Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Этс можно проверить непосредствишьпч вычислением после указанного ниже преобразования интегралов. Рассьютрнм величину в тачке (хо хю О). В точке (с„ч», сз) сферы о" (с) (см. рис. 7.С) функции чре принимает значение ~рр (ч,, ф ). Внешняя яормаль образует с осью хч угол, косинус 1„ которочо равен 7Г,зчз. (ч, В)з (ч,. 1,)т чч лр Элемевт поверхности дЯ равен д$чИ 7) (з ~, где дсгдьз — его праекцвя на (хг, х )-плоскость. Следовательно, учитывая два равлых вклада от верхнего и нижнего полулрастранств, можно записать М( ) 1 ( ( тебй ьт)жчдч* — — — ч:О ' .чча 7.7.
Геометрическая оптика где о (1) — пРоекпнЯ сфеРы б (1) на (хп:с )-плоскость (см. Рис. 7.6), т. е. ор): (х,— йз) +( — 6П <сета. Полное решение сводится к и> + — ( ( '1(ь ') ' ' . (7.55) 1 1 Ргеиз — [ — тьм — (з — 1 )з МЗ1 Ысниго заметить сходство с выражением (7.29). Рве.
7.Е. Пссзроенве, саазаьвое с вереходск аз трехкерзогс врссзрзкствз ка «хсскссть з задаче Кшвк. Поскольку здесь иатегрирование провошпся по всему кругу (х, — чз) -1 (хз — сз)з (сзгз, а пе только па окРУжности, вовыУ- щенке продолжается и после того, как исходная область Вз скажется полиостшо внутри атой окружкостн. 7.7. Пеомотрическая оптика При обсуждении одноыерных вадач в $ 5.5 и 5.6 была в|заспана роль характеристик как носителей раврывав. Было такжо показано, что ивменение величины разрыва можно определить непосредственно ив уравнений, не находя полного решения. Это же верно и для большего числа измерений, и теория разрывов для линейных уравнений есть одно ив приложений геометрической оптики.
Второе приложение касается периодических волн в высокочастотном Гл. 7. Волновое уравнение прмближении. Оба случая тесно свивали, поскольку фурье- анализ раврывных фушсцнй связывает особенлости с высокочастотным поведением. Оказывается, что оба аспекта геометрической оптики можно объедилить одним общим построением. Геометрическая оптика особепио вагапа,когда точлое регпение певозможно найти в явном виде или оно чрезвычайно сложно. Даже лля болеепростых задач часто легче найти поведение волнового фронте таким образом, чем выделять его аэ общего решения. Мы разовьем идеи геаметрическоа оптики па примере волнового уравнення,а затем покюкем, как их применять н волнам в веодяородной среде (Лля которых точные решения могут оказаться недоступдыми)ик анизотроплым волнам (которые имеют слоншый вид).
В следующей главе с помощью идей геометрической оптики будет развита приблшкенная теория распространения ударных волн. Из-эа нелинейности и многомерности такие вадачи чрезвычайна трудно исследовать каким-либо другим способом. Теория разрывов в основном применяетгл для определения поведения волнового фронта, распространяющегося в невозмущепную область. Предположим, по волновой фронт описывается урэвнениеи Б (х, г) = 0 и что решение ы тождестнеино равно нушо при Я (х, г) ( О. Следует определять поверхность Б =.
0 и поведение раарыва функции ф или ее производных. Если разрывы на волновом фроще появлявпся у производных функции ~р, начиная с ш-го порядка, то предположим, что и можно представить в аиде О, 5(0. При атом коэффициент Ф„(х) определяет иаменепне величиша разрыва. Как мы видели в случае цилпндрпческвх аолп, особенность на волновом фронте может содержать дробные степени, таи что мы допускаем нецелые значения ш. Идея состоит в том, чтобы подставить ато разложение в уравневие для 7, приравнять коэффициенты при соответствующих степенлх 5 к нулю и таким обравом получить уравнения для Б и Ф„. Однако при этом оказывается, что лзм требуется только, чтобы ю имела вид и= ~ Ф (х)1„(б), (7.56) где 7„ (б) обладакп свойствоьг уз (б) = 1.— (б) (7.57) При вычжленшг проивводных функции ы появляются производные функций г„, на при помощи равенств (7.57) их можно выра- 7.7.
Геометрическая оптика экгь черев предыдущие члены этой последовательности. Тогда уравнению можно удовлетворить, последовательно приравняв ковффнциенты при /„ к нулю. Эта общан схема включает в себя ряд важных частных случаев, например предыдущий случай, поскольку выражения 5 ( —,, 5>0, / (5) ~в-( т)! (7.58] О, 5(0, удовлетворяем равенствам (7.57). Мы проведем подстановку в форме (7.88), рассматривал ее пока как нраткую эапнсь (7.58).
Формулы вам понадобятся повд- нее при исследовании обобщений. Для начала будем считать также, что т ) 2. Строго говоря, понятие «решепие» нада уточ- нить, если входящие в уравнение производные раэрывнъг. Для волнового уравнения требуется существование непрерывных вто- рых проиэводных н т ) 2. Как мы убедимся, в этом есть смысл, а не только сверхпредосторожность! При подстановке появляются первые н вторые проивводиые функций /„(5), но, согласно (7.57), они ваменякпся на /' (5)=/ - (5) / (5)=/. (5).
Для и = О, 1 вто приведет к /, (5) и / э (5), которъгх нет в исход- ной последовательности. В случае (7.58) с т ) 2 онн опреде- ляются по той же формуле; в других случаях их определение следует включить в определение /„(5). После подстановки в вол- новое уравнение мы имеем (К, — с «5/) Ф~/ж + ((5„', — с в5/) Ф, + 25 Фэж + +(5„к,— с-э5гг)Фе)/ы Э Х Д / (5)=0 (7 89) — а Явное вгэражение для Е„нэм ие потребуется, однако следует отметитгч что оно содержит главный член [5"„— с 25ПФъм и другие члыгы с Ф„гь..., Фэ к проивводными от 5. Волновое уравнение удовлетворяется, если все коэффициенты при / ~, / „..., равны нулю.
Это дает 5„', — с~5г г= О, (7.60) 25эг — +(5мъг — с ъ5п)Фа=О (7.61) и дальнейшие уравнения для последовательного определения Ф» Фэ,.... Основной интерес представляют уравнения для 5 и Фэ. Прежде чем исследовать их решения, вернемся к вопросу о расширении области приложений вв счет выбора фуакций /„.
Гл. 7. Волновое уравнение 232 Разрезы р)увы)ии р и ее яереыя прсиавсдямя Если в равенстве (7.58) и ~ 2, тс встает вопрос об определении 7 з и 7 о и зто свазаво с РасгпнРением понЯтиЯ Решении. Длк ш =- 2, т. е. двя разрывов вторых производных, формула (7.58) еЩе опРеДелЯет / з и 1 „и РаспшРенное понптие Решениа состоит просто в том, что уравнение удовлетворяется по обе староват от волнового фронта Я вЂ” — О. Если разрыв имеет сама функция р, то т = 0 и разложение за волновым фронтом имеет вид 1г = Фе (х) + Ф, (х) Н+ — Ф, (х) бз +.... 1 Есяи вто выражение подставить в волновое уравнение, тс первые два члена в (7.59) будут отсутствовать и уравнения (7.60) и (7.6() будут утеряны. Однако если положить р = Ф. (х)Н(8)+ Ф (х) Н (Н)+.-, гда Н (Л) — функция Хевисайгда (1, Я>0, ~(8)='( О, 8 -О, и Н„(Б) — интегралы от иее, равные — 8, Б)0, Н (8) з1 О, 8<0, и, кроме того, при вычислении производных использовать обобщенные функции, та будем иметь рс = ФебФ (о) + ~МФ (8) + ° ° " 'рп =- Фс816 (8) + (Фебу + Фаугс) 6 (н) + ° ° ° и т.
д. Получаем снова соотношение (7.59), полагая 7е =Н(8), 1- =6(8). 7- .-6'(8) и информация о Б и Фе не будет утеряна. В случае ю ) 2 стих затруднений пе возникает. Объяснеш1е состоят в том, шо дпя ю ( 2 мы па самом деле переводзгм рассмотрение в область «слабых решенирэ и расширенное определение решения включает в себя информацзпо о возможных разрывах, не зависяпгую от конкретного способа введения этих раврывов. Дяя линейных задач необходимое расширение получится немедленно, если допустить обобщенные функции, такие, как дельта-функция, и игперпретировать нроизводные в соответствующем смысле. Это эквивалентно методу, указанному в $2.7.
7.7. Геометрическая оптика 233 Если гр непрерывна, но первые производна>е имеют разрывы, то подходящее разложение будет иметь вид >р = Фв (х) Нв (3) + Ф> (х) Нз (В) +... и в атом случае /е(3) = Н> (Я /-> (о) =- Н (3) /-г(3) = 6 (5). Раагажсяие вблизи гавкагега фраата и иагеде>вие яа балыиил расстаяииял Если равлоигеяие (7.56) рассыатривать как приближение к реп>ению вблизи волнового фронта, а не просто как способ изучения разрывов производных, то мол>но расширить облашь его применения, допустив функции /„(В) еще более общего вида, чем стеленные или ступенчатые функции.
Е(апример, для цилилдрических волн разложение вблизи волнового фронта (7.34) принимает вид (7.56), если положить з /.(3)=(„„, — 2„) р(д)( — д)" ' дд, 3=/ — —,, з Ф г — (и (/2)( / г а(( — а — (/2)( ( 2г / Это разложение оказалась справедливын при д — < 1. 2г Таким образом, В не обявательно должно быть ыалым при условии, что г достаточно велико. Функции /„(Я) удовлетворяют определяющим сооткошекиям (7.57), и вто разложение включается в раэвиваев>ую вдесь общую схему. Вообще говоря, следует ожидать, что разлоягепяе (7.56) с подходящими 7„(3) будет описывать поведение в некоторой довольно широкой области за волновым фронтам.
Однако точный вид этих специальных функций /„(5) можно наши только иэ более полных решений; оня не определяются подстановкой (7.56) в уравнелие. Но опрелеление Я и Фв из (7.60) и (7.61) все же дает нениую информацию. В типичных случаях это разложение описывает поведение на болыпих расстояниях, т. е. когда сб/(х( мало. В первом приближении /в (5) описывает профиль волны, а Фв (х) — аатухание авшлитуды при х — г аа. Высокие частоты В задаче о распространении волн часто иитересуютсн периодическими по времени решениями с заданной частотой ы. Если гл. 7.
Волповое уравнение теперь для ф ваять уравнение более общего вида 1 Ар = — фог, оо где Ь вЂ” некоторый линейный оператор, пе зависящий от то периодические решения можно записать в вцце ф =- Ф (х) е ' ', где Ф удовлетворяет уравнению ео ХФ + — о Ф = О. сз Для больших значений ы/с (норлоиравонных характерной длиной задачи, возгоожно, масштабоы самой переменной х) в стандартном методе нахождения асимптотическпх решении полагагот Ф егопы ~~ Ф„(х) ( — йо) ", =-о где функции о (х) п Ф„(х) еще нужно определить. Для ф вто разложение имеет вид ф е ' ы ж*в «~Р Ф„(х) ( — йо) ".
(7.62) =о Его можно ышисать в виде ф- Х цг (х)1,(й), ,-о где 5 =1 — о (х), р'„(Б) = Заметим, что так определенные функции р'„(5) удовлетворяют равенствам (7.57). Следавательла, уравнения для В и Ф„в точности такие же, как и в разложении вблизи волнового фронта, и нет необходимости их переписывать; видно также, почему получаются те же самые ревультаты.
В данном контексте поверхности Ю = сапог являются поверхностями равной фазы (например, пучностей и узлов), тогда как Фо (х) определяет амплитуду колебаний в точке х. Определенно 8 и Фо Продолоким теперь исследование уравнений для Я и Фо в случае залпового уравнения. Описание будем праводгыь применительно к раытространевию волнового фронта, но высокочаСтотная интерпретация очевидна. 7.7. Геометрическая оптика Уравнение (7.60) для Я часто нааывают уравнением гйьокала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
