Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Глава 4 УРАВНКНИК БЮРГЕРСА Простейшим ураш»аннам, отражающиы вак эффекты нелинейного распространения, так и аффекты диффузии, является уравнение Бюргерса с, г сс„ = тс„„. (4Л) Выше было поиаэане (см. (2.28)), что это уравнение является точным для волн, описываемых уравнениями р» + 2. =- О, 2 = Р (р) — тр, Н.2) в случае когда () (р) — ввадратичная функция.
В обще»» случае, когда в рассматриваемой аадаче существенны обю эффекта, обьгпю существует способ вывода уравнепвя (4Л) либо нак достаточно точного приближения, либо каи удобной основы лля грубых оценок. В случае проиэволыюй вависнмости 4) (р) в уравнениях (4.2) мо»вно, например, получить уравнение (4.3) с» + сс„ = тс„ — чс" (р) р„», где, вак обычно, с (р) == ()' (р). Опюшение»с" (р) р' к тс„„имеет порядок аигглитуды возмущения, и следует ожидать, что уравнение (4Л) яаляетоя хорошим приближением для малых ачплитуд. В атом случае полагают, что пренебрежение данным весьма малым членом не создает накапливания ошибок (свая»ем, при г сс), неизбежно приводящего и неравномерности пр»»блигке»шя.
Для сравнения напомним, что линеаризапин левой исти вида с, + + с,с„, где с„ — некоторое постоянное невозмущенное вне»ение, в это»» отпошегжи иатастрофична. Но для проверки мо»ипа установить, что в решении, описыэакацем струнтуру ударной волны (см. $2.4), тле наибольшими являются диффузионпые члены, в области ударпой волн»» член чс (р)р„", остается по порядку величины меньше, чем чс„„. Эти рассуждения можно положить в основу формального разложения в ряд теории возмущений по надлюяащим образом выб. раплому малому параметру. С другой стороны, тот факт, что члены, оставленные в уравнении (4Л), описывают понятные и ва»иные явления, иногда лая член тс'(р)р„' является скорее математической помехой, поаааляет предположить, щп уравнение (4Л) Гл. 4.
Урзвнение Бюргерсэ оквжехся полезным для нэчествепного онисзния даже вне области, где оно, строго говоря, применимо. Лпзлогичным обрезом уравнение Гюргерсэ океэывэется полезвыы длн систем высгпего порядка, таких, кек (3.2) †(3.3), в которых отрэжюотся и нелиненное распространение, и диффузия. Конечно, оно применимо лишь в устойчивой области и для тех частей решения, где доминиругот волны низшегс порядке. Соответствующие результеты легко неходятся и обычно подтверждаются (юнее строгими рэссулсдениями. В случае системы (3.2) — (З.З) нз урввления (3.6) следует, что еффентивныи коэффициент диффузии равен те =- ч — (ое — с,)'т, тэк что именна это влечение следует исяользовзть в урэвнении (4.1).
Действительно, урэвнение (З.б) лвляется полностью линезризовзнным урзвнением Бюргерсв для рзссмвтривеемой системы. Теперь паша главная цель — покезвть, что точное решение уравнения Бюргерсз лодтверждзет идеи об ударных золнзх, рвзвитые н гл. 2. Иначе говоря, мы хотим проверитгь по при ч — ь О (в нэдлен;вщем безрззмернам виде) решения уравнения (4.1) сходятся к решенияы урввнення с, + сс„ = О С рэзрывными ударными волнвмн, удовлетворяющими условию (Г =- тт, (сг + сг), с, > П > сп (4.5) и линиями рвзрывов, укеэвнньти в 1 2.8. 4.1. Замена Коула — )топфа Независима друг от друга Коул [П и Хопф Н) получили зэмечетельный результэт, ээключеющийся в том, что уравнение (4Л) можно свести к линейнолгу уравнению теплопроиадности нелинейной эзменан с — -- — 2ч — *.
'г* ч (4.8) Зтв зэлгенз энзлогичне вэйденному ранее Томзсом преобрвэовению урявнений обмене, описанному в 1 3.4. Зто преобрззовение тоже удобно провести в двз зтэпэ. Полшким снвчэлз с = р„; тогдз, проивтегрировзв уравнение (4.1) получим г)а + Н, 'т' = тф„„. Положим теперь ф = — Зт (лы, 4.2. Поведение решения при т — «О откуда (4.7) Такая нелинейная замена полностью исключает нелинейпьш член.
Общее решение уравнения геплопроводности (4.7) хорошо известно, и его можно получить различными способами. Основная задача, рассматривавшаяся в гл. 2, — это задача с начальными условилми с = — Р (х) при С = О. Преобразованием (4.6) ати условия переводятся з следующие начальные условия: гд= — Ф(,) =- р ( — — ~ Р(ц) г)ц~, Г=.О, (4.6) е длн уравнения тылов(юводвости. Решевие р имеет вид 1 4 ) Следовательно, в силу равенства (4.6), для с имеем форл|улу с (х, г)= ,-оягю „ (4.10) 6 (г); х, г) = ~ й (г)') йц'+ е (4.11) 4.2. Поведение решения нри т- Π— = Е(г)) — — =О, до г1 дч (4Л2) Рассмотрим теперь поведение точного ревгения (4ЛО) при т О, причем х, г и Р (х) фиксирояаны. Когда т — ь О, основной вклад в интегралы, входнщне в формулу (4.10), давгг окрестности стационарных точек функции 6, Стационарная точка — зто танал гочка, где Гл.
4. Уравнение Бюргерсэ Пусть ц = $ (и, «) — стационарная точна, т. е. 5 (э, «) определяет ся как решение уравнения Р($) — — -= О. (4.13) Вклад окрестности стационарной точки «) =- 5 в интеграл д (ц) е-огч««««т йт) равен «' (4) 1~ — в~ — е-ы««««т.«. (н ($)( это обычнал формула метода перевала.
Предположим сначала, что сущестеуог толька одна стационарная точна $(э,«), удовлетворяющая уравнению (4.13). Тогда —" е-ь«шт>бц: «," е-жвлт >, (4.14) т «г «лт о«в «г «лт о,««т„ г (с (В( (4.15) и ив равенства («ь(О) получаем с (4Л6) « где ф (х, «) определяетсл ураеигниеы (4.13). Полученное асимпто- тичжкое реп«ение можно переписать следующим обрааом« с= — Р (с), («ы17) э = $+ э' (4) « Ото в точности совпадает с решением уравнения (4.4), приведен- ным в (2.5) — (2.6); стационарная точна 5 (х, «) соответствует характеристической переменной.
Однако мы видим, что при достаточно болыоих эначениях времепи формувы (4 17) в некоторых случаях дают миогоэначвое решение и приходится вводить раэрывгж В то же время решение (4.10) уравнения Нюргерса, очевидно, одноэначно и непрерывно для любого «.
Дело в том, что, когда достигается такая стадии, появляются две стационарные точни, удовлетворяющие уравне- нию (4.13), в необходимо пересьготреть предыдущий анэлив асиь«п- татичесного поведения. Вели обоэначвть эти лве стационарные точки череэ 5ти 5„ причем 5г ) фо то нан от $п так и от йтполу- чатся внлады вида (4.14) и (4.15). Следовательно, главная часть 4.2. Поведение решения при т О решения будет учтена, если ноложить В)д)(жд,)(-ыг -ааодг ! (Л.
(1 1(-ыз -опекам-~-(п (1 11-ыт е-жтенэи  — 1991(с" бйН-";оц вию +)с 11)1 — зсз — ыкиз )х(я Н 1( — ыз — синати ( ' ) Когда 6 (4,) Ф 6 (4з), наличие в экспонентах малого анаменателя ч делает адик иэ членов преобладающиь» при т -ь О. Если 6 (4,) ( (6 ((е), то — Ь с с если же 6(4т))6(сл), то з — ба В каждом иа этих случаев справедливо решение (4.17), тде либо $ = 4м либо $ = $э. Но шабер теперь одношэачек: и $п и $э являются функцияьпз от (с, т), критерий 6 (4Д еу 6 (4,) определяет выбор $т или $, при заданных (х, с).
Переход от 4, к $з происходит в тех точках (х, 1), где 6($) = 6 (бе). В силу (4.11), это инеем место, когда (4.19) Поскольку и 4м и $, удовлетворяют уравнению (4,13), последнее условие можно ааписать в виде — (р((с) +Е((т)) Я вЂ” $с)= ~ Р(ц') "ц'. (4.20) 1* Зто в точности совпадает с уравнением (2.45) вля определения раврыва. Изменение выбора членов н (4.18) приводит в пределе ч О к разрыву функции с(х, т). Все остальные утверждения 4 2.8 монзно подтвердить аналогичным образам. Таким образом, мы приходим к выводу, что решения ураэнения Бюргерса при ч — ь О переходят в решения уравнения (4.4) с разрывами (4.5). В действительности т фиксировано, но сравнительно мало, и следует ожидать, что предельное решение при т О обычно будет хорошем приблнжением.
Поскольку т — раамериан величина, для обоснования этих рассуждений необходимо измерять т в безразмерных единицах, введя ее отношение к катюй-либо друзой величине той же размерности. Зто нетрудно сделать. Наприьсер, Гл. 4. Уравнение Вюргерса в задаче с одиночным горбом, где Г (х) имеет изображенную на рис. 2.9 форму, можно ввести параметр А= ~ (Г(х) — с,)дх.
(4 21) Размерности величин А и т равны А»Т ', так что Л=— А 2» (4.22) является беэраамерным числом, и лп« говорил>, что т мало, если Л >) 1. Если длина горба равна Ь, то число В характеризует отношение нелинейното члена (с — с,) с„ и диффузионному >лену тст о области, где хор втериый лос>втаб по х дол проижодкых расеи б.
(В области ударпой волны, наприлтер, характерны более коротке расстояния.) Следуя принятой в теории вязкой жидноств терминологии, удобно взвывать В числом Рейнольдса. Дая«е после уточнения смысла понятия «л«алое т» осташся различие мюкду предельными решением при т — >-0 и решением прн фиксированном малом т. Как было покааано е (2.29), толщвна ударной волны стремится к бесконечности, если ее икхенсивность стремится к кулю. Следовательно, для фиксированного В, если даже оно сколь угодно велика, любое реп>ение, описьпающее формирование ударной волны или ее затухание при С вЂ” >- сс, не всегда будет хорошо аппроксимироваться раарыаной теорией в зтих областях. «)то касается ебласти формирования ударной волны, точные подробности обычае нестщественяы и достаточно иметь хорошую оценку самой области, еде она обраэуиюя, а не детальный вид профиля, но ато в обеспечивается разрывной теорией.
Вффекты диффузии в ватухающих при с оа ударных волнах более интересны. Мы разберем ати вопросы на характерных примерах в следующих параграфах. 4.3. Структура ударной волны Профиль ударной волны для уравнения (4В) удовлетворяет уравнению — Сох + сох = тсхл Х = х — Ш, откуда Ч, с' — Сс + С = тех. Если с сис, при Х вЂ” л ~ оо, то В=»(«(с>+с»), С=у,слс», 4.4. Одиночный горб и уравнсвие можно переписать как (с — св)(св — с) = — 2тсх.
Решение этого уравнения имеет вид х г — )и —, в в — вв ' что согласуется с (2.25), поскольку с = 2хр + () ювя квадратич- ной функции (1(р). Разрешая полученное равенство отаосвтель- но с, получаем с=с,б С= "+" . (4.23) т+ехр ( ", "( — ов)1) Полол<ив в равенствах (4.10) — (4.11) -=(,', с„х>0, Р (х)::= св ) с„х < Ов где и( -в*- о/(гв в -с'х( М- ввврвм Для фиксированнога хн из интервала с, < х(г < с, величина й — в- 1 при г — в- со н реюение сходится я (4.23).
(4.25) 4.4. Одиночный горб Частное решение в ввше одиночного горба можно получить нри начальном условии Р(х) =с,+Аб(х). (4.26) Параметр А согласуется с 4ормулой (4.21), и часло Рейнольдса составляет Л = А/(2т). Постоянную св, не теряя общности, можно онустнтгч поскольку подстановка с=ос+с, х=цвс+х монвно исследовать диффузию первоначальной ступеньки в стационарный профиль. Решению молвно придать вид 1+В вор( — (в — Щ Г хт Гл. 4. Уравпепие Бгоргерса приводит уравнение Бюргерса к виду сз -~- с с „= тс — „. (4.28) Это исшпочекие се знвивалевтио переходу а систему координат, движущуюся со скоростью сс.
Таким образом, будеы рассматри- вать только случай г (х) = — Аб (л). (4.29) Нижний предел в иптеграле, входящем в формулу (4А1), можво считать произвольным, поскольку правая часть (4.10) от пего ие зависит. Следоватапьио, можно положить его равным +О, включив б-функцию при «) ( 0 и исключив ее лри 0 ) О. Тогда 0 ( — чр О, ' зз ° Ч) ° 6=- , я) — А, 0(0. ы с(л, С)=у~ — Ле-"хж ~>= с *зла в. )/4~ г (4.31) Это фувкция источника длл ураввепия те~лопроводпости с,= = тс „, так что каши ожидания оправдались. Для обсуждевия поведения решения кри больпгвх Л удобно ввести безразмерную переменную з ыг)г2АС и переписать (4.30) Интегралы в числителе дроби (4АО) вычисляются, а интегралы в анаменателе выражаются череа дополнительный ивтеграл ошибок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
