Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 9
Текст из файла (страница 9)
В этих рассун:дениях есть олин спорный момент, посколыгу продставленное на рис. 2.5 решение можно осуществить с с ( с, (с помощью огноего слюнного и, воэмоягпо, ежьма малореалнстичпого механизма]. Конечво, мы уже указали в (2.9) н иа рис. 2.6 подходящее пепрерынное регпение для таких начальных услоний. Тем не менее, будучи особо настойчивым, можно утверждать, что на рис.
2.5 изображено другое допустимое репюииж Воаражениг состоит в том, что предлагаемое ранение неустойчиво. Это значит, что мачое возмущение переведет разрывное ранение в нечто совершенно иное,— соответствугощгевеерухарактеристны решение вида (2.9). Это «аргумент леус»о«1чггвггсти формы», лвлнющийся дополнением к «аргументу обрааонанин». Неустоичивость пе будет разбираться подробно в этой главе, поскольку аргумент образования достаточно убедителен и недвусмыслен, Для уравнений высших порялков условия образовавия разрыва изучать становится труднее, и аргумент неустойчивости иногда позволяет проще решить вопрос о воамо»алости существования данного разрыва, па котором выпоггкявттся иадлежжциг условия. Для ударных волн в газовой динамиье неравенство, соответствующее неравенству (2.30), оз нана от, что при переходе газа через ударную волну жо энтропия еозрастщлг.,'1»оусловиевозрастания энтропии было первым доводом з пользу необратимости ударных волн, т.
е. того, что переходный процесс в ударной волке происходит тельно в одном направлении. Однано условия, подобггыг (2.30), носят болж общий характер. В некоторых задачах нг существует очевидного аналога энтропии, в другиь, подобгп«х аа1«ачааг магнитной гааовой динамики, условие воарастания энтропии ие нскгпочает неноторьгх недопустимых ударньгх волн. Другая точка зрения на эти критерии состоит з том, что если любую допустимую разрывную ударную волну описьгвать более точи«щи ураннениями, то оаа будет иметь падле»аащуз структуру. ")то более приемлемая точна арения, поскольну ока связана с, более реалистичесннм описанием процесса. Однако подобныи анализ ягожщ' оказаться чересчур ело»нгп«м, и часто приходится ограничиваться косвенными донодами в рамках более простой теории.
Этот второй подход быв применен при рассмотрении структуры ударной волны в $2.4. Когда с' (р) ) О, пошчоднщая струн»ура была обпарунгена лишь при р ) рб поскольку с' (р) ) О, зто эквивалентно успению с, ) се Когда с' (р) ( О, мы получаем, что р,(р„гго изменение анана с'(р) снова дает с, ) се Поскольку с (р) — (1' (р], скорость ударной волны, в силу теоремы Роллл, лежит между с, и см Гл. 2. Волны и уравнения первого порядка 2.7. Замечание о законах сохранения и слабых реизениях С математической точки арения «составные» решения, состоящие нз непрерывно дифференцируемой части, удовлетворязощей уравнению — '-+ (") =О, (2.31) ш ш и разрывной части, удовлетворяющей усчовию -С )р) + ~Е (р)) =- О, (2.32) — )(~(Ре 1(?(р)ч.)3.3»=о, к (2.33) тде  — произвольный пряз»оутшциик в (, с) проиввольная»пробнаяэ функция снепрерынными пернымк пропэводиымн в В, обрап»аюп»аяся'.в нуль на «рапнце Л.
Если р и () (р) непрерывно дифференцируемы, ы» уравнения (2.31) и (2.33) эквивалент»па. С одной стороны, если (2.31) умношнть на»р и проинтегрировать по Л, то, интегрируя затем по частям, получаем (2.33). С друтой щороны, из (2.33), ншетрируя по частяи, получаем равенство ~' ~ ( зр+ е('(с) ) 3 а=О.
к Поскольку это равенство долзвво быть справедлизыи длл произвольной пробной функции »р, отсюда следует (2.31). Окопано ураввение (2.33) имеет более широкий класс решенвй, поскольну допустимые функции р (л, с) ве обязаны нме»ь производные. онункдии р (т, с), удою»етворяющве равенству (2.33) длл всех нробных функций»р, вавывазотся слабыми ращениями уравнения (2.31). Теперь выясним„что дает нам зто расширение понятия решении. Рассзютрим воаьюжность существования слабого решения з (л, »), т. е.
решения, удовлетворяющего уравнению (2.33), непрерывно диффсренцируемото в двух часы»х Л» и В» прямоутольпина Л и имеющего разрыв верного рода на границе 5, раэделяющея В» а В». Интетрируя в казндой из областей Л», В, по частяз», яолу- можно рассз»атринать кзк слабые решения уравнения (2 31). Ворот- ко говоря, вту идею мозкно пояснить следующиз» образом.
Рас- смотрим наряду с (2.31) уравнение 43 2.7. Заковы сохранении и слабые решении чаем ив (2.33) ~ ~ ( ар+ар(р) ~ ~,~1+~ ~ ( ар+ар(р) ~,~ ~1+ 'и; в, + ~ Цр)1+ [()(р)! о~)юба=б, Б где (1, ю) — нормаль к Я, а [р) я [0 (р)! — скачки на У. Криволинейный вгпеграл по Ь' образован граничными членами интегралов по В» и В, полученными при ннтегрировавип ко частям. Так как зто равенство паля;но быть справедливым для всех пробных функций ф, отсюда следует, что (2.3!) справедливо внутри каждой из облаотеп Лп Лт, во, проне тога, имеет место равенство [р! 1+ [4) (р)! и = О на Ь'. Зтс н есть условие па разрыве (2.32), поскольку Н = — 1/лг.
Таким образом, слабое решенно рассмотренного вида удовлетворяет уравнению (2.31) в точках непрерывности и имеет разрыв, на котором выполняется устовие <2.32). Как раа то, что яам кунино! На первый «вглнд вводенне понвтня счабого решения возопиет обойти более сложное и менее точное расснотрение реального физического процесса. Но в действительности жопе тан. Для дифференциального уравнения — -)-с (р) — =О др др существует бесконечное число законов сохранения (2.34) требуетсв только, чтобы выполннлось соотношение у' (р) = Д (р) с (р).
(2.35) Длн дкфференднруемых функций р (х, 1) все зги законы вквивалентны. Однако вх игпегральные формы нс жвивалентны и приводят н разливных~ условным па разрыве. Слабое решение уравнения (2.34) дает условно вида — (г [1(р)! + [у (р)! =- О (2.3бт) и различный выбор 1 и д приводит к различпыы соотношениям между рг, р„и Г Следовательно, для того чтобы выбрать слабое ршвонио, отвечающее данной задаче, пеобходив~о изучить сам фиаичесний процесс. Учитывая дифференциальное уравнение (2.34),можно предложить закон сохранения в интегральном видо (2.37) Гл, 2.
Волны и уравнения верного порядка 46 Однако, чтобы выяснить, будет ли атот вакон справедлив для педифферскцпруеыых функций р, предстоя вернутьсн в первоначальной формулировке задачи. В 4 2.2 поглеловательность рассуягдений была правильной: сначала уравненве (2.10), затем уравнение (2.11). Обратная лоследовательностгч т. е. переход от дифференциального уравнения в частных проиаводных н эквивалентному интегральгюму закону, приводят к потере единственности. Вслп (2.37) — исюпшый закон сохранения, то соотношение (2.36) можно вывести как условие на раарыве теми же рассу;ндепинмн, что и в 4 2.3.
Таким образом, правичьный выбор слабого решенвв определяется выбором величин, дейстнительпо сохранягощихся при пересечении разрывов. Вниду отсутствия единственности в возможных недоразумений понятие слабого решения в жом контексте пе представляется особенно ценным(и следует подчеркнуть, что физические задачи, вак правило, первогшчально формуляр)чшсв в интегральном виде, откуда вытевают нак дифференциальные уравнения в частных производных, так и условии и» раарызо. Однако в упрощенном виде идея слаоого решения иногда оказывается полезной при предварительном рассмотрении задачи. Воли, ввпргы~ер, нас интересует, допускает ли уравяение (2.34) двивгущтпся разрывы как согтанпую часп, решения, то мов;но испробовать функцви 1(р) = 1а(з) 1У(х — ВВ+.1 у (р> = у, (. > Н (х — и() + у, (здесь Н (х) — ступенчатав функциа Хоеисайда, а 1и у — непрерызвые функции).
Подставляя их в уравнение (2.34), мы получим члены типа 6-функцпм ( о1» + уа) 6 (™) плюс ыенее сингулярные члепьь Отсюда выводим, что П(а ( ба=~) а зто и есть условие на разрыве (2.36), поскольку 1а = [1), у» = —.= (4), При таком выводе, конечна, не удается набежать неединственностп п, кроме того, 6-функции используютсн несколько подозрительным образом. Использование 6-функций в нелинейных задачах обычно исключено, потому что нельзя придать удовлетворительного смысла степеннм и произведенным топил обобщенных фуякций: мы ввели искусственную линейяость, записав выражения для 1 (р) и б (р) в отдельности, вв~есто того чтобы использовать единое выражение для р.
Конечно, оправданием введению 6-функции служит слабое решеяие. 2.8. !1остроенне разрывов; каадратичнан () (р) Для сравнения рассмотргш тот же самый вопрос о допустимости начичия движущмхсн разрывов для уравнения (2.20), записанного в виде — +— др 1др (р) Рр ш а аз' Если выражш~ня для р и р (р) содержат члены нида Н (х — (ГГ), то дзр/дха будет включать член вида [р) 6' (х — (гс) н не вайдежа другого члена с сингулярностью вида 6 (х — Сй), чтобы компенсировать его. Таким образом заключаем, что [р) = О, т. е. ~то разрывы недопустимы. Это.
несомненно, полезпьш вывод для предварительной оценки авда би. 2.8. Построокио разрывов; квадратичная функция ()(р) 1!осче обсуждения зттщ рааличпых хачек зрения вернемся к математтгческой задаче построении разрывного решения, удовлетворнющего ла раарызах соотпошеншо О (Ш) — 0 (до ) '.38 Ра — Р1 и представимого в области непрерывности н аиде р = 1(3), * =- $ + Г ($) 1.
(2.39) Любая многозначнан часть «олнавого профтшя (2.39) должна быть заменена некоторым подходящим разрывам, как показано на 5(Л Рнс. 2.8. Построение областей разной алсщаял язя определена» всложевяя разрыва з оврояадмвааааейся волне. рис.
2.8 г). Правильное положение разрыва можно определить с помощью следующего простого соображения. Как многозначнан, ") Этот расулов гюстроен для случая ' (р) ) О, но зсе формулы атого параграф» скрааезлязы я для случая с' (р) Ш О. Гл. 2. Волны в уравнения первого порядка так и раарыв«шя крввые удовлетворяют закону сохранении. Следовательно, значения интеграла ) р «(г дл«« ннх доджны совпадать,н поэтому разрыв должон отсекать области с равными площаднми, аан«триховапные на рис. 2.8. Хотя ага опреде «ение нвляетсв соверше«пю общим, оно неудобно для аналитических построений. Общий случай слишком сложен, и стоит разобрать сначала частный пример.
Для этого аорпемсн н случаю квадратичной фуньции () (р). Рассматриваемый счучай включает в себе слабые возмущения равновесного состонния с р =- р», поскольку тоща »/ (р) чожпо аппровсимировать выражением 0 =- (/ (р.) + («' (р.) (р — р.) + '/, (/" (р.) (р — р.)', в поатому обчадает значительнав общностью. Рассмотриы 4)(р) = ар» -'- ()р -)- у; тогда с (р) = ()' (р) = 2ар + (), так что скорость ударной волны (2.38) равняется (г =- '/, (с, -)- с„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
