Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Тогда на рис. 6.4 Р-вовка отсутствует и область вваимодействин ограничивается треугольником або. На практике решение в области вваимодействия чаще всего находится численно. Однако в ивентропическом глучае можно сделать некоторые аналитические упрощения; соответствующая аадача была полностью решена раманом. Для ивентропического течения выесто р можно испольвовать а и переписать уравнения в виде а, +па„+ — аих= О, т — 1 2 (ОЛ21] и,+ ии„-1- — аа =-О.
2 Уравневия такого вида преобравуюгся в линейную систему уравнений, если вависимые и неаависимые переменные поменять ролями; ото так навываемое «преобравовакие годографа«. При таком преобравованви — «, а« х= —, аь — - —, Х где Х вЂ” якобиан Х = и,а„— а,и„.
Поскольку уравнения (ОЛ21) кваеиляиейны и однородны, якобиаи сокращается и уравнения ариннмают вид х„+иг„+ — аг =О, т — 1 2 х — иг -)- — аг„=О. 2 7 — 1 Это линейные уравнения для х (и, а) и 1 (и, а). Заыетим важность того обстоятельства, что якобиан х сонращается: в противном случае уравнения были бы сугцествепво нелинейны. Гл. 6. Гавовая динамика Ьгравненэе ддя 1 (и, а) можно получить, исключив х перекрестным днфферевцвровавием.
Тогда ( ) т — 111 тг — 1 — ) 1 + — — г,=таю иэ. Полагая Ь = 2а/(у — 1), н = (у + 1)/(2 (у — 1)), перепишем вто уравнение так: вэ гьь+ Ь гь= 1 При л = 1 ща — волновое уравнение в сферическв симметричном случае, имеющее сравнвтельно простое общее решение. Действительно, если л — проиавольное целое число, то можно проверить, что общее регпеяие имеет ввд аг ш ) / х( х Ь)'Ьп( ь) ) г(22 "=( — '- — ) '( аэ ьш/ 1 ь где Е и Π— проиввольпые функции. К счастью, два нрактичеснв интересных случая с у = /э н у = «/» онисываются приведенным решением с и = 2 и п = 3 соответственно.
Инварианты Римана равны к ~ Ь, так что это выражение полностью определяет основ- ную характеристическую структуру. В линеаривованном приближении уравнения (6.121) имеют вид э — 1 2 аг+ аьи =О, л,+ — аэа„=О, 2 ' 7 †и общим решением является и=/(х — цгг)+а(в+лег), 2 Ь вЂ” Ьэ =- — (я — аэ) = / (х — аэг) — у (х + аэг). т — 1 11елинейвое решение ваписываетсн в форме, соответствугощей обращению этих соотношений.
Для эадачи Коши а и и — ваданвые функции а = .4 (х)» и = '?/. (х) при 1 = О. В принцепс вти выраженв» онределяют в параметрическом виде некоторую кривую и в (Ь, и)-шгоскости, на которой авданы х и 1 = О. Этих двух гранвчных условий достаточно для определения решенвя в соответствующем характеристическом траугольниве '). На практике, однако, как была укаааво выше, обычно нсполы вуют численное решение в (х, 1)-плоскости.
г) Решение эакачв о раслад» яроваеольиого раэриеэ в обсужневве воавэкэющнх ври этом вопросов об елансгэенаоств рэюеввя гонержаюя в «ваге Б. Л. Рэжжстэеисксго и Н. Н. Яневао «Свстеяя квээвланейвмх урэввэвийэ, М., ЬНатхэь, 1йаь, сгр. 247 — 'гьо.— Прим. р Ь. 6ЛЗ. Задача об ударяой трубе Для простых волн либо и + Ь, либо и — Ь постояяво, так что отображеяяе в (и, Ь)-плоскость вырождеввое: вся облагль простой волны ла (я, Г)-плоскости отображается в кривую ва (и, Ь)-плоскости. Тогда вэакмодействие двух простых воли ва (и, Ь)-плоскостк можяо описать решением сперемекяой Г, вадаввой па характеристиках и + Ь = Ьо и — Ь = Ь,.
Определевке функций Р я С в этом случае проще. Решение моя<но также найти и для проиввольвого ввачевкя у; подробвастя укаэавы в книге Куракта к Фридрихса И!. Давкый аяаляв огравкчев течеквями беэ ударных волн я, по-вкдвмому, представляет в основвом академический ивтерес; в силу этого, э~ы ве приводим вдесь легаля. 6.13. Задача об ударной трубе Рассмотрим одкп частный случай вадачв Коши с раврывом в вачальвых данных, в котором моягва найти точное решение. Этот случай важен также потому, что ов свяэав с ословяым врибором для воспроивведекяя ударных волн в экспервмектальвых условиях. Ударвая труба — вто длинная труба, верегорожеввая у одвого ив концов топкой дкафрагмой.
В секцию, расположенную эа диафрагмой, вакачквается гав вод высоким давлением. В лачальвом состоянии имеются две однородные области с =О, р=рг, р=р, р я)0 и=О, р=рг)рг, р=рг врк як О. Диафрагма, раэделяющая две области ксходвых однородных состоявкй, раврывается. Прв атом ваввккает ударная волна, распространяющаяся по трубе. Если вффектамя трения о стенки трубы можно преяебречь, то вту волну можво рассматривать кэк плоскую волну, и если ограничиться времеяем, когда волна еще ке отравилась от копцов трубы, то точное решение можяо получить влалиткческя. На ркс.
6.5 ввображевв (я, С)-Лваграмма. Поверхность, равделявэцая два гава, цввжется по трубе; вовквкают ударная волка сжатия, распространяющаяся в сторону гава с вкэким давлением, я волка раврежевия, распространяющаяся в сторову гава о высоким давлением. Поскольку лачальвые условия ке выделяют характервой длины или иктервала времени, а длины секций трубы яе существеввы ва равкей стадии, когда вовмущеввя еще ве достигли колцов, соображеккя равмеркости покавывают, что решение должно быль востояввым ва прямых я(агг = солж Гл. 6.
Гавовая динамика в (х, г)-плоскости. Следовательно, скорости ударной волны и поверхности равдела должны быть постояннычи, а волна раврежения должна описыватьсн вееролт, центрированным в начале координат. Как покавано ва рис. 6.5, существуют области одяородного состояния 1, 2, 3, 4,причем в областях 1 и 4 состояния совпадают Рж. С.б. (л, 4)-анаграмма дла ударной трубы. А — центрнрааанна» аростад волна, и — дооерхаооть раадола. с— ударнаа волна. с исходныыи однородными состояниями.
Задачу монтно, следовательно, рассматривать как ковтбинацию двух вадач о поршне, интерпретируя движевие поверхности равдела как движение поршня. Скорости течеввн по обе стороны поверхности равдела должны совпадать со скоростью самой атой поверхности, так что для течений с обеих сторон поверхность равдела подобна твердой Стенке. Одвако ее движение варанее не иввестно и должно быть определено в процессе решения вадачи. Если скорость поверхности равдела равна р, та можно испольвовать условии иа раврыве (6.103) — (6.105) с и, .= У, и, = 0 и выраеить рм р и // черен 1'. В частности, интенсивность ударной волны д = (р, — рт)/р, онределяется иа (6.104): (6.123) Гав по равным сторонам от диафрагмы может иметь равличвые вначеиия Т.
5(ы используем обовначение Т для области 1 и Т» для областв 4. Волна раврежения между областлми 3 и 4 явлнется простой волной, для которой 34=34, — +р= —. а 4 Т4 т Т4 — 1 Для политропного гава Я = с 1в р/ртт, а' = Тдр/р, так что иа атих соотношений можно найти также ра и р». В частности, ра опре- бн4. Отражение ударной волны деляется ив равенства (бй24) В случае необходимости можно опреде>пжь детали течения в пентрираваыной простой волне; решение аналогично (6.79), но с другим семейством характеристив. На атой стадии решение полностью определено, если известна скорость У. Поскольку поверхность равдела не имеет массы и суммарная сила, действующая на нее, должна равняться нулю, имеется еще адью соотношение, а имеыно рг = — рг. Эти давления определяются ив (6.123) и (6.124), и условие р, =-.
р» дает уравнение длн К Более существенно, однако, найти выражение для интенсивности ударной волны в. Если в (6.124) положить р, .:= = р = р»(1 + г) и приравнять два выражения для У/а„ то будем иметь хг> Это уравыение определяет г через известные величины р>/р> и а,/а . 6.14. Отражение ударной волны Отражение ударной велш> ат кондевой стенки така>е можно описать точно. Отражение по нормали плоской ударной волны от плоскости стенки можно проаналигировать с поыощью условий на разрыве. Пусть индексы 1 и 2 относятся к состояыиям впереди падающей ударной волны и павади нее, а индекс 3 — к состоянию поведи отраженной ударной волны. Если интенсивность падающей ударнов волны равна г> = (р, — р>)/р„то состояние 2 определяется равенствами (6.104) — (6.106) с г = га Впереди отраженной ударной волны гав находится в состоянии 2, а повади нее в состоянии 3, так что если интенсивность огра>ксивой волны равна г, =: (р — р,)/р„то ив (6.104) (с соответствующей ваменой индексов и знаков скоростей, поскольку отраженная ударная волна распространяется в обратном направлении) имеем "г — "з а, ~, т+1 Гы».
Окало стенка гаа иенодвижеы, откуда нг — — О. Но нам также иввестны н, и аг как функции от г>, так что получаем соотношение, Гл. 6. Газовая динамика определяющее з„через з, Это равенство дает квадратное ураввекве для з„и подходящее решение имеет вид (6Л25) 1+7 та,. гу Для слабых ударкых волн з,— го и из (6.$25) имеем з, зб следователько, р,— р, 2(р,— р,), и при отражевиитдавлекие у стенки возрастает примерно в два раза.
Для силькых ударных волн з, — ь со и гт г, зг — г з„—, — — — =8 для 2=-1,4. 6.15. Структура ударной волны В соответствии с общей точкой зрекия, развитой в гл. 2, ударная волна иктерпретируется как узвая область, в которой происходит резкое измевекие параметров течения. На векотором уровне описания .,ударная волка соответствует разрыву, и зтот разрыв замевяется узкой областью при более точком опвсавии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
