Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 4
Текст из файла (страница 4)
На интуитивном уровне это мо«кно сделать очень просто, а в дальнейшем это оправдывается. Предположим, что осциллирующий волновой пакет приближенно описывается вырви«синем ф = а соз О, (1. 26) где а и 0 — функции от х и я Функции 0 (х, С) представляет собой «фазу», определяющую положение точки мыкду экстремальными эна гениями -~1 яа полупериоде соэ О, а о (х, 1) — аьшлитуду.
В частном случае »юнохроматвчесного волнового пакета а = сонэ», 0 .-= хх — ыц ы = Ру (к) (1.27) В более общо» случае определим локальное волновое число й (х, С) и лола«ънрю частоту ы (л, 1) равенствами )«(х, с)= з, (э(х, с)= — э дб дэ (1.28) Предпочожим теперь, гго зти величины вге еще связаны дисперсионным соотноп«енвем = и'(й); (1.20) ~отца получим для 0 уравнение '"+И (ф=о, ре»ление которого определяет кинематические свойства волнового пакета. Удобнее с помощью соотношений (1.хо) исключить э — ашы Гл. 1.
Введение и общий обзор 6, что дает уравнение (1.31) и работать с системой уравнений (1.ээ)и (1.31). Подставив в уравнение (1.31) )У (й) вместо ы, получим — +С(й) — =О, (1.32) где С (й) — групповая скорость, определяемая равеиством (1.25). Зто уравнение для )г явлнетсн как раа простейкегм иеликейпым пшерболическим уравнением вида (1.12]! Кто можно шггерпретировать как волновое уравнение для распространения волкового числа й со скоростью С (й).
В таком завуалированном виде в диспергирующих волнах содержатся гиперболические эффекты. Зто позволяет использовать методы, описанные в части 1 книги, для решения задач по диспергирующим волнам. Прелложенкый здесь в основном иктуктквкый анализ грушювой скорости легко обобщается ие случаи большего числя иамерепий и неодкородиой среды, где либо точные решения громоадьи, либо их иевоаможко найти.
В таких случаях результаты обычно ион<во оправдать некос редствекио, рассматривая их как вервыг члены иекоторого асомптотического репюния. Зги освовиые вопросы изучаются в гл. И, причем спедиалыю подчеркивается роль групповой скорости. Как только видено понятие грушювой скорости, з яагэем распорки~елки оказывается удивительно простой, но мощный метод установления основных свойств любой диспергмрующей системы. Зто иллюстрируется раакообразвыми примерами, приведениымп в гл. 12. При помощи нсимптотического реале>кения интеграла б)урье (1.23) леюю погюзать, что акергин передается обаэательио с групповой скоростью. )(ля зоаможиости обобщений снова важно иметь прямые докаюмельства этого фундаментального результата. Некоторые из иих приводятся з гл.
И, во полностью удовлетворительного подхода до недавних пор ке существовало. В самое последнее время репгевие этой задачи было получено как побочпый реаультат исследования авэлогичвых вопросоз для нелинейных волн. В целом для решения келииейпых задач требуются более мо~цныемегоды, и постепевио была осознана возможность использования вариациоякых принципов.
Оик, по-видимому, обеспечивают корректный математический аппарат для выясиеиия рндв вопросов, свяэаииых как с линейными, так и с иглииейкымп задачами. Судя по успехам, достигнутым недавно при помощи такого вариациокпого подхода, ои вривел к совершепио иовому взгляду иа вещи. Зтот подход в упрощенном виде для лииейных воли излагается в гл. И, а во всей общяоств описывается в гл. 14 19 1.4. Нелинейная дисперсии Промежуточная глава 13 посвнщена волнам на воде.
Эта, по>калуй, самая раанообрааная и захватывающая область из всех, свявавшах с волновым движением. Она нключает шнроний класс природных явлений в океанах и рекех и — при надлежащей интер. претации — охватывает гравитадионные волны в атмосфере и различных жидкостях. Она явилась стимулам для раавитня теории диспергирующих залки основойатоятеории, сыграв в ней такую н<е роль, какую газовая динамика сыграла в теория >мпербаличсских волн. В частности, все основные идеи теории нелинейных двспергяруюл>их волн вознинли прп изучении волн на воде. 1.4. Нелинейнаи дисперсия В 1847 г.
Стоке показал, что вертикальное отклонение «) позер»- ности глубокой воды дла плоского залпового пакета можно разло>вить по степеням амплитуды а следующим обрааом: и = л соз (кк — в>) + «7, каа соз 2 (кх — в>) + + Ва каа соз 3 (кх — в>) + ., (1.33) где вт = ук (1 + к>аз + ...).
(1.34) Линейному случаю отвечает первый член разложения (1.33), сов. падающвй с решением (1.3), причем дисперсионное соотнсшение имеет вид ва = ук, (1.35) согласующийся с формулой (1.21), пасьолы<у в случае глубокой воды нада брать предельное выра>кение при кд- <а. Эти рассун<денвя опираются на две н>почевые идев.
Во-первых, утверждается существование периодических решений (соответствующих цугу волн), а которы». зависимые переменные явлнютгн функциями фазы 9 = кк — вй но уже но синусами (выра:кение (1.33) представляет собой раааои<ение в рнд Фурье неноторой функции «) (Е)). Вторая основополагающая идея заключается в тоы, что в дисперснаянае соотношение (1.34) входит амплитуда. Это приводит к качественно новым свойствам решения, так что нелинейные аффекты не пвлнютсн всею лишь малыми поправками. В 1895 г. Картаво« и де Фриз показали, что длинные волны ла сравнительно мелкой воде можно приблнженно описать нелинейным уравнением вида «), + (се + сгц) т)„+ т«)„„„=- О, (1.36) где са, с, и ч — постоянные.
При линеарнзадии этою уравнения для очень малых амплитуд опускают член с>цц„; полупиощеесв Рл. 1. Введение и общий обзор линейное уравнение имеет решение вида »1 = а соз (мг — ю|), ы = с,я — »к. » (1.37) Этот результат можно улучшить, используя разложение амплитуды в ряд тяпа рааложенвя Стокса. На мон»но поступить и лучше: Кортевег и де Фриз показали, что периодические решения г=|(8), 0=их — ы| ц=-" Ь' (( — тэ*;) и'(х-Пс) ~, (1.33) П =- с» -~- '|з с»а (1.
38) В этом пределе период становится бесконечным и формула (1.38) оннсывает единственный горб. Это — уединенная аолва, экспериментально открытая Скоттом Расселоы (1) и впервые исследованнан в приближенном виде Буссинеском (1! и Рэлеем (2) г). ВклюЧение уединенной волны и периодического волнового пакета в едвнуга теорию было ва иным в»агом. Выражение (1.30) для скорости расг!ространения Г как функции амплитуды представлнет собой аналог диспергиояного соотношения для этого непериодического случая. Хотя уравнение Нортевега — де Фриза первоначально было Выведено при исследовании волн ва воде, впоследствии повяли, Что оно явлиетсн одним из простейших уравнений, сочетающих нелинейность и дисперсию.
В атом отно»пенки оно аналогично уравнению Бюргерса, которое объединяет нелинейность и диффу- ») Доааэателжтво су»аеотвовакаа уедввзнвей волны в ра»»аах точной жорвл била л»во в работе уь А. лавревтьзва «до т»орп доагнх аваль», 86. ||Узчь 1н . Мз» ль АН УРСУ, Уа 8 (1946), |3 — 69.— Лрзч. у»д.
урзвненив (1.30) находятся в замкяугом виде беа дальнейших упрощений и выражаютси через вллипт»шсокие функцш» Якоби. Поскольку решения 1 (8) выражаются через эллиптический косипус сп 8, они называются в»»окдкзьяыви волнами. Эта работа подтверждает общие вьпюды работы Стокса. Во-первых, существование периодичесних волноных панетов с произвольной аюглитудой а проверяетсн непосредственно. Во-нторых, это решение дает конкретное двсперсионное соотношение между ы, к и а, причем главным нелинейным эффевтом снова инляетси то, что в эта соотношение входит амплитуда.
Однако было обнаружено даже большее. Одним иа пределов функ»рп» сн 0 (когда модуль аллнптического интеграла стре»ттся к единице) является весЬ 8. Переходя н этому прецелу или непосредственно релгая уравнение (1.%), можно получить Частное решение 1.4. Нелинейная дисперсия т )"' 01) =- 0 (1.40) как естественное обобщение линейного уравнения Клейна— Гордона н 1% ф ф.. + ( ф Р ф =- 0 (1.41) нак обобщение уравнении Шредингера. Нюне л~ы вернемся к этим уравнениям.
Прежде всего следует обсудить вопрос о том, кан раавить далее гюдтеерждаемый ыногнми примерами общий результат Стокса: существование периодических волновых пакетов является типич. ным свойством нелинейных диспергирующих систем. Эти решения являются аналогом решений вида (1.3) в линейной теории, но теперь уже не действую принцип суперпоеицвн.
Однако, кан уже было укааано в свнэи с формулой (1.26), многие важные резун~ таты линейной теории основываютсн на испольвованни групповой скорости модулированных волновых пакетов. Нри этом переход к интегралу Фурье несуществен, так что можно построить теорию нелинейной групповой скорости.
Соответствующяе рассуждении проводится в гл. 14 на осяове уя;е упомияавпв~хся варизцвонных принципов. Зависимость дисперсиоиных соотношений от алшлитуды приводит к риду новых эффектов (например, к наличию двух групповых скоростей), которые обсуждагатсн в общем виде в гл. 15. Кроме исходных задач о поведении волн на воде, одной иэ главных областей приложения теоргш нвлнетсн нелинейная оптика, наван быстро развивающаяся область. Ряд првложений к обеим областим даетсн в гл.
16. Одним нз наиболее интересных вопросов нелинейной оптики яввяетсн задача самофокусировки, в которой получается уравнение (1.41). Уравнение (1.40), в частности так называемое ураэнеяне Я!и-1'ордена йп — ~у „. -(- юв ф =. О, (1 А 2) таки<а встречаетсн в ряде областей. Оба эти уравнешш, как и уран некие Картсвега — де Фриза, в качестве предельных решений имеют решении н ваде уединенной волны. Уеднненныс волин всегда вызывают очевидный интерес, поснольку они представлнют чисто нелинейный эффент и ве имеют аналога в линейной теории диспергиругощих систем. Но до самого последне~о времени кроме это~о мало что было известно.
зию. В настонщее вреия оно оказалось полезным н в других обдастях. В последние годы в рааличвых областях были выведены другко простые уравнешш, также явив~шгеся отправными пунктами для рааработки и проверки различных идей. Среди них выделяются уравнения Гл. 1. Введение и общий обаор В настоящее время благодаря аамечвтельной работе Гарднера, Грина, Крускала и Миуры И], посвященной уравнению Кортевега — де Фриаа, а также трудам Перринга и Сиирма!Л и Дж. Ламба 11, 21, посвнщениым уравнению Б!п-Гордона, были найдены семейства точных решений, описывающих взаимодействие уединенных вали. Удивительно то, что уединенные волны сохраняют при вааимодействинх свою индивидуальность и расходятся, сохранив исходные формы и скорости.
Эти решения составляют лишь один класс решений, полученных при более общем подходе к данным уравнениям; дальнейпве сравнительно полные реаультаты относится к решенпнм, удовлетворяющим проиавольным нагальным условиям. Захаров и Шабат И1 распространили методы Гарднера с соавторами на «убическое уравнение 1Кредингера П.41) и получили аналогичньге реаультаты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
