Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Полезно записать уравнения в форне законов сохранения так, чтобм при необходимости мощно было вывести надлежащие условия на разрывах. Для простоты рассьютрим случай я~ярового прямоугольного навала о постоянным уклоном а, а в качестве основных перемени|ах вместо А и д будем кслользовать глубину Ь и среднюю скорость г.
Тогда закон сохранении количества жидкости мткно записать з внле —,", ~ )эйл ! По!' =3. (3.34) Для форяулировки закона сохранония импульса требуется некоторая дополнительная информация. Соответстаузощсе уравнение гидравлики имеет вид д г г! — ! )юдт+ (Ьгз)''-(-~ —,Ьlдгозгх1 = ) дй з)найс — ) С!езда,. ю~ (3.35) С точностью до общих множгпелей р„(постоянная плонюсгь воды) и Ь (я|ирина канала), ка которые мы сократили, нять членов этого уравнения соответственна обозначают: !) скорость возрастания нмнульса на участке х, < з ( ло 2) суммарный перенос импульса через сечения х, и г, 3) сумыарную полну~о силу давления, дейстаующузо на сечения х, и з, 4) составлязэщую силы тяжести вдоль уклона и 5) силу трения о дно.
Рассмотрим подробнее член, озтисывакщий дазлеяие. В гидравлике алаи< имость скорости от координаты д, нормальной ко дяу, исклктчается усреднением, так что о =-. г (з, !), и ускорением жидкости вдоль д пренебрегают. Последлее предноложение оаначаиг, что давление удовлетворяет гидростатическому аакону дв — = — — рэд соз оь ду Отсюда Р Рс=(Ь д)ред'ьозы и лолный вклад возьгущеяня давления, нроинтегрщюванного по поперечному сечению реки, равен Ь) (р — р„) г)д= — Пздзр,дбсозсг; з последнее выражение и определяет третий член в (3.35).
Уравнения (3.34) и (3.35) представляют собой два закона сохранения для Ь и о. Если Ь и о нредкодагаются непрерывно днффе- Гл. 3. Коннретнь!е аадачи ренцируемыыи, то можно перейти н пределу зг — з, -ь О и полу- чить уравненил в частных провзводных для Ь и с. Для упрощения получающихся выражений обоаначим д' =- д созе и уклон Я = тда. Тогда уравнения для Ь н з примут ввд Ь!+ (Ье)„= О, (3.36) (Ьс), -!- (доз+ !(,63!з)„= у ЬВ Используя первое уравнение для упрощения второго, получщ! эквивалентную систему Ь, -(- сЬ„-~-Ь зч = О, ьз (3.3!) с,-(- з„+д'Ьь=а'3 — С,— '.
а" В приближении нннематических волн пренебрегают левой частью второго уравнения (3.37), что дает Ь,+(Ь )„=О, =(Я)" Ь* . (3.38) В атой кппеыатвчеекой теории на раарыве дол>нио выполняться условие (! = — ' чта,— т,а, — ь, '!ч (3.39) устой»имел!а! хат Чиеся волны С,— 'й =д'3.
аа = (3.40) Полагая з = ос+ й, Ь = Ьз (- Ч я пренебрегая всеми членами, кроме членов первого порядка по ю и Ч, получаем Ч!-гоатм+Ь,а' =О, юг+ ззн'ь ф 0'Ч„+ Д'Я ( — — ) ч ге аз Исключив и!, приходим к уравнению для Ч (з -(-'се~ )( !!+с а )Ч+ — ( тг+сез )Ч=О, (3.4() Выясним тепергч что следует из наличия дополяительпых членов в (3.37]. Для простоты будем считать Я и Ст постоянными. Кан и в задаче о потоке транспорта, расс»отрнм сначала линеарнзованную форму уравнений для малых возмущений стационарного состоянии о = са, Ь =.= Ьр, где 3.2. Паводковые волны где с+=со+)Г у')оо, с = оо — )' б Ао со= Зом2.
(3.42) Уравнение (3.41) имеет такой шо нид, как и рассыотренное выше уравненне (3.9], с соответствующим изыенением вырашений для се и с . Следовательно, условие устойчивости имеет ввд с-( со (со~ (3.43) ати ше неравенства нвллются криторием того, что в приближении (3.44) не нарушается условие на характерпстиив. Уравяение (3.44) является, конечно, линеаризацией уравнении (3.38).
Используя (3.42), условие устойчивости мошно записать в виде оо(2 Ргб')Ч, илп — с Учетои (3 40) — в видо Я ( 4Св Для рек оо обычно значительно меньше, чем' )/у'йо, во для водослнвов платин и друтих искусственных водоводов о, часто превосходит огу критнческута величину. Резуаьтируалцнй ноток не Рло. 3.7. Еатяынеся волны. обязательно нвляется полностью хаотическим и лишенпыи какой- либо структуры.
При благоприятных условиях он принимает вид «катящихся волн», необращенных на рис. 3.7 и образованных периодическими раарывиьпш бораыи, рааделенными гладкими профилями. Первые данные наблюдений и фотографии атога явлс нин были получены Корнишеы в 1905 г. и прекрасно описаны в классической книге Корниш И), суммирующей его наблюдения аа волнами на песке и на ваде. Наиболее характерные данные относятся к калюнноыу водоводу в Лльпах (Грюнбах, Мерлпген) с уклонои 1 к 14. В случае когда средняя глубина составлнла приблизятельно 3 дюйма «), средняя скорость течения оценивалась ') Один дюаы рмм» примерно 2,аа см. — турко.
о р !'л. 3. Конкретные аадачи в 10 футов в секунду, а вся картина катящихся води двигалась вниз со средней сноростью 13,5 футов в секунду. Для этих данных число гйрудаее)2гб'Ье равняется 5,6, что значительно превосходит крятичесиоо значение 2. Эти результаты дают также В/Сг = !2,5 и приводят к Ст ш 0,006. Дткеффрис (1! ввел в рассмотрение условие неустойчивастги и отыетил, гго для гладких дементных каналов (в которых он проводил экспергтметны) козффтщиевт трении Сг кс 0,0025.
Зто значение для Сг согласуется с общепринятым. Для такого коэффициента трения одпородныв поток долгяеп становиться неустой швым, когда уклон Я презосходтп 1 к 100. Дгксффрис пришел к выводу, что его экспервмовша по зозбукденшо катящихся волн неубедительны, и считал, что требовачись более ддипные каналы с уклонаыв, зза ппельно превосходящими 1 к 100. Значительно поэяге Дрессзер (1] вернулся в этой задаче и показал, как построить нслипейгкые ретпеиия уравнения (3.36) с подходящими условиями на разрыве, описываюгдие катящиеся волны.
Подробвости будут указаны пшке после рассмотрения вопроса о стационарном волновом профиле в устойчивом случае. Мококлкяпльн я яаводкоеая волна Структура ударных волн, возникающнх в кивеыатичшкои теории (формулы (3.38) и (3.30)), особенно важна в задаче о паводкоеьш волнах, поскольку в действительности ударная волна имеет толщину порвчка 50 миль! Как обычно, лля ее определения необ ходиыо найти решенин со стациояарньппт профиллми в более подробном описании, которое в даяпом случае обеспечизаетсп уравнениями (3.37).
Будем искать решения, для которых Ь=-Ь(Х), г=-е(Х), Х=.х — Сс. Тогда уравнения (3.37) принимают вид ш, ле гт (е — В) — + у' — = 6'Я вЂ” С!в лх лх А (3.45) Ь ( — е) = В, (3.46) где уравнение (3.46) получено интегрированием уравнения норазрывпости, а  — постоянная интегрирования. Однородные состояния (Ьг, ог) при Х вЂ” — ео н (Ь, ь ) при Х =- — оо удовлетварякп равенствам д' — С, — "' = д' — С, — "' = 0, а~ ' аа Ь, ( —,) .= )Ь (С вЂ” нВ = В. Выразив все характеризующие поток постоянные через Ь, и Ью 3лд Паводновые волны получим (3.47) знак этого выражения зависит от того, каное из неравенств П = с+ у' ~'Ь справедливо. (Из (3.46) следует, что В ) О, откуда, в силу (3.46), (7) о, так что (7 всегда больше, чем о — )' дйа) Когда Ьз -е Ьн ив (3.49) следует, что 3 эх'л ъит 3 П вЂ”,( — ) з(сг! 2 В устойчивом случае э/э гт ( о + )/ бйт, поэтоыу в случае слабых волн для интегральной кривой уравнения (3.51) при й =- йо Х = оо знаменатель в (3.51) отрицателен.
В соответствии с атим Ах ) О, Ь возрастает, б'Аэ — Вэ остается положительным и палу- = — 6'Ат „с* ,= —,6'Й „ Последнее нз этих равенств в точности совпадает с условием па разрыве в кинематичсской теории — с равенством (3.36). Вто естественно, п следует ожидать, что решения уравнений (3.45) и (3.46) будут онисмеап структуру таиих шшонатпческнх ударных волк. После нсялточения е из уравнение (3.45) и (3.46) уравнение тшя й (Х) принимает вид нэ ( — сцтг,— гьш кх гъ .-яз Поскольку числитель должен обращаться з нуль при д = —. йт и й = — йм ати величины должны быть корнями ьубического уравнения. Тогда трехий корень равен с, нт а,!м с'эр т (с',ы-р л'„'")' ' Поскольку П ( йн Ьэ и решение й приникает значения в интервале между Ь, и !гы в рассматриваемом решонты этот третий корень й -.
Н никогда пе реалиауется. Теперь уравнение (3.50) можно переписать в виде и 3 !ае — а1 (ь — а,) (Ь вЂ” ы) 3.51 ~!х эз — 1п,г' ( о) и поведение решенвя определяется вкакоы знаменателя Йа — Не)у' и соответствующим возлюжпым пза~енеттттем этош знака ка профиле.
В силу равенства (3.46), имеем , ),э Вт, йэ (гт г)эйэ ),э (, й ((7 е)е)! Гд. 3. Конкретные аадачи чается гладкий профиль, изображенный на рис. 3.8. Это так называемая мононлинальпав паводковая волна. Тот факт, что длл етого профиля необходимо условие Аа ) Ьы соглаауетсн с тенденцией к опрокндыванию кинематнческих волн, поскольяу в данной задаче с' (А) ) О.
Гладкив профиль такого тяпа может Рон 3.8. Структура ноноа|шзальеой вазодковоа волны. сущеотвоватто когда скорость распространения ударной волны лежит в интервале '!то! <(' <о~ г1' р )й (3.52) Учнюевая равенства (3.47) и (3.49),легко поназатго что зто эквивалентно выполнению неравенств т 1-Р(т.уе(у Сг)мт)нт Однако неравенства (3.52) болыое отвечают существу дела в <илу физической интерпретации сноростей. Ударная волна распростра- Рвс. З.о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
