающего поток и плотность.
Например, если мы захотим выразить все величины через р, то условие иээнтропичвасти течеяия Лает саатно>пение р=рэ(Ц', а из еаркает !'имава — соотношение и=у(р)= — ~ = ~ (( е ) — 1). (6.81) За~ем ма>вне использовать занан сохранения мессы как вамыкаю- щое уравнение для определения р.
Этот закон имеет вид (6.80) с д =- ри. Следовательно, в кивематичешгой формулировке следует взять уравнение (6.80) и уравнение д = О (р) = ру (р), (6.82) где У (р) дается равенствам (6.81). В втоы случае функция О (р) волучается из двух других диф4юревциельвых уравнений, а не вадаегся как часть исходной форыулкровки задачи. Однако даль- нейший анализ можно проводить как в кивемзтичесной теории. Уравнение для р имеет вид р, +с(р)р„= О, с(р) =б>'(р), 6.9. Простые волны и кинсматическис волны 169 и можно проверить, что, в силу приведенных выше соотношений, с (р) .= () (р) = р (р) + рр" (р) =- р (р) + а (р). В соответствии с щюведеннымв выше рассуткдениями отсюда следует, что параметры течения постоянны на харавтеристиках и что характеристическая скорость равна и + а.
В етом па существу состоит подход, использованный Эрншоу П! в одном из первых построений рисовка вида простой волны. Он рассматривал с самого начала иаантрокическое течение и записал уравнения в виде р,-(-ир„+рн =О, и,й ии„+ — р„= О. т (р) Р Затем, основываясь на наблюдении, что лля ливеаризованнай акустической волны, движущейся вправо, и = а, (р — ра)!ре, он расстютрел возможность существования точных решений с и = — — - Р (р). В зтоы случае уранневкя нринвмают вид р~+(у+ру') р =-О, (р,+!р„)Р 4 — "р„=о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
