Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Если граначная кривая пересекает некоторые характернстпкн дважды, как, напрнмер, врывая АВС на рнс. 2.18, то начальные данные следует аадавать только на дуге АВ нлн ВС; в протявном случае интегрирование, начннающееся, скажем, ва дате АВ, прнведет к противоречию с даннымн на дуге ВС. Трудяость заключается в том, что характеристики аавнсят от решения, н, вообще говоря, аарвнее нельзя нн найти область, покрываемую характернстнкав~и, нн проверить непротиворечивость краевых условий.
2.И. Задача с краевым условием Типичной граничной аадачей является так наапваемая вадача о распространении сигнала, для которой р=-ра при а>О, с=.О, рб й(С) при С>О, л=О, и решение ищется в области х > О, с > О. Конечно, такая задача воввикает только в случае с = О' (р) > О.
На рис. 2ЛО построена 366 Рас. 2ЛЕ. (а, Г)ошагракма Вва авдачв о расврсс*раиеввв свпива. соотвежтвующая (г, Г)мпгаграыма. Характеристики начвнагатгя ни положительной полуоси а и ва положительвой полуоси а Длн харавтеристнк, начинающихся на оси х, имеем р = р, с =- ==. с (ра) = с„; повтому они представляют собой прямые а— — сК =. солей Отсюда следует, что р=ра, с=.с прил>сса Обратимся к характеристикаы, начинающиьюя на осн и предположиы, что какая-либо нв нит начинается в точке с =. т; тогда р -- б(г), (2.63) х = С (т) (à — т), где О (т) —.
с (б (т]). Приведенные равенства неявно определяют решение чарва т (х, С). Это решение можно связать с решением аадечн Коши двумя способами. Первый паник основан на том,что рассматриваемое ранение совпадает с решениеы вадачи Коши, если Б =- — тО (т), 1 6) = а (т), Р (ф) = 6 (т). (2.64) Это соответствует продолжению характеристик через точки с =- т, я = О до оси а и обовиачениго точек пересечении через г == $.
Прп атом вадача о распространении сигнала формулируеюя как вадача Коган. Другой способ состоит а том, что переменные а и й а также 64 Гл. 2. Волны и уравнения первого порядка д и р меняются ролями >)) при этом в формулах вместо Ид)>др = с появится >(рйд .—.- Нс. Каждую область многозначности в решении (2.63) следует заменить разрывом. Если С (-)-О) ~ с, такал область вовкикает мгновенно, поскольку первая характеристика х .= >0 ( ч О) возмущенной области находится впереди последней характеристики л = с,гиевозмущенной области. В етом случае разрыв ненулевой величины возникает в начале координат. Параметры раарыва можно определить при помощи соответствующей задачи Коши или используя описанные выше способы,нлп независимым образол>.
Если характеристики т, (г) и тз (г) пересекаются на разрыве в момент времеяи с, то ив (2.63) получаем з (0 = (г — т,)с, с, = 0(т>), (2.65) з (г) = (г — тз) сз, с = 0 (тз). и формула, соответствующая формуле (2.60), имеет вид ((д, — р,с,) с> — (д, — р>с,) сз) ' ' = — ~ д ( с) >)т. (2.66) з — с> Уравнения (2.65) и (2. 66) дают три условна, определяющие функции .с, (г), тз (г) н з (г). Наиболее важея случай, когда передний раарыв образуется в начале координат (т. е. когда 6 (+О) ) сз) м перемещается в невозмущенную область.
В етом случае р = рз, с, = см д, = дз и из равенств (2.65) и (2.66) можно исключить величину тг Опуская индекс 2, запишем условие (2.66) на разрыве в виде (07 — др) — (р — ре) с) (С вЂ” т)= — ) (д (т ) — >)р) Ис'. (2.67) о Здесь р, д и с — функции т, определяемые равенствами р = у (г), д =- (> (б (т)), с = 0' (у (г)); все ати функции свяааны между собой пзвестным образом, и если одна ив них задана как функция от т, то для других почучаются явные выражения. Уравнения (2.63) определяют решение в вовмущенной области за разрывом; равелство (2.67) определяет величину т (Г) в точке разрыва; подставив зту величину в уравнения (2.63), найдем как местонахо>кдение разрыва, так и значение р сразу за ним.
В начале движения разрыва значение т (г) в (2.67) мало и Ид> — де) — (Р> — Рз)щ) (г — 'г) = — (д> — до) т + 0 (тт) >) В атон случае >начальные язввые» н» прямой з =О врк >щ О нрвнимзмт внд р(О, 0 = р>.— >три . р д. 2.1(. Задача с краевым условием 65 где р„д, и с, — начальные значения при х = О, т. е. р, =- д (фб) и т. д. Следовательно, т= (( — д' а" ~ 1+0(Е). Из (2.63) находим точку разрыва и выражение з (2.63), определяющее положекяе точки разрыва, переходят в х с,г д с'(Р,)(Р— р,) 1.
Следовательно, в точке разрыва 1 ЗА 2А Р— Р,—, а(Ра) а 1 а 1 х - с,г+)l 2АС, где А = с' (Ра) )1 (д — да) Ат. В области аа разрывом с- —, са(<х<са(+)Т2А(, (а — а) 1 х — ааа Р Ра а дв) ' (Ра) (2.69) Эти результаты очень похожи на аналогичные результаты для аадачн Коши. Таким же образом можно научить и другие случаи. Если зв положительной фазой следует отрицательная фаня, то существует = (1 — ) с, -)- О ((а) = '*' " 1 + О ((а). р" — са Раауыв начинает Двшкение со скоРостью (да — д„)/(Ра — Ра); этот результат можно получить и непосредственно из условия на разрьаве.
если д (т) остзегся постоянной и равна ро то ато верно для всех 1 н решение имеет разрыв, распространяющийсн с постоякной скоростью и разделяющий дае одяородвые области с р = р в Р=ра" Если д (т) переходит в ра, то разрыв неизбежно исчезает. Для единствеваой ново)кнтельвой фазы д (с), пеуеходащсй в Ра пРи т = Т, асимптотическое поведение списывается соотношением (2.67)при т -ь Т, 1 со, р — ь ра.
В атом пределе (2.67)принимает ввп Гл. 2. Волны и уравнения перво>о порядка второй раарыв, асимптотическое поведение которого описывается соотношениями (2.68), где А заменено иа соответствующий интеграл по отрицательной фазе и должным обравом камеиены злаки. В пределе пол>ма ется Л'-волна, описываемая соотношениями (2. 69), нра>шлженными вплоть до второго разрыва.
2.ай2.Более общие кванилинейные уравнения Общее квааивинейное уравнение первого порядка линейно по р> и р„, но может содержать спободный член. Козффицленты прн ро р„и свободный член матус быть произвольными функциями переменных р, х и Ь Гели коэффициент при р, отличен от куля, то уравнение можно разделить на атот коэффициент и ванисать в виде (2.70) р, + ср = Ь, где Ь и с — функции переменных р,х и с. Решение такато уравнения опять >южно свести к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений вдоль характеристик, представив (2.70) в виде (2.71) — Ь (р, х, с), — „= с (р, х, с).
и В частности, задача с начальными условиями р=-/(х), с=О решаетсв интегрированием системы двух обыкновенных диффе- ренциальных уравнений (2.7$) с начальшэми условиями р=)(с) к=э при>=0. Как<дому значению'ь сопоставляются характеристя а, в дящая нз точки к= 5, и значение р иа ней.
Решение во всей области получается варьированием параметра $. Когда Ь Ф О, величина р эе является постоянной вдоль характеристнки и в общем случае характеристини ве являются прямыми. Но метод решения по су>цеству остается тем >ке самым. Волны снова иотут опрокидываться, а характеристики в (х, 0-плоскости накладыватыя одна на другую. Снова можно устранить многозначность решения, введя соответствуюп>ие разрывы. Существует несколько интересных случаев, связанных с опрокидыванием, и здесь мы рассмотрим два(ив>'них.
2.12. Волее общие квазиликейиые уравнения Затухающие еолны В качестве первого примера рассмотрим случай с,( сс„-) ас =О (2.72) где о — положительная постаяпвая. Звпшлем это уравнение в характеристическом виде ас л — = — ас, — =с. ш ' с! Есля рассматривать задачу Коп!в, *о первое уравневие можно проиитегркроввть: с = е-' 7' Я). (2.74) Тогда второе уравнение принимает вид — = е-")(5), причем х = 5 при ! .— — О. Иитегрируя, получаем с- ! х=-. ф+ /!5!, (2.75) Нелинейность приводят к тгшичиому искажению профиля волны, ва одновременно волив ватухает иэ-за наличия в уравнении свободяаго члена.
Рассмотрим теперь вопрос об опрокидываияи. Его проще всего исоледовать, выяснив, су!явствует ли огибающаи характеристи. ческях кривых (2.75). 1'акая огибающая удовлетворяет уравиевию полученному дифферевцирааавием (2.75) по яараметру 0=1+' Р (5). !)аскальку а ) О, ! ) О, это равевство может вьшолвятьсятогда и только тогда, когда 7'(5) (— (2.77) Таким обрааом, опрокидывание происходит в том и только том случае, когда начальвый профиль имеет достаточно болыпую отрвцатевьиую кругизву; если >ке волив сжатия ведостаточяо крута, та затухание мон<ет предотвратить опрокидывание.
Хотя соответствующие уравиевия сложнее, чем только что рассмотренные (см. гл. 3), иеравеиства такого тяпа определяют, окая!ется ли приливвая волна, распространяющаяся вверх по реке, достаточно мащвой для опрокидывания и образования боры иля трение возьмет верх. В большияатве рек доыивируют эффекты трения. Однако некоторые внамевитые реки, иа «отарых абразуется борз, имеют в устье приливные волны (дополнительво Гл. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
