Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Более того, раз появившись, онн не могут исчезнуть за конечный интервал времени. Для нелннейяых систем а р чь 0 уравнение (5.38) можно переписать следующим образом: (() Р О( тогда решение нмеет внд ! гг (С вЂ” = — +с~~«(~ уЯе- (г(3(Т о а (0) е (5.40) где р, т — пологвительные постоянные и а (О) = а, ) О. Еслн ас( р(т, то правая часть уравнения (5.41) в начальный момент отрицательна, так что а начннает убывать. Но тогда правая часть остается всегда отрицательной н а продолжает убывать. В пределе а — г 0 как е з' прн ( — г со. Однако если ае ) р/т, то справедливо обратное н а монотонно возрастает. Со временем член таз начинает доминировать в в результате а -г со прк конечном значении зрелини.
Ржпевне можно записать в следующем явном виде: а(г) = — р аа — (аа — В(т) е"г (5.42) Если аа — р!т)0, то а — т ос прн Г -г — )и ( аз р ае — Фт (5.43) Снова разрывы, однажды появившись, не могут жчезнуть за конечный интервал времени, они могут чнгаь стремиться к нулю при г со. Однако в нелинейном случае отнрывается новая возможность, состоящая в том, что а сю при яояечяав еначемвн (. Реализация атой возможноств зависит от знаков р (г), д (г) и ат величины а (О).
11устгч напрюзер, речь идет аб уравнении — таз — ра, аа ш (5.41) 5.7. Пример. Речные волны 5.7. Пример. речные волны В качестве ивтересвого примера равложепия вблизи волнового фронта рассмотрюг уравнения речных волн, обсуждавшееся в $3.2. Опв амеют вид )а -5 ГЬ„+ Ьг„= О, ы (5А4) с,—,-ж„+а'Ь=у'5-Сг — „. В равноыерноы потоке величины Ь = Ье, с = сэ и у'а =- Сгс,'!Ьэ постояввы. Волновой фронт имеет в этом случае постаянвую скорость, так что положим $ = к — са Решение ва волновым фрон- том ищем в виде рядов Ь=Ь+Уъ,(г)+ — , 'Рь(()+ ", с = оэ + Есг Р) + х 5 сэ (г) + Подставляя эти раэложения а уравневия (5А4) и последовательно приравнивая члены с одинаковыми степевями $, получаем (сэ — с) Ьг+ Ьесг = О (5.45) б Ь! + (сэ с) с$0 (оэ — с) Ьт-)-Цоэ-(- — +2с,Ь,=-О, аьг лг у'Ьэ+(иэ — с)с + — +Р,+д'5 ( — — — ) =0 ах, lдсг ьг г м т.
д. Иэ первых двух уравнений вмеем (с — вр)э = д'Ьс, (5.46) (5.47) Этот результат предсказывает нелинейное опрокидывание волнового фронта и воввиановевие после жого ударной волны с разрывами самих функций иг Хотя это рассуждение об опрокндыватгии и критерий вида (5.43) ограничены частным случаем волны с раарывнойпроиаводной, они все жечреввычайво ценны,поскольку в данном случае все вьпшадки всегда можно провести в яввоы виде. Функции р (с) н Ч (г), входящие в уравнение (5.38), зависят только от коэффициентов аы и Ь„и длн решения этого уравнения вовсе не требуется построевие решения во всей плоскости течения.
Непрерывный профиль ведет себл несколько вначе, но кы получаем приблнантельную оценку величин производных, нуае ных для воанинновения опрокидывания, а также оценку временк образования разрыва. Вывести точный критерий опрокидывания нв основе явной формулы для непрерывного профиля оаааьюается, как правило. невоаможным. 136 Гл.
5. Гиперболические систеиы твк что скорость распространения фронта волны составляет с = — оо ~ )ГЬЛЬо; (5.48) кроме того, (е — о) ае (ВА9) во Соотношение (5.47) позволяет исключить на уравнений (5АО) Ь и о,. Полученное уравнение имеет вид и' Р+ 22 о Ь„+ ( — щ) ( Щ + о,'+ а'В (! ' — 2! ) > = О.
Исключив о, при помощи формулы (5.49), окончательно получщг ва, з Я 8 2 г Щ + (е — оо) +, (е оо) ( е, ко) — — 0 (5.50) Ве 2 Ьо оо г ) ц Величала Ь, (1) совпадает с производной Ь, на волновом фронте. Рассьтотрнм теперь рааличные частые случал. Волны на мелкой воде В обычной теории мелкой воды в урввпепнях (5.44) отсутствуют члены, характеризующие накаон п тренке, и уравнение (5.50) принимает вид ж, з ь( — = — — (е — о ) — ". Ве 2 Ьо ' Волны, распространяющиеся зпнз по теченню (е =- о, + )' бдо), опрокидывавпся, если )Ь ( 0; волны, распространяющиеся вверх по течению (е = о, — ргбЬ,), опрокидываются, если Ь,) О.
Лаводконы волны Для паводковых волн, распространяющихся вниз по течению, е =. ь, + )гд'Ьо и уравнение (5.50) записывается так: — = — — )г — Ь, — ( 1 — ) Ь,. (5.51) е' е еод г оо и 2 "О ' о 2)Г~'~ Если оо/Уб'Ьо) 2, то линейный член Указывает на зксповенциалыюе новрастание независимо от анака Ьп Это свидетельствует о неустойчивости равномерного потока при таких условиях и согласуется с результатом, ж1лученпып из (3.41).
Если же о,))ггд'Ь ( 2, то линейный)член указывает на экспонетщиальное убывание, отвечающее устойчщюсти. Однако если Ь,(0) ( 0 н (37' 5.7. Пример. Речные волны то бйтйМ ( 0 и Ггг -е †при конечном значении времени, чта соответствует нелинейному опрокидьюанию залпового фраата и образованию бары на фронте волны.
Это согласуется с анализом,проведенным в $3.2, где было показано, что достаточно сильной паводковой волне прешпеотвует бора. Приливная бора Для волны, распространяющейся вверх по теченяю, с = . - ОΠ— 'ггд'дс в уравпевие (5.50) принимает вид ль, з, г, г'лг ьс ' ОО ( ' х)Ггьо~ Воляа с палояштельным Д, будет опрокидываться, если 5 (0)~ — ' ') '" ((-р — ' "' ) (5.52) Полученная оценка значения Дт (О), приводящего к образованию боры, особенно интересна ввиду того хороню известного факта, что приливная бора возникает лишь в сравнительно малочисленных ревах с достаточно высокой приливной полной з устье.
П)юведенкый здесь анализ ограничен волновым фронтом, тогда как для описания приливной боры более подхащп первоначально гладнпй свнусопдальный профгьчь. Однако пря етом обнаружишются достоинства аналвткческого результата: можно в явном виде установить ааввсимость от различных параметроз, можно предсказать аснмптожшеское поведение для болыквх величин л п г кт, д.) В непрерыввол~ случае, ддя яотогюго нельзя подучить атшлитнческое решение, для установления четкого крнтерня могут потребоваться обширные численные расчеты. Поэтому предложенный вывте подход дает полштпте оценки.
Действительно, Абботт ((), использовавший подобный апалпз и детально применивший его к реке Сенерн, обнаружил удивительно хорошее согласование с наблюдениями. (бтактическв Абботт в своей работе попользовал теорию высокочастотных прпблюкепвй, но оба подхода математически зквивалевтяы. Более того, послецпий подход менее оправдан, так кап лрллизные изменения являются низкочастотными и моткно оспаривать утвер.кденпе, что опрокидывание определяется только высокочастотными аффектами.) Вансно, однако, обобщить условие (5.52) так, чтобы учестьнеоднородпость патона и топографвю невозмущенпого состояния реки. Сужение реки вверх по течению особенно существенно для получения действительныя оценок, поскольку оно способствует опрокидыванию волн и преодолению обычна доминирующего гасящего действия сил трения.
Детали ыожно найти в статье Абботга. $38 Тл. 5. Гиперболические системы С целью примеиеяия результатов о волновом фракте мы используем максималькую скорость иемекелия высоты приливной волны для опредедекия и> (О). Если высота прилввиой волны в устье реки составляет Й = Ьс + и жп юд то максимальиое звачеиие производной А, равно аы. В разрывкой теории исходное авачеиие Ъ> ва волновом франте равна (Р 3 Аа са) ьч (О). Положим позтому А,(О) = )> х >'а — "е Для однородного какала условие (5.52) предсказывает обравозевяе боры з слу >ае, когда ~е> (~ ~~ ~)(~ б е+ ~ ~)' Используя равенство д'Я = С>о,*>йе, эту формулу можно переписать з различных видах и наиболее удачным является, пожалуй, следующий: (5.53) Для рек веля пню сс/~I б'5> доводько мала, так что правую часть можно аппроксимировать первым сомиожлтелем.
Для типичиых значений и = 5 футов в секунду и С> = 0,006 вто выражение дает ю>я а кедостижимое зиачение порядка 400 футов. Эффекты сужения и другие факторы зиачительио снижают эту всличику, хотя зсе >ке пеобходвмы исключвтелько высокие приливы в быстра ивмекяющаяся топография. Имеико по этой причине так мало рек, з которых возяккают боры. Для реки Северя Абботт установил, что с учетом всех велквейкых эффектов требуемая величина высоты прилива 2з равна 39,4 фута.
Сизигизвые приливы имеют средкюю высоту 41,4 фута, тогда кзя средняя высота квадратуркых приливов составляет 22,2 фута. Таким образом, Абботт предсказывает, что бора должна образовываться в течение примерно четырех дней зо время наиболее высоквх приливов. Зто, по-видимому, подтверждается наблюдениями. Его оцеяки расстоякия вверх по течению, ва котором образуется бора, и ее максвмалькой высоты таюие хорожо сосласуются с каблюдещ>ями.
5.8. Ударные волны Ситуация, возвикающая в связи с опрсквдывавием волн и формироваиием удариых волн, во многих отложениях почти та же, что в случае одного кваеилииейиото уравнения. Некоторые решеиия, первоиечзлько одиозиачиые и дюкс непрерывные, переходят 139 5.8. 'Ударвые волны в миоговвачвые: волны оврокидмваются. Это снова ивтерпретируется как неадекватность предположений, лежащих в основе вывода системы (5.1); однако, допустив разрывные решения, можно хорошо апвроксимировать характерные черты профиля.
Мы опять будем счгкать, гго при выводе дифференциальных уравнений исходными были соответствующие ураввевин в ивтегральной форме (5.54) где До д, и Й,. — различные величины, представляющие интерес в дапиой физвческой задаче. Например, в задачах мехавики 1, и б, могут быть плотностью и потоком массы, ялв плотяостью и потоком импульса, или плотностью и потоком анергив.
Величипа Ь, описывает распределенные источвики, такие, как гпшульс массовых свл в закове сохранения импульса. Уравнение (5.54) представляет собой закон сахраксякя рассматриваемой физической величины (массы, импульса, звергшг и т. д.). Плотяости 1, являются фуакцяями от (я, 1) и л основных переменных и = (к„..., и,); в общем случае получаежя я уравкеввй (5.54], описывающих соотзвштвутлпие физические законы.
Затем делаются различные упрощающие продлевая<еккл, связывающие б; в 5; с с, Г и и. В пеРвом пРиближении дг и Ьг бУдУт пРосто фУвкциями от з, г и п. Если и имеет непрерывные первые производиые, то уравнение (5.54) можно записать в дифференциальной форме '5(™+"'<*'"' ра ( 1 )5В (555) дс Это закон сохр некиа в двфферепциальиой форме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
