Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Характериствческие скорости равны ~ (о' (е)/рс))гсе. 1!ри надлежащем выборе о (е) распространение сеяаано с иятересньпси эффектами; в частности, несколько странно, что ударные волны возникают в рлееруетлюй фаае еозмущеяия. Этот вопрос рассмотрен в книге Куранта и Фридрихса (И!, стр. 235). 5.3. Инварианты Римана Каждое уравнение в характеристической форме вводит свою линейную каьсбинацию производных. Для простоты мы рассмотрим упрощенную форму (5. !О), где вта линейная комбинапия нмеет аид 1, с(ис/сй. В линейной теории вектор ! не зависит от н, так что после введения наной переменной г =- с,и; уравнение принвмат следующий простой внд — с+У(л, С, и) =-О.
Ег в В нелинейной теорви, однако, ! может занисеть от и и не всегда возможно привести уравнение к такому виду. Для огата необходимо найти о и г, тшсие, чтобы !с с(ис й Х с)г, 126 Гл. 5. Гинерболвчесние системы или — что то же самое — чтобы (лй й —. (5.13) (Здесь х и т фвксиронапы; дифференциал л(г относитсн только к приращениям «.) Это частный случай задачи Пфаффа об интегрируоиости дифференциальных форм. Длн п —. 2 можно исключить г и получить уравнение для Х, которое, очевидно, имеет решение. Однако при и ) 2 исключение ив равенств (5.15) как Х, так я г приводит к уел«вики на („которые являютса необходимыни условиями суще твования такого щледставлевня.
Дла пшерболичесвой системы л характеристических уравнений привиыаалт особенно простой вид, если оказывается возиожвыы ввести переменные га для каждой двфференциальной форыы Иио Тогда фувьцнв г„молино использовать как новые переменные вместо и, и тарактеристичжкие уравнения запишутся в виде — ф)а(х, Г, г)=.О на — =г„(л, Ц г), (514) Это всегжз ноя:по сдела~ь в линейной теории, и н атон случае функции )х линейны по г. Дал~ нелинейных теорий зто вгог;Вз воа«ожно прн л 2 и минет оказаться невозиожпь1м при и ) 2. Такие тзерел~еиные для случая и — 2 были введены Рнмаиом в его работе по плоским волнам в газовой динамике. В етом частном случае (см. 1 6.7) фунвции )» раины пулю, так что г, и г постоянша на соотвотгтвузолцих характеристиках; иозтол~у функции г, и г, называапса итар«актами Римшиь В обггщм случае функции гь ьго>кво навивать рнманоенлллл перемешлил~и. 5.4.
Интегрирование птщаьтп прп помощи характеристик Для понимания струзлтурзл гиперболических задач, в частвости таких вопросов, как правильное числа грани шых условиг! и вид области зависимости, полезно представлять себе процедуру построения решении нри помощи последовательных малых приращений кромолыми. Для щистоты будем предполагаттч что характеристичесние уравнения ыои по представить в виде (5.14), но качественно налепив будут такими же и в обгцел~ случае. Рассмотрим аадачу с началъньгяи и краевымв условиями в области х ) О, т ) О с данными на лучах х =- О и С = .
О. Если Р— нроизвольная точка (х, с)-плоскости и если 4)д — близлежащая точка, расположенная на й-й характеристике, проходящей череа точь у Р, то уравнения (5.14) с точностью до членов первого порпдна 127 5.5». Интегрирование лрв помощи характеристик мол»но записать в виде гь (Р) — г» Еь) + У» (<?») (1(Р) — т (0»)) —.- О, (5.15) х (Р) — л ((1») = сд (()„) (г (Р) — 1(()ь)) (5.16) с очевилньши обовначенвями вш»ичин в точках Р н Ою Коли эти уравнения зависать Лля веех л характеристик и если значения всех величин в тачках ()», известны, то равенства (5.15) дают в уравнений для величин г„я точке Р. Коли некоторые лз с„овивавовы, та некоторые и» (»» будут совнадшь, но ато не вл»еег значения ирн условии, что л уравнений (5.
15) образу»от полную систему. р» Рис. 5Л. Посев»свое решен Ь г вввацън» тэр»к»врастав. Проведем тепеРь такое нострооние мяогокрапю, «ак показано ва рис. 5.1. На этом рисую»е нанесены три хараитеристини, вричем с, ) с ) О ) с . Поаьмем сначала точку Р после нервого шага ло времени; 1(Р) .
ЛГ. Эта то»ка берется с достаточно большим значением .с (Р), чтобы характеристики Р()„РО», Р()»»геросеяа»»и полон»ительную полуось л, как показано на рисунке. В этом сг»учае Г ((1») .-- О. Если все г„первоначально известны как фулкции от г лри с — О, то ка»»<ваг» с» известна как фуш»ния от л, тав что ялн выбран»»ого значения л (Р) уравнения (6.16) ощюлелнют г (ь)») ллн кажг!ого йо Тоска г» (О») н )'» ((»») вычисляются во нервоначальныы аначениям г„и уравнения (5.15) олределяин гь (1»). Это верно для всех точек Р, лешащих яа прямой т = Ьт, нри условии, что они находятся снрава от точки )р, определяемой отрезком ОИ'характеристики, соотввгствующеч наибольшей скорости с» и лроходнщей через начало «оорвинат.
Гл. 5. Гняерболнчесние системы Зги вычисления можно повторить, давая времени последовательные прнрзщешгя. Например, е точке Р' значения г„нахолятся при помощи величин ь);, (),', ();, которые былв определены на предьсдущем шаге. Так а принципе можно пОстроить решение в треугольной области, расположенной справа от характеристики ОИ', если заданы значения всех г» на луче э = О,х ) О. Ясно таклсе, что значения в точке Р' будут зависеть талька от данных на ограниченном точками Р; н Р; отрезке оси х, где Р'Р; н Р'Р, — хараятериствпи, отвечающие самой большой н самой малой скорости соответственна.
Отрезок Р;Р; представляет собой облисть эивигимосши для Р'. Наличие области зависвмости укааыээет на золно«оя характер решения. Сигналы распространяются са скоростями с„с„с, и только волны, исходящие из точек, расположенных ме»вду Р; и Р;, успевают достичь точки Р'. Для задача с полнымв начальныын значениями, когда г» ярп с = О заданы на всей оои х, — оа < х ( ао, описанное построение ыажво использовать для доказательства теорем существования в единственности. Для устанонленвя корректности постановки задачи нужно еще проверить, что решение устойчиво (вопрос, которого мы здесь не касаемся). Но вервеыся к смешаняой задаче с данными прн с .= О, нэвестными толька для х ) О, и остальной информацией в виде данных на полуоси х = О, е ) О.
Рассмотршс точку р яа прямой е = йд располовсепяую слева от точки И', тав что две положительные характеристики пересекают ась э в точках д и д . Значение г (р] все еще определяется данными з точке дэ, располшненнай на осв х. Действительно, точну р мин»на взять ва саыай осн С, а г» все еще будет определяться данными на оси х. Таким образо»с, величину г, нельзя произвольно задавать при х = О. Для овределення г, (р) н г (р) потребуются зпачеяия гв г н г з точках д я о .
Значение г, при х =- О вычисляется, а не задаегся, но, очевидно, г, н г» доюквы быть заданы. Для последующих шагов ио времени все повторяется. Напрньсер, в точне р' значение гэ определяется данными в точке д,'; значения г, н г, ащседеляются по данным в точках д', и с)', тан что значения г н г долгины быть заданы в этих точках. Таким образом, для корректно поставленной задачи гп г», г, заданы прв э =- О, х ) О, г, гз авданы прн х = О, э) О. Данш»е на аси х = О влияют ва решение *олька в области левее «волнового фронта» ОИ'И". Конечно, можно задавать и другие эквивалентные данные, м в общем случае любые трн условия прв э = О н июбые два условна прн х = О будут корректными. Единственное ограннченне сооюпт в там, по два уоловпн, заданные ва осн х =- О, не должны определять г, поскольку гз определяется начальными условпямн.
5.5. Разрывы производных Полученные здесь результаты можно обобщить иа я уравнений и другие граничные условия. Иэ построения решения ясно, что число граяичяих условий должно бьиаь равно чис»у хараатеристих, иаярвтгннмг г расскатриааетую аблисть. Чтобы сделать термин «напранленныхь осмысленным, следует длн каи>дой характеристики определить подоя;ительное направление. Когда ! — время, зто направление обычно выбирается в сторону возрастания !.
Для определении положительного направления можно использовать другую каор >пвату, т. е. х, или даже функцию от (х, !), по в каждом случае правильность выбора грани >ных условий нуждается в нроверве, аналогишой проведенной вьпио. Доказательства существования и единотвенностн могут основываться на итерациях >гвтегральных соотношеяий, выражающих значение в точке з виде интегралов ио соответствующему характеристическому треугольнику (например, Р'Р;Р, для Р' яа рисунке 5.1). В целок построевне аналогично итерациям Пикара для обыкновенных диффоренциальных уравнений. Здесь мюкно сослаться на Куранта л Гнаьберта ([1!, стр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
