Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Ес.ти первоначальное воем)месиве имело одиородвую энтропию, о движевие является ивевтропичесвим в можно считате Ураввеггие энтропии оавачает, что евтрошгя остается постоянной вдоль траектории как<дай частицы. В общем случае оиа может принимать равчичвые значения ва траекториях рааличкых частиц. Однако если гав первоначально ваходвлся в покое с однородной ввтропией Яи то Я = Яе ва траекторвм каждой частицы, и, следовательно, энтропия остается при движении постояввой.
Такие течения ваеываются изшилроличеслижи. В атом случае р является функцией только от р и уравнения сводятся в первым гшуьг иа ураввеяий (6.49Д Для лолитропного гаса 6.6. Акустика !56с р = р (р). Согда для малых вошгущеинй Р Ре а (Р Ре) (6.5() с точностью до членов выше первого порядка, причем а', =- р' (р,). (6.52) Соотношение (6.54) можно рассматривать как решение ливсаризованного третьего уравнения системы (6.49), так что обратимся к линеариаацяи первых двух уравнений. С точностью до членов выше первого порядка от малых величин (р — ре)гре (р — ра)грс. и/ае и их вроизводньж имевс — +р,— =О. др рис дс да дьс др р,— с+ — =6. дс дг, (6.53) (6.54) и,=и( '(х)+ —. — ~ (р — рс) с(С, в д 1 а*с ро д где произвольные функции и)к (х) появляются з процессе интегрирования.
Обычно в акустике их можно положить разними нулю; например, ато так, если ис = 0 в начальный момент или если волны распространяются в область попая. При атом вектор и является градиентом скаляра. Ввежс потенциал скорости ср, определяемый условием н = тср, получим ис = —. р — рс= — рс —, р — рс== — —,—, (6.55) до дт ре рв асс' М а и равенство (6.54) выполняется тождественно. Уравнешсе для с получается подстановкой зтих выражений е (6.53) и является волновым уравнением с(сс = асср ..
(6.56) с где а, — скорость распространения. Можно ааметкть, что все возмущения в (6.55) также удовлкгворязгг волновому уравнению. Для одномерных волн уравнение (6.56) мовсно решить сразу, что дает ср = )' (х — ае() + у (х + аер), (Когда невоамущевное состояние однородно, здесь и далее оставляются производные от исходньсх величин — чтобьс не усложвять запись и не увеличивать количество индексов,— но при необходимости их можно перевести в производные от возмусцений.) Из (6.54) следует равенспю Гл. 6. Газовая динамика где г' и б — произвольные фуикцив; соответствующие выражения ДлЯ и И Р вЂ” Ро таковы: и = Д (х — иос)+ у' (т+ а,с), — "' = Д (х — иое) — б' (х+ аоо).
Ри о грувнции ) и у выбираются так, чтобы выполнялись начальные илн граничные условия. Мы отложим рассмотрение конкретных примеров, поскольку Лля плоских волн поддаются решению полные нелинейные уравненош и некоторые ллиеаризовалные резулигаты иожно рассматривать как приблюкевие этих точных решений. Двух- и трехыерные решения волнового уравнения будут рассматриваться а гл. 7. Праитпчески в любой задаче акустики действузп силы тяжести, л вследстшге этого певозмутцевное состояние неоднородно. В задачах о распространении акустичесиих волн ва болыпие расстояния в атмосфере или океане зтот факт может оказаться решающим и привести к усилению и рефракции этих волн. Дав<э когда средыдущан теория справедлива, то это не столько потому, что весь гравитационный член ру превебрмкимо мал, а сьорее потому, что величина его веамуиоеиия мала по сравнению с цругими возмущениями.
Невозмущенные давление и плотность доюкны удовлетворять уравнению НРо — = — роб, Ж (6.58) где з — вертикальная координата. Поскольку изменения давления и ускорения з анустических волнах могут быть чреавычайио малы, два члена иа(6.58)могут оказаться наибольшими членами в уравнении сохранения вертикальной компоненты импульса.
Но так как они уравновешивают друг друга, то их дальнейшим влиянием на уравнения для возмущений можно пренебречь. Рассмотрим подробпее раопростравевие плоских волн в вертикальном направлении. Положим р = ро (з) + Рг Р =' Ро (х) + р» и = (О О ю) подставим ати значения в (6.49) и отбросим ивадратичные и другие члены вьюших порядков по р„рг, ю; тогда мы получим „и+ р,+р,ю,=о, Роюо +Р,'+Рн= — Роб — Род (659) ри -~- и р,' — а, '(ри + юр,') == О. В общеы случае в равиовесвоы состоянии энтропия распределена неоднородно, так что следует учитывать изменение энтропии в определять а» так, как указано в (6.48).
Из (6.58) следует, что для изыенеиий равновесных величин характерны большие пространственные расстояния Ь порядка ВИ 6.6. Акустика а,'/д. Если р, = О (ср,) и ь — характерная длина волны воэму- щения, то В то время как Х/Ь может иметь порядок 10 ', амплитуда е детка может быль равяой 10 ' или еще меяьше, гак что градиенты осиовного состоялия р,' могут оиаэаться больше, чем градиенты р „ создаваемые акустическими волнами. Однако чдеиы р,' и †р в (6.59) ваавмво уиичтоанаются и все оставппыся члевы пропорпиональяы в.
Члены р,у, шр„и~р„' имеют доиолиительньш множитель ь/Ь. Следовательно, эа исключением случаев распространения на расстояиия, сравнимые с Ь, эффекты пеодяородвости будут малы. Вместо того чтобы делать дальнейшие оценки, проще рассьютрегь векоторые точные решения уравнений (6.59). Исключая в (6.59) р, и р и снова испольауя (6.58), получаем ми=а,'ю„+~~а ') ю,. Ра Зто уравнение гиперболическое, и характеристические скорости равлы л-аа(а). В случае неоляородиой атыосферы а, продолжает оставаться скоростью авука в этом точном смысле.
Для политропнего гааа аа = ура/ра, твк чта (р„а",)' = ур' =- †ур и уравиеиие сводится к ти = а,'ют — ууш,. Ивотврмическсе рааиаввснав состояние Для постоянной равновесной температуры а, 'постояива и (6.58) дает экспоневдиальиую атмосферу ра (э) —.— Ра (О) а-агг, Н = — = — "' . да у а,' в гв Уравнение для ю имеет вериодические решеипя ы=Ае ягкВсов(йв — ая), аа ыь= а да+ — — '.
а йпа' Иамеиеиие амплитуды мало, если в (( Н и ы' — а,'йа лри й'/йи (( (( Е Зто решение подтверждает предыдущие сцепки. Наивективкт равновесное соалоавшв В коивектявноьг равновесном состоявии энтропия постоянна и р рг. Ив (6.58) имеем Вра аа Фо а Ваа аа = у р,аэ р,а* г — г 162 Гл. 6. Гавовая дннамвка откуда ,"(х>=;(о> — (7 — 1>~ . Конечно, ато распределенпе вмеег смысл только для высот, меньшвх а,* (О)/(7 — 1) у. Решевня длн >с выражаются черве бесселевы функ>гйл (Г. Лвмб, !П, стр.
635); можно сделать н аналогичные выводы об аффектах неоднородности. Некоторые вопросы, касающнесн рефракции нж>лосккх волн, будут рассмотрены в 4 7.7, другие можно лактя в нанте Г. Лемба (1), стр. 686 — 703. 6.7. Нелинейные плоские волны Рассмотрвм теперь точные нелинейные уравпенвя для одномерного течеввя в случае, когда массовымн силами можно пренебречь. Поскольку сейчас мы нлтергсуемся больпжмн намененвямн лавленвя, во многнх првло>кепках можно полностью пренебречь влнянвем вялы тя>кесгн.
Уравнения (6.49) принимают внд р, -> ире + ри„=: О, (6.60) р (и, + пи„) + р„= О, (баб>1) Я, +п3„=0, (6.62) где р (р, Я) — вввестная функцвя. Последнее уравневве можно также аапвсать в виде р, + ир — а' (р, + пр„) — — О, (6.63) где аа ( ЛР) (6.64) Для ввучевнянелпнейвых волн уравневвя првводятся к характернстлческой форме прв помощн процедуры, опвсапной в $5.1. Вмжто того чтобы польаоваться готовыма фюрмулаыв, быстрее вывести характеристические уравыеввя вепосредственно ва (6.60>— (6.63). Заметвм прюкде всего, что ураввенве (6.62) уже имеет характеристическую форму г характернстнчжкой скоростью п.
Отсюда Ю Лс — = 0 ва характернствнах — = и. в гг (6.65) Зтв характервствкн являются траекторвямв частвц, в Я постоянна ла каждой ва ннх. Два других семейства характеристик удобнее всего получить, нспольвуя уравнения (6.60),(6.61) в (6.63). Достаточно рассыотреть 6.7.
Нелинейные плоские волны 163 следующие линейные коыбинации: пронвведевие 1, на (6.60) плюо правоведение 1, на (6.61) и плюс (6.63). После преобравования такая комбинация принимает юш р, + (и + 1,) р + р)е (и< + ии„) + + р1 и„+ (1< — а*) (р, + ир ) = О. Случай 1, = 1, = 0 отвечает уже найденной характеристической форме (6.65). Паоле того как этот случаи иоключеи, ив сравнения членов о р и р видно, что единственное воамоя<кое характеристическое уравнение с 1, ~ 0 получается при отсутствии вроиаводных от р, откуда 1, = ае.
Тогда, сравнивая проивводвые от р и от и, получаем 1, = 1<11». Таким обраэом, 1, =- аэ, 1, = ~а и искомые комбинапип имеют вид р,+(и~а)р„~ра(и,+(и~а)и„) =О. (6.66) Полная система характеристических уравнежш имеет вид ар ໠— .~- ра — = 0 ж' ж на Сы — =и+а, де и (6.67) <» на С: —.=и — а, а< ир ໠— — ра — =0 а< а< (6.66) Ж ае — =0 на Р< — =и. а< а< (6.69) а< ໠— -рр,,— =О а< и ар ໠—,— рим —,=О а< к ае иа С: —,= — ае, а< на Р< — '= 0 <Ь и и немедленно интегрируются, давая (р — ре) + реаеи = К (я — аег], (р — р») — реаеи = С (в+ а<г), 3 — б =Н(1).
роли витропия не ивл<еняегся, то эти равенстве согласуются о ре-. <пением (6.57). Характеристики Се н С опиеывавк точки, движущиеся со скороетью ~а относительно гана, имеющего локальную скорость и. Это акуттичеокие волны, и величина а, определяемая равенотвом (6.64)„ отождествляется с нелинейной скоростью внука. В линеариаованпой теории этк уравнен<и жшроксимируются следующим обравом: Гл. 6.
Гааовая динамика Это ввваряавты Ршяава. Для полвтропвого гааа р=хрт, от=нура' л иявариапты Рвмапа равны 2 ж — а~и=сонат ва — =и~а. т — г ж (Гь7() '6.8. Простые волны Если один ва ввварвавтов Рямаяа для яа»втропкческого течения остаетса всюду постояквым, то решение чреавычайво упрощается. =а,р и=с а=по, вяла 3 Ряс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
