Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Соотношение (2.45) принимает внд (Ь вЂ” 5) юп — ", 6 + ю) со ~ (Ь вЂ” $ ) = = — шп — ((» — бт) в!в (бе+а ), =Х. я и я Х х Гл. 2. Волны и уравненияУпервого порядка и едннствшпюе подходящее решение — зто тривиальное решение юв "-(Вел+ — ') = О, т. е. 4 с+ й = Л. Вычитая и складывая равенства (2.46) и (2.47), получаем 4с — 5с 2сзш ((л/Л> (Лт — 4Д ' Л с =се/+в 2 соо~ветственно, Изменение с на разрыве равно Хтбс ° 2лгс 2 ° л с, -с, = а юв —.— а жп = = 2а чл — фс — 2з).
Л Л. " Л Полшким 2Я 4с — йс= —, ~с+йс=Л; тогда Л О 1= — —. Пмеао' Л с=с,г+ —, 2 ' (2.55) сс сс 2е — = — в1л 8. се се Разрыв имеет постояняую скорость сс, и втот ревультат можно было бы получить заранее ив симметрпи задачи. Разрыв ивчннавгся тл 2 Л 2 Рис. 2.15.
Асимлтотичесиея йорма вериодитесиов волин. о нулевой велвчилы, соответствующей 8 = О, в момент 1 = х/(2ла). Он достигает максшсальнсго значения 2а/се при 8 = л/2, = /./(4а) и, наконец, затухает при 8-т л, 1-т оо, сс — ст 1 се ссс ' 67 2.8. 11остроение разрывов; квадратичная (/ (р) Интересно, что зта асимнтотическая формула не содержит амплитуду а з явном виде. Однако она применима лишь при условии г ~) с/а.
Для любой периодической функции Р (2), синусоидальной или нет, $» — 6» — ея Р, при 1 оо; отсюда, в силу р (2.49), р, '» — '> Р (Рй — Р Ей р„ сс з сз» ' Между двумя соседнимн разры- а вами решение для с является линейной по з функцией с наклоном 1/г, как и раньше, и р асимптотическийпрофильимеет пилообразную форму; см. рис.
2.16. Сяаян»>е разрмзаа Если возникло несколько Ь г удар>п»х волн, то, вообще говоря, одна из них может догнать идущую впереди. В етом Г случае они объединяются и продолжают двигаться как еКияая р» ударная волна. Данныйпроцесс так>не описывается нашим раз- р>' рывным решением. Рассмотрим кривун> Р на рис. 2.16. Вовшпгли два разрь>ва, соотве»ст- а вующие точкам перегиба Р и () ссемействамв хорд,отсекаю Рвс. 2.1С. Пестр»евкеслеззющехсв разрывов. равные площади, таких, как Р,Р, и (~фг Со временем точки (), и Р, сближаются,пока, наконец,не наступает момент, изображенный иа рис. 2.16, Ь, когда общая хорда отсекает от обоих горбов ооласти с равными площадвми.
В зтот момент характеристики, соответствующие точкам Р; и ();, совпадагст и, следовательно, разрывы сливзютсяб в один, как зто пояааано на (з, г)- диаграмме (рис. 2.17). Все характеристики, проходящие между (/, и Р;, теперь поглощены тем или другим разрывом; дюпаться продолжает единый разрыв, определяемый хордами вила Р';(>; (рис. 2.16, с). рдя которых принимаются в расчет только сул,карнмз площади, лежащие выюе хорды и виже еа. Гл. 2. Волны и уравнения первого порядка з 4'з Рз р, дзрз», х Рас.
тнт. (, г)-дзагрыпы юж слзззющзхся разрывов, ззобрзженанх ва рас. В.щ. 2.9. Построение разрывов; произвольная ф)ппсннн 1,)(р) В случае произвольной зависимости д от р можно вывести аналитические формулы, опредегяющие разрыв и аналогИчные равенствам (2.45) — (2.47). Усложнение связано с нелинейностью зависвмости с от р, в силу чего построение, прнведонное на рис.
2.8, справедливо дая р, но не для с. Следовательно,приходятся работать с р. Но если в етом случае построить (р, х)-кривые, такие же, как на рис. 2нб то липин разрыва не перейдут в пряыолинейпые хорды, поскольку сдвиг будет пропорционален с, а не р. Позтому отображение яа начальный профиль не дает каких-либо преимугцеств. Однако можно поступить следующим образом.
Введем функцию 4 (р), обратную функции Р =! (4) а тааже функцию Х (р, 1), обратную мвогоавачному рещеиию р =- р (х, 1). Иначе говоря, мы фиксируем некоторое конкретное значение р и отметим его координату Х (р,с) в данный момент .н его координату 4 (р) в начальный момент. Из уравнения харак- 59 2.9. Построение разрывов; произвольная () (р) теристик имеем х (щ О = с (Р) 1-р $ (Р). (2.57) Рассмотриы разрыв в точке з (С] и ооозначим черев р, и р, вначе- ния р перед раарыво»» и за ним соответственко. Построение рав- ных площадей па рис. 2.8 можно записать соотношением ю ) Х(Р, С)бр=(Р— Р.)»(1)- »» (Это верно в любом из слу гаев с' (р) =-: О. Мы всегда обозначаем через р, аначенне перед раарывом, а через с — значение за рав- рывом.
Коли с' (р) ) О, го р, ) р; если с (р) ( О, то р, ( р,.) Отсюда, в силу (2.57), ) (с (Р) 1 р д (Р))»(Р = (Р» — Р») з (Ор Поскольку с(Р) =.()'(Р), зто равенства принимает вид Р» (д, — д ) с — (р, — р)» (е) = — ~ В(р) бр. »» Интегрируя выражение справа по частям, получаем Ъ вЂ” Р»5»+Р ш+ ) р(5) в. 11озожение раврыва з (с) определяется ураинениямп »(1) = $»+се, » (1) =- 6, + с,с; (2.59) можно разрешить их относительно з (С) и 1 в подставить полученные результаты в равенство (2.58). Окончатаьвно (2.58) примет вид »» ((д.— Ъ) — ОИ.— Р с.)) — = ~ Р бы 1» — 1» (2.60) »» — »» Е» где р, д и с вычисляются как функции от 6 по формулам Р =-((6). д = 0(((Ю), ° = 0'(((5)), (2.6() а индексы обозначают аначения соответствующих величин пря д = ь» и 6 = с».
(Это несколько проще, чем ишгользовать 7 (с) вместо р, р Д) в»»»сто с и ввести новый символ для д вак функции от $.) Уравиения (2.59) и (2.60) дают три соотношения, определяющие» (1), $» (1) и 6» (С). Непосредственным диффе- Гл. 2. Волны и уравяения первого порядка ренцирозанием снова можно проверить, что выполняетсл условие на разрыве 3= чз — ч! Рз — Р~ Вслн д — квадратичная функция от р, то легко проверить,что уравнение (2.60) сводится к уравнению (2А5). Случаи, подобные одиночному горбу и Ачволне, наследуются так яте, как и ранее, причем получаются качественно аналогичные результаты. Асимптотические формула| (2.51), (2.52) и (2.53) остаются оправе/п~квыми, но принимается с А=с (ра) ~(р-рс)35 Ъ и аналосичное выражение для В.
Формулы для р зюжно вывести из соответствующих равенств дли с, поскольку в асвмптотическом пределе возмущевне мало к р — рз = (с — сз)/с'(р,) с зточностыо до членов первого порядка 2ДО. Замечание о лннеариэованцой теории Когда возмущения малы, нелинейные уравнения часто лннеаризуются аа счет пренебрежения всеми членами порядка выше первото по степеням возмущения. Для слабтзх возмущений с (с — с,)/ср((1 уравнение с, + сс„= О после линеаризации переходит в с,)-)- с,с„= О. Как уясе было указано выше, решение этого урвввет~ия имеет вяд с — сз = / (в — срс).
Эффект опрокидывания и обравовапие разрывов полностью отсутствую, однако, как показтзвают рис. 2Л1, 2.13, и 2Л5, для достаточно больших аначевий времени, зти эффекты становятся определяющими, слать бы слабым ки было начальное возкрлр.мис. Ив сравнения этих реаультатов следует, что линеариэованноо приближение нз может быть равномерным при 1 — ь со. Это моисио установить инепесредствеяно,считая, что линейная теория учитывает только первые члены формальных разложений по степеням малого параметра. Пусть з характеризует наибольшее начальное значение вовмущеяия (с — сз)/см и пусть решение ищется в виде с=се+ась(х, С)+ззсз(х, С)+.... х.10. Замечание о линеаривованной теории Подставив его рааложение в уравнение с, + сс„ = 0 и приравняв нулю коеффициенты при е", получим цепочку уравненгш, начинающуюся уравнениями сг, + с,сг„= О, се~+ сгст = — — ос „, саг -( сгсэ* = — сост — сгсэк Зги уравнения легко репаются последовательно, поснольку на каждом шаге имеем уравнеяие вида фг + сеи =- Ф (х, где Ф вЂ” функции, найденнаяб на предыдущем шаго.
Введя характеристическую координату у = с — сэс, последнее уравнение можно записать так: ( — ) —.— Ф (у + саг, 1); следовательно, гр= ~ (Ь(у+сад г) бт+Чг(у) э Для с можно принять начальное)условие с с +эР(х) при Г=О И положить с,=Р(х), с„=О (п~(]э„прис=О. В этом случае дополнительные функции Ч' (у) равны нулю для ре- шений с„, и ~ 1. Первые три функции с„имеют вид(р с,=р (у), с»= — ГР(у)Р'(у), .,= — ' '(РР). э Ясно, что в общем случае с„содержит член вида 1 тК„(у). Следовательно, последовательные члены предполагаемого рида для с имеют порядок е"Гч г и ряп не ьгогкет сходиться равномерно при С се. Недостаток линоариэованной теории, отчетливо проявляющийся при нахшкдениичлеяоваыоших порядков, эаключается в том, что она аппроксимирует характеристики семейством примых х — асс=- соаэг. Неаначнтельные отклонения истинных характеристик друг от друга приводят к большим смещениям при 1 — ь со.
Правильное решение можно ааписать в виде телескопической 62 Ггь 2. Волны н уравнения первого порядка с =се+ сР(х — сс) = = с, + аР (х — (се + сРУ) н т. д. Испольауяформальноерааложеннев ряд Теплора, можно теперь получать равложенне решения в ряд по степеням возмущения. 2.И. Задача с краевым условием; распространение сигнала Мы подробно исследовали решенне еадачн Копи. Другие граничные аадачн репгаются аналогнчнымобрааом. Иа уравненнй (2.4) ясно, что решение определено, есля аначоння р заданы на какой- либо кривой, пересекающей каждую характеристику один раа. Рас. 2.18. Характорастаая а аачааьные данные. Такие граничные впачення дают начальные условия, необходямыс вчя натегрнровання уравнений (2.4) вдоль характернстнн. Проведя такое интегрирование враль каждой характернстннн, пересекающейся с эаданной граничной кривой, а прннднпе могкно постронть решеняе во всей области, покрываемой отняв характернстнкамн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
