Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Газовая динамика Условия на разрыве ыожно вывести и непосредственна ив уравнений лля стационарного течения в форме законов сохранения. В атом случае они связаны с закопав!и сохранения массы, порыальнога импульса, касательного илшульса и энергии соответственно. Можлю отметить, что й-[-л),дл па самОм деле непрерывна, так что рассуждения, приводящие к равенгтву (6.[бсл), остаются справедливыми. Однако а!прап!ля и лшварпалю римана претерпевают разрыв.
условия на разрьлве определяют р„рл, фн б по Р1 Р~ ра 6. и пл можно использовать длл точного ранения задачи, ивобралкеннай па рве. 6Л2. Если профиль имеет [тловую точку как, например, нрыло сверхавуковаго самолета, то простую волну можно использовать в качестве приближенного решения, когда все значения 0 магии Три из усгювий на раарыве удовлетворнются с точностью до членов первого порндка саотношепиныи для простой волны, оставшееся попользуется для построения линии разрыва.
При помощи равенств (6.172) можно покаватгч что б и + !а — клуб+О(бл) 2 Следовательно, с точностью до членов люраго порядка по О и р, — рг ударная залпа делит угол между характеристиками пополам. Вто соответствует равенству (6.113], и введение раврь!ва почти повторяет аналагичюле швп! длв кестащюпарнаго слу шя. Такал процедура будет проведена нннсе прн рассмотрении более интересного случаи ударной волны, воапикающей на носике осесимлсетричного тела.
Отражение косой, оысж Последнее заыечание (оно будет использовано в дальнейшем) касается отражения косой ударной волны от плоской стенка. ! вс. З.[З. Регулярное отражеа е уллрноя палны. Воаиажная картина течения иаебражена на рпс. 62!3. Если ненастны исходное однородное состояние и угол 6, то, используя устовия на раврыве ллл обвастей 1 и 2, лсожно определить все параметры теченил в области 2. Тогда в области 3 известна величина 6, поскольку поток там направлен вдоль стенки, так что условпй на раврыве длн областей 2 и 3 достаточно для определения остадьных параметров течения в области 3 и утла отражения (1,. 6.17.
Стационарное сверхзвуковое течение Важный результат этого анализа состоит в том, что предложенное решение годижя толькс для определенного класса случаев. Если ударная волна достаточно слаба ичи падает под достаточно ыэлым скользящим углохц то решения но существует. Оказывается, что любая отраязенная ударная волна, которая сопрягается с областью 2, нс в состоянии поверну~ь течение в области 3 Рес. СЛ4. Отражение Маха.
параллельно стенке. Стенка кав бы отталкивает всю зту структуру линий разрыва, н образуется картина с тремя ударными волиаыи, показанная на рис. 6.14. Такое отражение называется еотражеиием Маха» в честь Эрнста Махи, который впервые наблюдал его экспериментально. Анализ етого явления еще не аавершен, причем некоторые теоретические результаты явно не согласуются с наблюГ[енинми. Глава 7 ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ Ураннение (7А) — =- с>«7>«р, с = согмн мз известно как волновое уравнение, хотя большая часть волн не связана с этим уравнением. Однако уравнение (7.1) встречается во многих задачах и является простейшим уравнением, с которого можво начать обсуждение двух- и трехмерных вали.
Построение более или менее полной теории явно вмходит за рамки наших воэмонсностей н, следуя главной те>«е книги, мы ограничимся обсикдоквем основны> рсаультатов, помогающих пояять природу волн н существенных для обобщений на нелинейную теорию. 1(ы не пытаемся дать тетя бы вводенне в огромное количество специальных н сложных методов, созданных для решения различных грант«чвых задач теории дифракцин. Элементарные вопросы теории ннтерфоронцни и дифракции хорошо наложены во многих кингах, а более развитая теория все более и более становится полем искусного при>гепения «математического аппарата> и малс что дает для более глубокого понимания природы полн. С другои стороны, прибли>ьснная теория геомстрпчщкой оптики солержит ценные общие идеи, которые допускают обобщение на другие — как линейные, так и нелинейные — аадачв.
Теория развивается зцесь на примере волновогс уравнения. но указаны также обобщения на неадно)юдную среду и аннзотропвые волны. Зги обобщения хотя и выходят аа рамки обсуждения уравнения (7А), но естественно с ним свячаны. Другие вопросы геометрической оптики н развитие аналоги шых ицей в нелинейной теории будут рассматриваться в слелующих главах. 4 I.х.
Области лрилогменнй волнового уравнения Волновас уравнение (7.1) является основным уравнением в акустике, теории упругостг« и алентромагнетиаме. Акуыкила Уравнения акустики бичи получены н 1 6.6. Здесь они приводится для удобства ссылок.
Уравнения газовой динамики линеариеуются для малых возмущений однородного состояния, для которого н=о, Р=ре Р=Р«=Р(Р>). 7ей Области приложений волнового уравнения Скоростью распространения возмущений является а,' = Р'(Ро), (7.2) а сами ноамущеиия выражаются через потенциал гр: и = — ~~р, (7.8) (7.4) Р— Ро = Рог)о Р— Ро= — — „, То ро (7.5) р!одстановна з линеаризакапное уравнение неразрывности приводит к уравнению для гр: Юн =а ь''р.
(7.6) Лннеариеееаннее ееерхаеукоеое течение Формализм акустаки можно использоватгн когда возмущение вызвано движущимся твердым телом. Для того чтобы возмущение оставалось мальве, или перемещения тела должны быть малыми (наприлгер, колебания мембраны громкоговорителя), или тело должно быть очень танкам. Первое типично для источника акустических волн, и необходимо решать уравнение с соответствующими граничными условиями. Случай тонкого тела, Лэнжугцегосн с произвольной постоянной скоростью, сваэызает акустику с авродинаминой. Гели тело движется с постоянной скоростью, то, очевидно, удобно перейти к движущейся системе координат, связанной с телом. Пусть ноордиггаты (х„ х„ х,) относятся к исходной системе, е которой движение газа мало в ошгсывается уравнениями (7.3) — (7.6).
Епчи тело дзюнется со скоростью бг в отрицатслыюм напразчэнии оси х, и координаты (х, у, э) относится к системе, ныюдешнной относительно тела, то координаты преобразуются по формулам + Пе у=хо э=хо. Боэшоненты скорости в позой системе равны ((Г + им и„и,), где и, =-.
дфдхо Далее, в новой системе координат течение является стационарным, так что ~р(хг х* хэ Г) = Ф(х у 3) = Ф(хг г (Гг хо ха). Таким образом, уравнение (7.6) принимает вид (Мз — 1)Ф =Ф „+Фин М=- Р, (7.7) а вместо (7.4) получаем Р Ро = Ро()Ф*. (7.8) Гл. 6. Волновое уравнение Колшоиеиты скорости газа относительно тела равны (6/+ бл* блы бз) (7.9) Для сверхзвукового течения М ) 1 и апре/геляющее уравнение снова является волновым, но с меныпим числом переменных, прпчеи х играет роль времени.
Эта аналогия )пле была отыечека в 3 6.16. Теория упругости г' —. ерц еуг дгг (7.10) где г — янобиан а(Хо Хь ХВ (7.11) "(*а гг *г) Далее, иРоизваДнаЯ дхл/дХг Равна lгл/У, где У/л — алгебРаиче- ское дополнение злеиента дХг/дхл в определителе (7.11). Резуль- тирующая сила ва единицу объема недеформированного состояния (7.10) равна, таким образом, зря Агл —, Егл и уравнения движения имеют жщ Ылл гря е*л (7Л2) Вудом считать, что вывод волнового уравнения при элементарном исследовании поперечных колебаний струны и мембраны, а ганжа продольных н нрутильных полн в стержнях лароша изнестен. Здесь мы рассмотрим выпад волнового уравнения в полной трезмерной теории. Дввжение упругого твердого тела монгпо овисать в терминах слсещення ъ(х, 0 тачки иа положения х в недеформированнам состоянии. Удобно также ввести Х (х, г) — — х -~- й(х, /) — новое положение в момент вреыени 6 Силы, делютвтюгцве на поверхности деформированного тела, можно описать так лко, как и в случае жидкости (сы.
т 6.1), посредством тензора напряжений рго Если мы временно буцем считать напряжение в деформированном состояние функцией текущей переменной Х, то напряжения вызонут результирующую силу на единицу объема, равную др/,/дур Это следует из теоремы о дивергенция точно так же, как и в случае жидкости. Однако предыдущее глагранжеваз описание смыцений (абмчно более удобное в упругости) связывает все величины с исходным недеформнрованным состаяниелл. При атом рсзультирукзцая сила па едиллииу обьемп переформированного соипояиия равна 7Л.
Области приложений волнового уравнения Удлинение произвольного линейного алемента при переходе ив недеформированного состоянии в деформированвое определяется равенством дХ1 а7х'; 6Х'; — 7)х,'= — ' ' а)хайха,— дхг = д*г д*а = 2еда г(х а(хь. где (7Л4) Р.—.,— „' =р~,-р(д Рд) да Ы.~. д (7.17) Взяв дивергенцию и ротор от (7.17), получим дм (р 6)= +йв 77'(77.6), (7.18) дм ('7 Х а) = — ' (У 7г е) (7.19) соответственно. Танин обрааом, существуют две моды, удовлетворяющие волновому уравнению.
Уравнение (7Л8) описывает нро- 1 дх'; дХ„ 7 (7.18) В общела слу*ше напряжения ря зависят от деформаций егь и от темсературы. В линейной теории упругости для малых смещений 4 иэ недеформированных состояний уравнения линеариэуются следующим образом. Поскольку Уг„ = †. 61„ + О (саф), при лннеарнзации уравнение (7.12) принимает ввд Ра дазс: д а выражения для деформаций (7ЛЗ) записываются така (7.15) Формула, связывашщан напряженна с деформациями, имеет вид рт, — — 2реп + Леаьбя, (7Л6) где Л и р — постоянные Ламе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
