Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Параметр й не входит в уравнения. Ок свяван с опредслениеы Е как полной вяергин течения. Таким обравом, мм полатаем 6.16. Автомодекьвые решения Функции >р, >р, 1, графики которых привелены на рис. 6.6, получены Тейлором численныы интегрированием уравненнй для случая у =- 1,4.
Испольвуя другие переменные, Седов покааал, что вти уравнении мо>кяо регвить аналитически; см. гл. 4 книги Седова[1)'). Автвлвдея! нне уравнения Лвтоыодельное решение, описывающее сильный нарыв, принадчежит семейству решений, длн которых ь и=-и — 1»(Е), р=:>Ррь — Р (6), (6А43) р = РА) сь) $ = — ", (Сй Если ати выражения подставить в уравнения (6.132) — (6.134) и учесть, что частные проиаподные функции 1 Д) ьюжно ааписать в следующем виде: —, 1' (6) =- Ы' (1) =- — —, 1' ($) †„.
1( ) — С ( (Ь) — †, ( (ь). д, . 1 то нножателп, аависящие от г и г, сократятся и получатсн обыкновенные диффсрешгналыюю уравнения по одной переменной Удобнее всего онк ааписываются для Р, А —.— (ТР)И)'»! и И; при этом скорость внука равна а = н —" А (ь) Этя уравнения таковы: ((т — 1И вЂ” А)3 — '„' = = (((1+1))' — — „— ) А — 1»()» — 1) (1» — — ), (6 144) ((Р— 1) — А ) — — = АА А в( (1 1 в(р 1)!) (г( т 1р(р 1) — ', ' (1+1) Р(Р— 1) — (Р— 1) (Р— — „'), (6.143) 6 >щ ((Р— 1)ь — А!) =- — „ С Щ = 2 ) 0 + 1) () — "„" ) (Р 1)-! Аь — Р (Ъ" — — ) — () +1) Р (У вЂ” 1).
(6А46) ') Решевве вюй ввдвчв бы>ю епервме опубвнкввьво Л. Л. Седовым в стать» еДвпыешю вовдуха прп сильном вврывеь, ДАН, 52 (194С), Га 1, 17 — 20.— 11рнн. ред. Гл. 6. Гановая динаыина Рептение могкет иметь особенность там, где (Р 1)в 4в . О (6.147) Ин вида уравнений следует, что атн особенности лежат на крпвой Е = солж. Исходные уравнения являлись гиперболическими, и, как иы внаем, особенности репгевия лежат на характеристиках — =- и ~ о = — ' (у ~ А).
в (6.148) На крнноп е=сопп1 ны имеем о г ж Следовательно, на кривой $ = сппн1, являющейся характернстиной, доллгна выпслнятьсл равенство У ~ Л =- 1. Ото согласуется с (ОЛ47). Иначе говоря, особенность ь~огггет попннкнуть лишь нн характеристике, проходящей черен начало координат, и пта предельная характеристика принадлежит семейству "- =- сопе1. Раг. Е.т. ( . г)-ж~аграыага плн епльного нарыв..
1 — хара ерпе пяп, У вЂ” уларяаа волна, Р— предельная тарангерж'тока. В вадаче о сильном нарыне п =- в/ь и предельная характеристика не может окаааться ва ударной волной. Она монгет оыть распологкена лишь в области перед ударной полной, кнк покавано нв рис. 6.7, но течение там является однородным с Р =. Л = О и особенности отсутствуют. Предельная характеристика представляет собой край складни в (г, 1)-плоскости для мвоговвачного решения, которое намекается ударной волной. Задача Гудероея о сходящейся ударной полне Предельная характеристика играет решающую роль в аадаче о сходящейся сферической или цилшщрической волне, схлопывающейся н центру. В атом случае стсугствуют соображения ранмерностн, понволяющие установить автаыодельнооть решения.
6.16. Автомодельные решения Однако Гудерлей (1) предложил искать решение задачи в виде (6.143) с некоторым показателен степени н, который сдедует определить. За нулевой момен* времени с выбирается момент, когда удярннн волна достигает центра, так что в равенствах (6.143) у щ. О и С < О.
В польау автомодельнога решения говорит то, что особенность з центре связана с ударной волков, которая Рле. 6.8. (, а-дввгрелл» длл еходллв Вел удврвоя волны. у — леходлел удврввл в лвв, у — вредельвев хврюетерветилв, Л— отрелювлвл удврвел волна. входит по некоторой кривой в (г, у)-плоскости в отражается Вдоль некоторой другой кривой. Это наводеп на мысль, что решение связано с некоторым сеиойством кривых, вхолян(их в начало коордвнат, а самыи простым является семейство видя г/( †)" = = сове(, которое и сведут испробовать. Во венком случае, решение этого типа существуег( Уравнения тогда те же, что и выведенные выше уравнения (6.144) — (6Л46) с некоторь(м н, которое следует определить. Сходнщуюсл ударную волну можно нормировать так, чтобьг она находилась на кривой (сг) поскольку параметр С ьюжно взять каким угодно.
В рассматривзелюм случае геометрия характеристик на (г, с)- плоскости показывает (это ясно из схемы, приведенной на рис. 6.6), что предельная характеристика, проходнщяя через начало коор- Гл. 6. 1'азовая динамика 196 диват, находится а области течеяил. Ноатоыу вопрос об особенности на ней становится репающим. интегрировании уравнений (6.144) †(6.146) лля Р (6), Р (Е), Н (4) с начнльными значениями при 6=1 мы выходим на кривую (Р- — 1)з — Аз=О.
Нри атом у решенил воаникает особетшость, если правые части равенств (6.144) — (6Л46) не обращаются также в нуль. Заметим, что искомое регление не имеет особенности и что показатель степени п саге не выбран. Гудерлей учел ати два обстоятельства и предложил выбрать н так, чтобы правые части равенстн (8.144)— (6.146) обращались в нуль на кривой (6.147) н решение гладко продолжалось аа предельную характеристику. Введенное интегрирование было проведено с большой точностью Гзтлером И), и найденные значении л представлеяы в табл. 6.1. Давление в ударной волне и ее скорость имеют вид р г-Ц1- к, Н зг-11-"1/5 понааатель степени (1 — я)/я также приведен в таблвце.
Г б «ца 6.7 ц. и е аа а. ~=-г Овр «а а. 7=1 т м — >/. (1 — 9„ 0,452692 0,394364 О,ДЮ756 0,2ЫО54 0,197294 0,101220 О, 688577 0,7171Л 0,757142 0,815625 0,835217 О,зш!63 5/3 7/5 6/5 Любопьпно, что показатель степени (1 — гб)/17 для / == 2 приблизительно вдвое превосходят свое значение дла / .=. 1. Хотелось бы привести доказательство справедливости точного соотношения.
11риближетшая теория, которая будет изложена люке (см. гл. 8), дает атот результат автоматически, но тем не менее реаультат в точнов ниде кажется неверным. Гудерлей показал также, что отражегпгая ударная волна моябет быть описана тем же автомодельным решением. Наиболее интересно ваарастаняе ее интенсивности при отражении. В атой идеализированной модели и исходная,и отраженная волны имеют в центре бесконечную интенсивность и скорость, но отношение интенсивностей остается конечным. Гудерлей локааал, что при у = 7/5 отношение давления аа отраженной ударной волной к давлению аа исходной ударной волной составляет примерно 26 дзя сферических волн (/ = 2) и примерно 17 для цилиндрических воли (/ =- 1).
Для плоских волн ато отношение равно 8 (см. 4 6.14). Весконечные значения в центре можно устранить учетом, скажем, зффектов вязкости, иа более важзый вопрос связан с устой- 6Л7. Стационарное сверхзвуковое течение 197 чивостью. Ниже будет показано, что приближенная теория предсказывает, что малые несимметрв шые отклонения формы ударной волны будут расти и ударван волна не будет сходиться точно в целтр. Однако неустойчивость влияет на поведение только в ыалой окрестности центра, и, па-видимому, решение Гудерлен применимо для болыкей части течения.
Е] Рргие оетоиодагьиме решения На основе анализа раамерностей можно утверждать, чта течение, создаваемое равномерно расширлгощеисн сферой, должно описыватьсл автомодельным решением с и, р, р, зависящими только от гуС], где С вЂ” скорость сферы. Уравнения имеют еид (6.143) — (6.146) с л = 1, и в атом случае автомодельпость решения на связана с сильныыи ударивши волнами. Эта задача была поставлена и решена Тейлором [3]. В некоторых отношениях задачи о плосннх волнах, распространнющнхся в неоднородной среде с плотностью р, (х), аналогичны задачам о сферических вли цилиндрических волнах. Окааывается, что ови имеют соответствующие автоьтодельные решения.
Сакурап И] рассмотрел случаи„длл которых р, (т) х, и обнаручкил, что их иогкно исследовать так же, как задачу о сходящейся уларнай волве. В частности, показатель степени в автомодельной пержгенной был выбран так, чтобы устранить возможную особенность на предельной характеристике, проходящей через точку е =- О (см. 1 8.2). Другие случаи, включая акспоненцвальную стратификацию плотности, были изучены Седовым И, гл.
4], Зельдовичем и Райзероы И] и Хзйаоьг ИВ 6.17. Стационарное сверхзвуковое теченне зт ! Чз)+г»кЧ=- тгр [т ') Р Ч УЕ-.-О. (6.150) (6Л51) Задачу о стационарном сверхавукавом течении таюне можно решать методами, раавитыии длл нестационарных волн. Действительно, между аадачаын из этих двух областей существует тесная аналогия. Двумерное стационарное течение соответствует нестацнонарным плоским волнам, осесимметрнчвое стационарное течение — цилиндрическим волнаи. Если пренебречь массовыми силами, то стационарное течение можно описать уравнениями у (рч)=о (6.149) Гл. 6. !"эзован динамика Этн урзвнения получены иэ (6.49) небольшими изменениями.
Удобно использовать векторные обозначения, обозначив вектор скорости через Ч (поскольку позднее для двумерного течения компоненты скорости будут обоэнзчаться и и с) и эаыеииз первонэчэльное вырзжение (Ч хг)Ч в левой части уравнения (6Л50) на указанное эквивалентное выражение, где а = гох Ч вЂ” взвихренность. Здесь мажяо азписать термодинамическое соотношение (6.31) в виде (6Л 53) вырззив а через д. Если течение к тому зке ивантропическое, то р и р ыогкно выразить через а и, следовательно, через д.
Г Е=Ж вЂ” г Ир р гг, учитывал (6.150) и (6.151), вывести уравнения У( — ', Ч +Й) ~ю МЧ=-ГХЕ, (6.152) Ч.дг ( з Ч т'-)г) =-О. Следоватвзьно, в сину (ОЛ51) и (6.153), энтропии Я и «полнея энтздьпияэ Й -г Н, йэ остзкпся постоянными вдоль линяй тока в любой непрерывной части течения. Если непрерывное течение вьшоднт иэ однородного состояяня с 5 =- Яэ, Й = — Йэ, д =- (7 нз бесконечности, то имеем р =Йэ+ т 1, 1 (6Л54) Е = Ео (6.155) по всему течению. Если возникает ударная воднз, то зтп соотношения следует пересмотреть, поскольку парзыетры течения могут меняться скачком, когда линии тока нересекзют ударную волну, п ведичпна скачка мажет быть разной дзя разных лвний тока. Но пака будем считать, что зти соотношения вьпюввяются.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
