Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Обвар этих важных и глубоких исследований приводитсн в гл. 17. ЧАСТЬ ~ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ Глава 2 ВОЛНЫ И УРАВПИ!ИЯ ПГРВОГО ПОРЯДКА Подробное обсуждение твперболическнх воли мы вачяпч с изучеяия уравнений первото порндка. Как унте было укаэаво в гл. 1, простейюее волновое уравнение имеет вид рс -с сер* = б, се = сопэс. (2.1) Когда выводится ато уравнение, зависимая переменная обычно оказывается плотностью чего-либо, поэтому вместо общего символа р, принятого во введения, мы используем здесь символ р. Общее решение уравнении (2.1) имеет вид р = 1(э — сеэ), тде 1 (х) — проиавольная функция, так что решение каткдой конкретной задачи состоит в выборе функции А удовлетворяющей заданным начальным или граничным условиям.
Оно, очевидно, описывает волновое движение, поскольку исходный профиль 1 (э) за время 8 передзинетсл без иаменевнк формы вправо на расстояние себ В двух точках, находящихся на расстоннии э друг от друта, одинаковое возмущение будет зарегистрировано с аадержнай по времени, равной э)се. Хотя этот Линевный случай почти тривиален, его нелинейный аналог р, + с (р) р„.= О, (2.2) где с(р) — ааданная фунвцвя артумента р, несомненно, не таков и его иву ~ение првводит к болыпинству основных идей нелинейных шшерболнческих волн. Как указывалось выше, многие классические волновые процессы описываются уравненными второго или более высокого порядка, такими, нак волновое уравнение с,'рзр = рм, хоти удивительно большое число физических задач приводит непосредственно к уравнению (2.2) или его обобщениям.
Примеры буцут приведены после предварительного обсуждения свойств решения. Деже в задачах более высокого ворядка часто ищут частные ретпения илп приближения, связанные с уравнением (2.э). Гл. 2. Волны п уравнения первого порядка 2.1. Непрерывные решения Один ва подходов к решению уравнении (2.2) состоит в следующем. Рассмотрим функцию р (х, С) на (х, С)-плоскости и обратим внимание яа то, что рс ( с (р) р„представляет собой полнуго производную фужгцигг р ндоль кривой, которая в яагкдой своей точке имеет вавлон д* — = с (р) дс (2.3) Вдоль каждой ириной, лыкащсй на (т, С)-плоскости, можно рассматривать х и р нак функции от С, так гмо полная производная фунгсщсг! р равна др др д др сп дС+ Ю д. Использования символа полной произвагшов достаточна для ныделения случаев, когда х и р рассматриваются кан фуницин от С вдоль вевоторой кривой; введение для каждого такого случая новых обозначений в конце копцов становится неудобным.
Рассмотрим теперь кривую Ф на (х, с)-плоскости, удовлетворяющую уравнению (2.3). Конечно, такую кривую нельая заранее найти в явном виде, поскольку уравнение (2.3) содержит неизвестные вам значении р на этой кривой. Однако ее рассмотрение приведет нас к одновременному построению воаможлой кривой Ф и ршпежся р на ней. Иа выражении длн полной производной и из уравнения (2.2) получаем, что на втой кривой (2сй) Прюьде нсехо заметим, что на Ь функция р сохраняет постоянное значение. Отсюда следует, что и с (р) остается постонниой на В, и, следовательно, кривая Ы нз (х,'С)-плоскости представлнет собой прямую с наклоном с (р).
Таким образом, общее решение уравнения (2.2) сводится н построению на (х, г)-плоскости семейства прямых, каждан на которых имеет павло» с (р), соответствующий значению функции р ка ней. Это легко дслаетсн в любой конкретной задаче. Возьмем, например, задачу с начальным условием р = ( (т), с == О, — со ( х ( сс, а обратимся к (х, с)-диаграмме на рис. 2.(. Если какая-либо прямая Ф пересекает ось От в точке х =- 5, то р = 7 ($) на всей этой орямой. При атом наклон данной прямой равен с (Я)), что мы будем обозначатьчереа Р ($). Таням образом, Р (ф) явлнетс» навжч ной функцией от 4, вычисляемой при помощи функции с (р) ив 2.1.
Непрерывные решенв» асходного уравнения в функции С (3), вадавной начальным условием. Уравнение кривой и имеет вид х = 5 + Р (к) С. Оно выделяет твпичпую нривую, причем вначение функции р на ней равно ( (ф). Меняя параыетр Е, получаем все семейство криных (2. 5) р = — ( (6), с = Р (6) = с (( (5)), каждая иа которых описывается уравнением х= 6+Р($)С. (2.6) Теперь можно иамекить точку хранил и рассматрвлать формухы (2.5) и (2.6) как аналитическое выражение для решения, пе ее- С Са Рас.
2.1. Д жравиа тара» ервствк Лая неаавейвпх волн. висящее от конкретного способа построения. Зто аначит, что велиснна р определяетсн равенствами (2.5), тде $ (х, с) венвло аадастя уравнением (2.6). Проверим, что ети равевстна действительно жределяют решение. Ив (2.5) имеем р =Р(5) 6о Р.=-Р(5) 5., т дифференцируя по я и С равенство (2.6), получаем 6 = Р (6) + (1+ Р' (Ц С) Бп 1 = (1 + Р'(и С) йю гл.
2. Волны и уравнении первого порядка Следовательно, дФ) бй 1'(4) 1»-Д бй«' Рв 1+Г'й)1' (2.7) откуда р, + с (р) р„= О, поскольку с (р) = Р ($). Начальное условие р == 1 (х) выполнено, гаккаи С=хприг=О. Кривыс, вспсльаоваиные прв построении этого рмпенвя, являэпся харакш«ритмиками рассматриваемого уравнения. Аналогичные характеристнви играяп ваягную роль во всех вадачах, чвяааг«ных с гиперболическими дифференциальными уравнжшями. В общем случае решение не обяаательво остается постоянным 'Фас.
2.2. Окржввмваюжаясл вове». Пестро«вк яр«фала, ссо«эстствуюжве кок«вт»м эр«кекс С, 1«, »в, 1» (ск. рве, 2.1). вдоль харавтеристик. Этп имеет место в частном случае уравнения (2.2), но ве является определяющим свойством характеристик. Общее определение будетдаио кнк«е, а пока что нам удобно навивать характеристиками кривые, эаданные уравнением (2.3). Основная черта волнового вронесса ваключается в том, что некоторое характерное вовмущение двив«ется с конечной скоростью. Для гиперболических уравнений это явление свяаано с характеристиками.
Каждая характеристика в (л, 1)-пространстве описывает некоторую волну в л-пространстве, а поведение решения на характеристике соответствует идее переноса этой волновой информации. В этом плане равенства (2.4) можно трактовать как утверждение, что равчичные вначения р «раснространяются» со скоростью с (р). Действительно, решение в момент времени 1 можно построить, передвинув каждую точку на исходной кривой р = = 1'(л) на расстояние с (р) 1 вправо, причем ати расстояния рааличны для равлвчных аначеинй р. Это покавано на рис.
2.2 для случая с' (р) ) О; соответствующие моменты времени отмечены ла рис. 2дй Зависимость с от р приводит к типичному нелинейному 2лС Непрерывные решения аффекту< искажению профиля распространяющейся волны. При с' (р) ) О большие аначевии р распространяются быстрее, чем малые. При с' (р) ( О болыш<е эначения р распространявыся медленнее, чем малые, и искажение волны имеет вид, противоположный ивображеиному на рис. 2.2.
В линейном случае скорость с постоянна и волна перемещается на расстояние сс беа иамеиения формы. Ив рис. 2.2 видно, что наши рассуждения далеко ве полны. .!юбал сжимающаяся часть волны, у которой скорость распространения является убывающей функцией от х, обяаательио «опрокивываетсяа, давая треханачпое решение р (х, 1]. Опрокидывание начинаетсЯ в Укаэанньп< н» Рис. 2.2 момент вРемени1 = сэ, котДа ва профиле р впервые появляется топ<а с вертикальной касательной. Аналитическое реп<ение (2.7) подтверн<дает вто и поэволяет опредсчать время начала опрокидывания та. На кан<дой характеристике, на которой Ун (6] (О, проиаводвые р„в р, обращаются в бесконечность, когда 1 ш<ц Следовательно, опрокидывание впервые происходит на характеристике $ = э в, для которой Р' ($) ( О и )с"'(в) ( принимает наибольшее эначение; при этом время начала первого опрокидывания равно (2.8) За развитием втото продесса можно проследить и в (х, с)-плоскости.
Сжимающаяся часть волны с Р' (Ц ( О имеет сходящиеся характеристики; посколы<у характеристики являются прямыми, то они в конце концов пересекаются, как на рис. 2Л, обраауя область, тде решение мвшоаначна. Зту область моя<во рассматривать как складку на (х, 1)-плоскости, состоящую вэ трех листов с рааличными ввачениями р и» каждом иэ шп. Границей атой области является огибающая характеристик. Семейство характеристик определяется уравнением (2.6), где $ — параметр. Условие пересечения двух соседних характеристик 5 и э + 6э в некоторой точке (х, 1) состо<г< в том, что равенства х = $ + р (и с и х = 5 + 6$ + Р (Э + 6$) 1 выполняются одновреыенно. В пределе 6$ -ь О они дают в=6+у(Ц( и 0=1+У'(Цс, т.
е. неявные уравнения огибающей. Второе ив атих соотношений указывает, что огибавацая образуется при 1 ) О теми характери- Гл. 2. Волны и уравнения первого порядка стиками, ндя которых Р' (и) ( О. минимальное вначение 1 на втой огибающей достигается при вначении с, для которого — Р' ($) имеет наибольшее еначение. Это ареал начала первого опрскидыванин в соответствии с равежтвом (2.8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
