Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Аяалогнчнььм примером, предложенным и пцательпо изученныы Наем !1), является движение ледника. Моя~это ожидать, что скорость дви;кения воарастает с ростом толщинм льда, и рааумио предположить, что между этими величипаив существует функциональная зависивюсть.
В хроматографии и других процессах обмена,изучаемьы в тимкчесноя технологвн, также возникает подобная теория. Ова формулируется несколько сложнее. Пропесс ааключаетсл в там, что жидкость, несущая растворенные вещества кли частицы, или ионы, протекает через неподвижную твердую фазу и переносимый материал частично адсорбируется этой твердой фазой. Идеализируя этот процесс, принимают,что течение ягидкоств происходит с постоянной скоростью 1'. Тогда если р, — плотность материала, пергносиьюго жидкостью, а р, — плотность адсорбированного веществ», то Р=рг гр д=)йп Поэтому закон сохранения (2.11) имеет вкд д — (РГ -Г Р.) (- — ((гРГ) — - б.
Второе соотношение касается скорости адсорбции. Уравнение обмена вида — '= )ц (А — ра) Рà — йлт ( — РГ), дР ш очевидно, является простейгпкьг уравнением, обладагощим требуемыми свойствами. Первый член описывает адсорбцию са скоростью, пропорциаяальной количеству вещества в жидиости и ограничеяной количеством уже адсорбированного выцества вплоть до насыщения А.
Второй член описывает обратный переход. (В некоторых процессах второй член просто пропорционален рд этим случаям отвечает предел В-» со, йзВ конечно.) В равновесном состоянии выра>кение в правой части этого уравнения обращается Гл. 2. Волны и уравнения первого порядка в нуль, тан что р, является известной фуякцией от рп В медленно иэьгеняющится условиях при сравнительно больших скоростят реакции йг и й» а первом приближении все еще можно считать, что ато вырал<ение равно нулю (*квазнравновесное состоягшеэ) так что а ог ры= А атв) ~аг — г,) гг Таким образом, р, — функция рг) следовательно, й — функция р.
Когда обмен становится быстрым, а имевво перед опрокидыванием, членом дрвдс в уравнении обмена уже нельая вренебрегагь. В качестве примера другого рода в эту общую схему можво включить понятие групповой скорости. Каи было у;не унааазо в связи с формулой (1.26), для линейных диспергиругощих волн существугот осциллирщощие решении с токальным волновым числом й (х, г) и локальной частотой ы (х, г). В этом случае )г — плотность волн, т. е. чисво волновых гребней на едвиицу длины, а ы— расход, т.
о. число волновых гребней, проходящих череа точку х аа единицу времена. Если предположитгь что число волновых гребней в процессе распространения сохраняется, ю имеем диффоренциальное уравнение сохравевия да аа — + — О. дг дг Кроые того, й и ы угне связаны дисперсионным соотношением ю = ы (Уг), откуда аг , аа — -)-ы'(л) — = О. ж дх Таким образом получено аочноаое уравнение для распространения яамелений локального волнового чпсла в аолгювол~пакете, и скоростью этого распространенил является г(ыйй, т. е. групповая сиорость.
Эти идеи буду* рассмотревы со всей полнотой при последующем изучении диспергирующ~гх волн. В перечисленных здесь волновых аадачах исходят из уравнения сохранения (2.11), и поатому используется термин ликслажичеслпс солям (Лаитхилл и Уиаем (1)) а отличие от обычных звувовых и упрутих волн, которые существевно ааеисят от того, каким образом из законов динаивки определяется ускорение. Восле этого обозрения некоторых фюических аалач вернемся к изучению опрокидывания и ударных волн с целью аавершенил теории.
Волее подробно эти физические задачи будут рассматриваться,в гл. 3. 2.3. Ударные волны 2.3. Ударные волны Когда наступает опрокидывание, возникает вопрос о справедли- воопг предположения д .=- () (р) (формула (2.12)), а также предпо- ложенна о сутцестаовании производных функпий р н д, влодпщит в уравнение (2.И). По считал, что предположение о непрерывно- сти спрааедлгжо, мы все еще настаиваем на выполнении закона сохранения (2.10]. рассмотрим сначала математический вопрос а допустнмости раарывов. Что касается уравнении (2.10), то оио не противоречит наличию разрывов первого рода функций р и д: все вгзражекил в (2.10) при отом сохранпют смысл. Наклацывает ли уравнение (2.10) какие-лиГю ограничения) Длн того чтобы ответить аа этот вопрос, предположим наличие рааръжа при х = «(!) и выберем х, и х так, что т, > т (!) > т,.
Предположим, что р и д и нл пер- вые производные непрерь1нны при х, > х > з (!) и при з (!) > > х)~„а прн х — ь з (!) имеют конечные пределы сверлу и снизу Тогда уравнение (2.10) можно перенисать следу!ощип образом. щ д (т„!) — д (хь !) =- — ) р (т, !) да+ — ~ р (х, С) !)х= З Г а г о! йп =р(з", !)з — р(з', !)з.(- ~ р,(х, !) гЬ+ ) р,(х, !) г)х, *(о где р (з, !), р (з', 0 — лродатьгггзе звачения р (х, !) прн х -ь з (!) скиау п сверху соответственны, а з = Ъ(г)!. Поскольку р, ограни- чена в каждом иа жгтервалов, то при х, з', х з интегралы стремятся к нулго.
Следовательно, д (з, !] — д (з', 0 =- (р (ж, 0 — р (., !)) з. Условимсл обозначать индексом 1 величины перед раарывов! и иадексом 2 за пкк. Тогда, если П вЂ” скорость распространения разрыва, т. е, з, то дз д! = П (рз 01).
(2.10) — — П( л д! д — ( д (2.17) Это условие ио'као также переписать в виде — П (,) + (д) = 0, (2.16) где скобки обозначают скачок данной величины. В этой форме ясно видно соответствие между полу генным условггем на линии разрыва и днфференциалы~ым уравнением (2.И), а именно соот- ветствие Гл. 2. Волны и уравнения первого порядка Теперь ыы гюжем расширить понятие решения уравнения (2.10) и допустить раарывы укааанного нида. В любой области непрерывности решения уравнение (2.11) останегся справедливым и пред- Р=рт Р Г~ Р'=Рг д=дг=д (рэ д=д -ир, =де=-д(рг) 1'эс.
2.Б. !!еранетры течения дяя аеэжущегсся ряэрые». Рнс. 2.Б. Параметры течено» для яеяеаеяжнспт разрыее. положе!иге (2.12) ыожпо сохранить. Поскольну э области непреРывности д =- О (Р), на стоРовах лтобого Разрыва д, =- чг (Рт) и д =- (1 (р,) и условие (2.15) вюжно переписать так: () дщн дюй Рг Рг Теперь зада ю сводится к введению в решение (2.5), (2.6) разрывов топим обрааом, чтобы выполнялось равенство (2.18) и ве возникали мвогоакачпые решения. В простейгпеы случае имоем Р=ро с=с(РД=сн х)0, ) ~1=0, Р=Рг с=-.с(ре)=сы х(0, где с, ) сг Опрокидывающееся реп!ение приведено нэ рис.
2.3. Теперь мы можем построить однозначное решение в видо разрыва, даня'ущегося со скоростью (2.18): Р=ри х)В1, Р ='Рг, х(бгг, Рл — (ГРг = дг ()Рг откуда и следует (2.15). нан схематичжки представлено на рис. 2.5. Обычным способом вывода условия ва разрыве пвляется рассмотрение этого частного решении в системе отсчета, в ноторой разрыв неподвиксен, нак показано на рис. 2.6. Относительные расходы при этоы равны д, — Грек д — ВР .
Зэков сохранения можно сразу ваписать в виде 37 2хй Структура ударной валлы Прежде чем перайти к общему ыетоду введения разрывов, рассмотрим задачу с другой точки зрения, считая, что дифференциальное уравнение (2.И) справедливо, а соотношение (2.12) на рупгается. 2.4. Структура ударной волны В качестве частвага случае будет названо составить оолее точное описание простого раарывного решения, представленного иа рвс. 2.5, и провести его исследование. Это к являетгя задачей установления «структуры ударной волныя. Во многих аадачах теории кинекатических волн более точное приближение получается при попущении, что д аависит ве только от плотности р, во и от ее градиента р .
Праще всего положыть й = 4) (р) — чр„, (2.19) где г — некоторая постоянная. Для патока транспорта,наприяюр, «южно утверждать, что водители снижают скорость при увелвчеш«и плотности магии» впереди, и ггаоборат. Эти расгуждеяия покавывают, что т следует выбирать положительным, а ниже мы увидим, что знак ъ* кисет важное значение. Нели в некоторых безразмерных переменных, выбранных наш«ежащияг образом, т мало, та (2.12) является хорошим приближениеяг при условии, что значение р„не слишком велико. При опрокидывании р„становится большим и поправочный член начинает играть доминирувицую раль, ш«оль бы малым ни было ъъ Рассмотрим теперь непрерывные решения при такой форыулирошге задачи.
В силу (2.11) и (2.19) они удовлетворя«от уравнению р, + с (р) р„= ър „, с (р) = П'(р). (2.20) Член с (р] р в данаом уравнении приводит к росту крутизнм и «шракидываниьь. Напротив, член тр„„вводит диффуаию, характервуго для уравнения теплопроводности рг = тр„в. Дчя уравнения теплопроводности решение задачи!Рашн с начечь- ной функппей в виде ступеньки р=рм х ° О, ) 1=0 Р=Р«, л(0, 1 имеет вид р=р,+"' "' 1 е-з«йб. 1'ъ 1 Гл. 2. Волны и уравнения первого порядка Оно описывает сглаженную стуоввьку с предельными значениями рг, рэ при л шоо и крутизной, уыеныоающейся, как (тт)-г~э Две противоположные тенденции нелинэшюго раста крутизны и диффузии объединяются уравнением (2.20).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
