Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 3
Текст из файла (страница 3)
9) в оставлением только одного из соыножнтелей. Оставив (1.10) -'г с,р„= 0, получим общее решение р =- ) (л — с,т). (1.11) Это простейшая задача гиперболических волн. Хотя классические задачи приводят к уравнению (1.5), длн многих волновых 1.2. Гвиерболпчсокие волны движений, изученных к настоящему времена, в действвтелькостп волучается уравнение (1.10). В качестве примеров можно указать паводковые волны, волны в ледниках и волвы в потоках транспорта, а также некоторые волновые явления в хвмвческвх ренкцвях. Изложеэве тверяк этвх процессов вачянается в главах 2 в 3. Точно так жг как в классвческвх аздачах, исходные формулвровки приводят в нелвпейным уравнениям, простейшее вэ которых имеет ввд (1.12) „, р . (,-) „„= О, где скорость распространения с (гр) является функцией локального воамущоввн й.
Исследовапяе этого обмавчвво простого на ввд уравкенвя дает все основные повяткя нелинейных гиперболических волн. Мы будем следовать идеям, впервые развитым в газовой двяаывке, яо придем к явы в более простой математической форме. Основное гэедствке нелинейности заключается в опроккдыванви волн в воевпкковенви ударных волн. Матгматвческвы отражевмеы этого явления служат теория характеристик в выделение разрывов. Все зто подробно описано в гл. 2. Затем теория применяется и дополняется з гл. 3, где подробяо обсуждаются вопросы паводковых в прочих волн, о которых говорилось выше. Уравнение первого порядка (1.12) называется язэзилпнейнмл, так как ово нелинейно по гр, во лмневко попровэводвым ~р, в э„. В общем велввейвоы уравнения первого порядка для фувкцвв ч (х, Г) допускается провзвольвая фуикцковалыгая связь лгежду э, г), в й ..
Об этоы более общем случае, а также о его рагпространеввв на уравяевня первого порядка с и ягааввсвлымп перемен. вымп речь пойдет в гл. 2. В рамках уравмегшя (1.12) ударные волны появляются как раарывы функпвв й, Однако прв выводе уравнения (1.12) обычно вспольауют приближения, строго говоря ве справедливые в условиях зозввквовегшя ударных волн. В гааовой двяамвке соответствующее приближение заключается з пренебрежении вязкостью и теплопроводностью. Те же самые математические эффекты можно продемонстрировать па примерах более простых, чем газовая динамика, в которой впервые были разевты соответствующие вдел. Зтв эффекты будут рассматриваться в гл. 2 в в гл. 3.
Слмьгы простым является уравнение 'Рй* =. т3 * (1ИЗ) ка которое, в частности, Бюргере (1! указал как ка простейшее уравнение, объединяющее типичную нелинейность с пшвчной теп. ловов двффуапей, так что зто уравнение обычно называют уравнением Бюргерса, хотя, верояжю, его впервые ввел Бейтыев (1!. Зто уравнение привлекло еще большее внимание, когда Хопф (1! и Коул (1! показали, что его общее регпеяве можно получить Гл.
1. Введение и общий обзор в явном виде. Нэ зтоы типичном примере можно весьма детально исследовать различные вопросы, а затем с достаточной достоверностью использовать реаультаты в других случань, когда полное решегпге получить невозможно и прнхощгтся ограничиваться частными ялн яриближенныыи лзстодами. Глава 4 посвягцена уравнеяшо Ба~ргерса и его регяеяию. Для двух неазвисимых переменных, обычно времени н олной пространственнов переменной, общая сястсча, гюотвгтст'вуа~птая уравнению (1.12), от дзг Ап — -(-аы — '-р(4=0, ! — — 1, ...,я, (1Л4) годерж!п а неизвестных функций и; (г, т).
(Мы будем пользоваться обычным соглашением о суммировании по повторяющемуся нндеясу 7, 1 =- 1,..., л.) Для линейяггх систем матрицы Аы и аы не зависят от и, а вектор Ь, прелставлнет собой линейное по п выра>яение: —. Ь,гиг! (1.15) ааиетим, что уравнение (1.5) можяо записать в таком алле. Кслн А ы, аы, Ь; — фуакции от вектора и, нс зависящие от его производных, то сисивма является квазнляяейной. Глава 5 начинается с о(я:у'вдения условий, пеобходгппзх дзн того, чтобы система (1.14) являлась гиперболической (и, следовательно, описывала гиперболические возлег). Затем излагается общая теория хараитеристли п разрывов для таких гипгрбозичесяих систем.
Эта теория была развита яа основе газовой динамики, лоторал и обеспечила ге наиболее плодотворный физический контекст. Глава 6 содержит весьма подробный обзор по нестапиопарным эадачаы газовой шшамиия и сверх звуиовыи течениям. В нее вялючены также задачи о цилиндрическом и сферическом взрывах, поскольну они сводятся и двум независимым переменным. В главе 7 при всестороннеы обсщкдеяии решений волгювого урэвнегшя (1.1) мы обржцаемся н двух- и трехмерным задачам. !(ожалуй, в книге, посвященной расщюстранению волн, необычно так долго откладывать шот вопрос и начинать со столь тщательного обстчвденпя няэинейяых эффектов. Это следствие упорядочении,произведенного по числу измерений, а не по сложности понятий или доступности математического аппарата. В главе 7 освещаются свойства решений уравнения (1.1), позволяющие супнть о природе рассматриваемо~о волнового движения и даюгцие воэыожность обобщения иа другие залповые систеыы.
Главным приме!юм служщ геометрическая оптпка, которая обобщаетсн на линейные волны в неоднородной среде и является соловой для аналогичных построений, сняэанных с распространением разрывов в нелинейных задачах. Мы денге не пытаемся дать хотя бы 1,3, Диспергирующие волны сравнительно краткий обзор огромной области дифраидви и теории рассеянии, а также спедиальных свойств упругих и заектроиягиитиых волн. Все они слншном обширны длн тога, чтобы их маятно было подобающим образом изложить в книге, расе охватывающей столь широкий круг тем. Главы 8 и 9 пас анщепсс динамике ударных волн и задачам, саяаанным с явленссем звувозога ударе.
Здесь дсмонссрируетсн, «ан можно абойтн трудности, обусловленные нслинейныьс характером задачи. В асих днуь главах для преодолении математичесних трудностей испольауютсн интуитивные идеи и приблнлсенпн, основанные на физических соображевинх. Хотя рассматриваемые задачи «энты иэ механики жидкости, мы надеемся, что результаты и стичь рассуждений онажутсн напевными и в других областнх. [!ослединя глава по гшсерболическим волнам касяетсн слу саев, когда одновременно существуют волны раэличныт порнднов.
Типичньсм примером слупит уравнение ') (фсс — сц'Р ) -(- ср, + а,ср, = О. (1. Рб) Это сшсербсолссчесссое уравнение с характерпстнческшси сссоростимв ~асс, определнеьп,сми волновым операюроы вюрого нарядна. Однако еслн и мало, то в иэнестнои смысле хоронсес приближение должна обеспечивать волновое уравнение низшего порядка срс 1 р асср„— — О, а оно предсказывает волны са скоростью ац. Оназываетсн, чта волны орюссх тсшов играсот важнуса роль и существусот васьньсо эффенты взаимодействии мюнду ними.
Волны высшего порндв» несут псервый сигнал» са сноросгью см а «основное воамущеннец передаетсн волнами низшего порндка со снороетыо ам В нелинойныь аналогах уравнения (1.(Рт) зта существенно отрансаетсн на свойствах ударных волн и их струитуре. Все зти вопросы разбираютсн в гл. 10. 1.3. Дсссиергтсруюсс(пе волны Диспергирующие волны не паюсаются классифинадии тан легло, каи гипербаличжние волны. Как уже объиснялось в связи с решением (1.3), о них идет ре*сь при рассмахренни определенных типов осцивлирующих рыаеиий, описывающих волновые павши. Талие ренсении получаются при интегрировании различных уравнений з частных проиэводныт н даже некоторых интегральных уравнений. Ораву ясно, что задача характеризуетсн дисперсионным соотношением ы И' (и), (1.17) Гб Гл. !. Введение и общий обзор свнзывающим частоту м и волновое чиоло к. Источник втого соотно«ленив длн конкретной системы уравнений, описывающей данный продесс, имеет второстепенное значение.
Типичны««и примсрачи служат уравнение колебаний бачки 3«м+)л«7 . =0. =Ы~ (1.18) линейное уравнение Кортевега — де Фриаа «р«+ со«7, -,'. «чр,,„—. О, ю —.— с„и — ткз (1.19) и линейное уравнение Гуссинеска 3««« — а«3«х„—.— 8«1«, „, м — ~аз (1 — . '))зкз) ««з. (1.20) Уравнения (1.19) и (1.20) понвляются в приближсяных теориях длинных волн на воде. Не приводи здесь общих уравнений для линейных волн на воде, отметим, что они инеют ре«пение вида (1.3), описывающее возмущения свободной поверхности, с м = ~ (дк !й кй)ш, (1.21) где с„ — скорость света, т« — собствеяная частота осциллнтора н тр — плааменная частота. Ре«сенин линейных аадач более общие, чем репюние (1.8), получаютсн сулсрпозицией таких решений и имеют вид «ппегралон Фурье й= ~ Р( )сов(кз — И'!) 3к, о И.28) где И' (к) — дисперсионнаи функция (1.17), зависящая от рассматривае«юй системы.
Функции (1.23) являежв — по крайней иере формально — ре«аениеи для произвольной функции Р (к), которая с помощью обратного преобразовании Фурье выбирается твк, чтоб««выполнялись граничнь«е или начальные условии. Решение вида (1.23] являежв суперпозицией отдельных волн с раз««ичными волновыми числами, каждая ив которых расщюстраннется со своей фазовой скоростью с (к) = —. к'(з) (1.24) С ростом времени эти различные составлнющие моды «диспергиру«ат» (расползаются), в результате чего, например, одиночный горб превращается в длинный осцитлирующий волновой пакет— гдо й — невазмутценная глубина, а д — ускорение свободного падении. Другим примером служит классическая «сория дисперсии электромагн«пнь«х вали в диэлектриках, дающая соотноп«ение (ор — т,') (ют — с,'кз) = ю"г,*„ (1.22) 17 1.3.
Лиспергирующке волны цу» волн. Зтот процесс научается с помощью различных асимптотвчсскнх разложений интеграла (1.23). Нри таком аналиае ключевым понятием является груятимя скорость С(к) =— аи' (1.25) Цуг волн, получающижя иэ) (1.23), не имеет постоянной длины волны, "по-прежнему существует целый интервал волновых чисел х. В некотороы сыысле (его еще нужно выяснить) раалнчные волновые числа распространиются по этому цугу волн со скоростью, равной груш»оной скорости (1.25). Оказывается, что в аналогичнои смысле внергия также распрастраняетсл с групповой скоростью. для истинно диспергирующих волн случай )у к исклЮ- чается, тан что фааовая скорость (1.24) и групповая скорость (1.25) не совпадают. При этом в распространении волны доминирующую роль играет именно группован скорость. Учитывая ее огромнщо важность и по»»нн о неоднородных средах и нелинейных волнах, желательно найти способы непосредстненного опрелеления групповой скорости в ее свойств беэ промюкуточного преобразования Фурье.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
