Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Можно щкже сразу посте главы 2 перситн к чтению части !!. 'й.д. Два основных класса волновых двпженнй !!о-видимому. яс существует единого строгого определенны воли. Можно дать раалпчные частные определения, но чтобы охватить весь диапазон волновых процессов, прсдпочтктельнее руководствоваться нтпуитнвным представлением о волне «ан о любого различимом сигнале, передатощемся от одной части среды к другой с некоторой определенной скоростью.
Такой сигнал может быть ваэмущением любого вида, напркыер максимумом какой-либо величины ихи реэким ее иэмененвем при условии, что ато возмущение четко выделено и что в любой эажшный моыент нреыеви ьклкно определить его местонахождение. Этот сигнал может искажаться, наменять свою величину и скаростто по при этом должен оставаться рааличнмым. Такое определение может покаааться несколь- 1.1. Две основных класса волновых движений ко расплывчатым, по опо оказываетсн вполне приемлемым, а любав попытка дать более строгое представляется слиппзом огранвчптельной, поскольку различным типам волн присущи различные чараятерные черты.
Тем не менее «овгно выделить два основных класса волн. Первый класс описывается математически (гиперболнческвми ураьншшями в частных производных); волны этого класса будут называться гияерболимскили. Второй класс столь просто характернюзеть нельзя, но, поскольяу простешзими его представителями являемся диспершгрщощие волны а лниейнзгх задачах, ыы будем навивать все волны этого класса гягюыргарунг шими и лишь постепенно разовьем более полное его опнсааке.
Наше деление на классы не являетсн исчерпывающшь С одной стороны, зпг классы переееназпся, так каь в некоторых волновыт движениях проявляются оба типа повеления, а с другов сун1ествуют исключения, не соответствующие ни олному из них. При описании гиперболических волн за основу часто берут волновое уравнение йы = ет7'р, хотя боксе простым является уравнегше (1. 1) р, + с,р„=О. (1.2) Нэк мы увидим, сущесзвует четкое определение гиперболических уравнений, зависящее только от вида уравнений в не аависящее ог возможноств получения решений в янном виде. Скрутон стороны, понятие дкспергирунзщих волн связано скорее с характерным видом рея~енцй, чем с типом уравнения. Линейная дпгпергирующал система — зто глобал система, нмеющая решения вида (1.3) р = а соз (кт — юх), где частота ы представляет собюй нзвесттзую вещественнчю фракцию волнового чиста х, причем фучзкция ы (к) определяетсп выбором систеыы.
Фазовая скорость в данном случае равна ы (к)1к, и волны обычно называют двспергирующимн, если ага фаэован скорость нс постоннна, а зависит от к. Такой термин указывает на то, что более общее решение является суммой мод вада (1.3) с различными значениями х. (В самом общем случае эта сумыа переходит в игпегргл Фурье.) Если фаэовая скорость ебк зависит от к, т.
е. если аз П=сен, где се -- некоторая постоянная, то моды с различнымп к будут распространяться с различными скоростями и волна будет днспергнровать (расползаться). Удобно иеснолызо изменить зто опре1геление и говорить, что волна вида (1.3) явлнется дисвергирующей, если ю'(к) не постоянна, т. е.
если ю" (к) ~ О. Гл. 1. Введеяие и общий обзор Следует отметвтгь что функция (1.3) является также решением гиперболичесмого уравнения (1.2] с е< = сок или уравнения (1.1) с <э — ~с к, но этв случаи исключаются из двспергирующего класса условием о< ФО. Однако нетрудно привести примеры действительного перосечения классов, когда уравнения окааываются гпперболнчгсвими, и в то же время имеют решения видя (1.3) г нетривиальными двспгрсионными соотношенвяыи <э — ь< (к). Одни из таких прил<еров — уравнение Клейна — Гордона рм — у„ь+ Ч = О, (1.4) которое явлнстсн жшерболпчесвпм п имеет решенно (1.3) с ы'— — к ! 1. '!акое двойственное поведение встречается сравнительво редко в не доювпо затмевать общее глубовое рачвичие двух основных классов.
Возможно, оно является првчипой довольно распространенного недорааумения (поддержвваемого, в частности, в математической литературе), согласно которому нолновое движение полностью опись<вается гиперболическими уравнениями, а подход с помощью фунвппй (1.3) считается менее в'<учныь<. На самом деле сворее верно обратное. Нещютрл на обширность и разнообраапе класса гиперболических волн, ббльшая часть волповь<х процессов, по-звднмому, все тке относится к классу днспсргирующих волн. Океанские волны.
яанболес известные вз всех волн, яктяк<тся лиспергирующпмп н опвсываюгся уравнением Лаплага с необычньп<и граннчнычи условиями на свободной поверхности. !! ерван часть этой книги посвящена гиперболичссквм, а вторая — диспергиру<ощим волнам. Теория гиперболических залп снова встречается прв изучении дпспергкрующвх волн з разлпчнмх любопытных ситуациях, тан что вторая часть пе является полностью независимой от первой. Оставшаяся час~ь настоящей главы посвящена обзору ряда вопросов, ббльшзл часть которых затеи подробно разбирается в книге.
!(ель агого обзора — дать представление о материале в целол< и в то же вргмн привести к общему взгляду на теорию, что трудно сделать при подробном изложении. 1.2. Гиги рболичесиие полны Волновое уравнение (1.1] встречается в акустике, теории упругости и алектроыагяетнэме, и его основные свойства и решения впервые били изучены в зтих областях пчассвчгсков физияи. Во всех перечисленных случаях оно,однако,недаетполкогоописапияпроцесса.
В акустике исходят иа уравнений для сжимаемой жидкости. г(аяте беа учета вязкости и теплопроводности зто система велипейнь<х уравне<жй относительно вектора скорости и, плотности р м давления и. Акустика описынается приближенной линейной 1.2. Гиперболические волны теорией с малгами возмущениями равновесного состояния, в котором н =- О, р = рю р:= р„. Уравнения лннеаризуются за счет сохранения только чченон первого порядка по малым величинам н. р — рю р — ра, т. е. за счет отбрасывания всех члеион со степенями малых величин выпье пеРвой н с нх пронзвеЛенггями. Ыогкно иоваэатгч что в етом случае и каждая комяонснта вектора н, н возмущения р — рв, р — рэ удовлетворягот волновому уравненшо (1.1).
Найдя решение этого уравнении прн надлежащих граничных шпг начальныт условггях, определяемых источником знугга, гстестненно аздаты:я рядом волросов о связи полученного решовнн с исходнычн нелинейными уравнениями. 1!в гяютсн лн линейные результаты адекватными, хоти бы гпя чалых вознущепий, н ве теряются ли ири таком прибзн;кении какие-либо существенные качествегппю черты? Вс:ыг возмущенна не являюття палычи (как при взрыве или придан кении сверхзвукового самолета и раке гы), то какие ргзульгаты мо,кно получить непосредственно из негодных нелинейных уравнеггн(гз Некие иаггегге~гая кроисходя\ при учете внзкосги и теплопроаодлости? Отнеты на эти зопрогы в газовой динамике приводят к основныи идеям нелинойных гиперболических ноля. Наиболее интересным явлением.
которое описывается лн!иь нелинейной своркой, оказьгваются ударные вогшы, представлян~щгге собой резвее скачки давления, плотности и скорости, например ударные гюлны кри сильном взрыве к чвуковые удары при двгш;енни вьюокоскоросппы саыолетон. Для нх «редскачаиия потребовалось развить весь сложнык аппарат теории велинешплг гниерболических уравнений, а длн полного понимания яонадобгшись анализ эффектов вяаьости н некоторые аспекпз кинетической теории газов.
Такпхг образом, круг основных идей становится ясным уже в газовой дннаыике, однако изучение более сложных случаев требует развития нш~егдческой теории. Ооновнав математическая теории, раввитан в газовой динамике,подходит для щобых светом, описываемьж нелинейными гнпербюлпчеснимн уравнениями; она использовалась и уточнялась во многих других областях.
В теории упругости классическая волновая теория также полу чается после липеаризацки. Однако даже в линейном случае сигуа. цня оказывавтсн более сложной, поскольку исходпан система уравнений принодит по существу к двум волновым уравнениям вида (1.1) для двух функцгщ до рз и двух скоростей с, с, отвечагощим движению продольной и поперечной волн (волны сжатии и нолик сдвига). Функции дг н гр, свлааны надлежащими граничными условиями, так что в общем случае задача гораздо сложнее, чеи просто решение уравнения (1.!).
На свободной иоверхности упругого тела возникает новое усложнение, поскольку воэмоягно появление поверхностных воли, так называемых волн Рэлея, Гэь 1. Введение и общий обвор которые прибэвжа|отся к диспергирующвм волнам и распространяются со скоростью,промежуточной мшкду с, и с . В силу этих дополнвтельных усложнений, велипейная теория не была развита здесь в такой степени, как в газовой дцнамике. В электромагнетизме также паэеется усложнение, связанное с тем, что различные компонешп электрического и магнитного гюлей, удовлетворяя уравнениям (1.1), связаны, кроме того, дополнителькымв уравнениями и граничных~и утшовкят1и.
Хотя классические уравнения 5(аксветла с самого начала ваписываются в линейной форме, в настоящее еремы впачительный интерес представаяет «нелипейная оптика», поскольку, например, лазеры создают волны высокой игпенсивпости, яа которые ряд сред реагирует невнкейпы» обравоть Соответствующая матеыатвческан теория начинается с изучения решений уравнения (1.1), Самым простым является одновериое уравнение для плоских волн рп — с,'ср„„= О. (1 5) Введя новые переменные а †.= х — с,з, (1 = з + сэз, (1. 6) его мо'кно перепвсэть так: р„„— 0.
(1.7) Последнее уравнение злементарпо нптегрвруетея в имеет общее решение р--)(-)+д(5)--)(л — с„г) ~,(л „г), где 1 и д — произвольные функции. Это решеггве явлгэется коибвнацией двух волн: одна г форыой, описываемой функдисй В движетсв вправо со скоростьк) с, а другая с формоп, описываеыой функдией д, ввижетгя влево с таков же скоростью с„. Кще проще было бы в случае только одной волны. Нужное для этого уравнение получается факторяаз- цней уравнения (1.5) ( — — с — ) ( — -ь се — ) р =- 0 д д д д (1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
