Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Если Р' ($) непрерывна, то стибаюшаа имеет ааостРение пРи 1 = а„, 5= $в, как можно Усмотреть ва рис. 2.1. с=с >с, с=В Рас. 2.3. Цеатрироаавиев а с тея с аахлесгиаанвею В предельном случае опрокидывание происходит, котла исходное распределение имеет раарыв, причем ввачение с (р) аа точкой раарыва больше, чем перец ней.
Если мы имеем исходные функции (ро х)0, У(~)=~ с,=-с(р,), х)0, Р( )= с,=с (р,), х(0 с с, ) ст, то опрокидывание наступает мтновеивс. Это покававо на рис. 2.3 для случая с'(р) ) О, р, ) р . Область мвоговначности начинается пряно изначала координат и ограничена характеристиками х = ср и х = с,с; граница уже не имеет ааострения, поскольку функция Р в ее проиаводные имею* раарыв. Однако наш случай можно рассматривать как предел последовательности сгла- 2.1. Непрерывные решения жекиых ступенек, причем точка начала опрокидывавия приближается к вачалу координат по мере того, как исходный профиль приближается к рвврыввой ступеньке.
дй( С другой стороны, если исходная ступевька соответствует расширению (с, < с>), то существует вполне пригодное непрерывное с=с, с=-с> се, Рве. 2.4. Цев рврсваввав ваала расшвренвв. >ешевие. Его можно получить, переходя в равенствах (2.5] и (2 6) > пределу, в котором все свечения Р, ваключевные мюкду с, и сп >рпяиваются ва характеристиках, проходнцих>через начало каор>ипат.
Зто соответствует вееру характеристик ва (х, С)-плоскости, гак покаааво иа рис. 2.4. Ее>клал характеристика атого веера >мест свой наклон Р,во все опи имеют одно и то >ке авачевие Е Рувкция Р имеет вид ступеньки, ко мы испольвуем все ввачевия ", заключеввые мел>ду с„и см и считаем, что всем втвм вначенивм >твечает $ =- О. Решения уравнений (2тй) и (2.6) в стол> случае шеют вид с=Р, х.=Р> прис,<Р<с,.
4свлючая Р, получаем простое явпое выражение для с с= —, се« вЂ” с>. г Гл. 2. Волны и уравнения первого порядка Полное решение для с имеет вид ( с«, с«(х/Г, с= ~х/г, с«<х/г<с„ с«, х/г ( с«. (2«й) Решая уравненве с = с (р), определим р. Для сжимавнцейся ступеньки с с, ) с, веер па (х, /)-плоскости «выворачивается», что приводит к вахлестыванию, ивображенному на рис. 2пй В болыоинстве фивических аадач, в которых встречается вто уравнение, функщхя р (х, Г) япляется плош«остью некоторой среды и по самой своев сущности одновпачна.
Поэтому, когда яачииается опрокилывапие, уравнение (2.2) перестает правильно олив»жать фиаичесипй процесс. Даже в случаях, подобных волнам яа воде, где многовначное решение для высоты поверхности можно по крайнев мере интерпретироватго окаеываетсв, что уравнение (2.2) ие подходит для списания процесса. Дело в том, что какое-либо иа предполшкекий или првблвжевных соотношений, лежащих в основе уравнения (2.2), перестает быть спрапедливым. В привцвпе следует вернуться к фваической постановке аадачи, посмотреть, что неверно, и вывести исправленное уравнение.
Однако, как мы увидим в дальнейшем, окавыиается, что предыдущее решение можно спасти, допустив наличае раарывных решений; в етом случае вместо многоаначного непрерывного решеияи будем иметь одно»ночное решение с раарывом первого рода. Данная процедура требует некоторого расширения математического понятия «решения» уравнения (2.2], поскольку, строго говоря, функпия р не имеет проиввопвых в точках раарьша. Такое расво«- рение осуществляется при помощи понятия «слабого решения». Важно со»пава«го однако, что в действительности дело ааклшчаегся ие просто в математическом расширении понятия реп»ения уравнения (2.2]. Нарушение непрерг«внести решения снявано с нарушением некоторого фиаического приближенного соотяовгения, и оба ети аспекта следует рассматривать одвовремеяно.
Окавывается, например, что существуют весколы<о подходящих с математической точки врепия семейств разрывных решений, причем вопрос о единственности можно реп«ига, только обратившись к фиаической стороне вадачв. Ясно повтому, что нельея двигаться далыее, не обсудив предварительно некоторые фивические проблемы. Первоначальное раавитне теории свявано с нелинейными волнами в ганах и обрааованием ударных волн. Если пренебречь вяакостью и теплопроводностью, то у уравнений гаваной динамики появятся опрокидывающиеся режения, подобные рассмотренным.
В тст момент, когда градиенты становятся большими, т. е. перед началом опрокидывания, аффектами вявкости и теплопроводвости уже нельая пре- зй 2.2. Кккематические волны небрегать. Эти аффекты могкно включить в улучшенную теорию, и волны в етой теории не будут болыпе опрокидываться. Имеется увкая область, ударная волна, в которой вязкость и теплопроводность играют решающую роль; вне ударной волны вявкостыо и теплопроводностью можно по-прежнему пренебрегать. Параметры течения реако иаменвются в области ударной волны. В расширенной теории беа вявкости вта область идеаливировавно представляется, поверхностью раврыва, и остается добавить лишь условия ва раарыве, свяаывающие скачки еначений параметров течения.
Мы подробна изучим рааличные стороны втого явления. Однако гаасвая динамика не является простейшим примером, носкольку она описывается уравнениями высших порядков, так что мы сначала обсудим основные идеи на примере более простых вадач первого порядка. Следует тем не менее поынить, что перноисточником стих идей явилась гааовая динамика и что мы нарушаем хронологический порядок. Основы теории были ааложевы Пуассоном [Ц, Стовсом 121, Риманам И!, Зрпшоу И!, Раввином [[1, Гюгонио [11, Репеек [[1, Тейлором [11 — весьма впечатляющий список. Время, которое на вто потребовалось, покавывает, что свявать воедино рааличные стороны явления окавагюсь довольно сложным делом. 2.2.
)ьинематические волны Во многих задачек о распространенна волн рассматривается непрерывное распределение какого-либо вещества или некоторое состояние среды и (в одномерном случае) можно определить шютнссть р (х, Г) на единицу длины и расход Ч (в, Г) в единицу времени. Далее можно онределить скорость течения о (х, Г) равенством е и= —. Предполагая, что исследуемое веществе (или отстояиие среды) сохраняется, можно считать, что скорость изменения его полного количества в любом интервале хг ) х >х, деглана ксмненсироваться суммарным потоком черве сечения х, и хм т.
е. ю — ~ р(х, г)гЬ+д(хь г) — д(х„г)=0. (2ЛО) Если р (х, [) имеет непрерывные проиаводные, то можно перейти к пределу я ве и получать закон сохранения —.1- — = Гь др дд дт дв (2Л[) 32 Гл. 2. Волны и уравяевия первого порядяа Простейшая задача о распространении волн получается в том случае, когда, исходя иэ теоретических вли ампирических соображений, можно постулировать (в первом врибли>кении() некотору>о функциональную свяаь между у и р.
Если эту свяэь аапнсать в вж>е (2 1«> 2 = (> (Р) то уравнения (2.11) и (2Л2) обраауют полную систему. Произведя подстановку, получим р Ч с (р) р = О, (2.13) где (2.14] Зто приводит вас к уравнению (2.2), общее решение которого дается формулами (2.5) и (2.6). Наличие опрокидывания ваставляет нас пересмотреть как математическое предположение о существонании проиаводных Функций р н д, тав и физическое предположение о том, что соотношение >) = 4> (р) является хорошим прибли>пением. Чтобы рааъясвить важность этих идей для дальней>пего раэвития теории, укажеи адесь несколько харавтернь>х примеров.
Мы вернемся к их более лодробвоыу обсуждению в гл. 3 после аавершения иапо>кения основных тм>реткческих идей. Забавный (и важный) пример свяаан с потоком транспорта. Раэумно предполонгить, что основные черты достаточно интенсивного потока транспорта можно получить, считая его непрерыв>п«м с набьчюдаемой плотностью р (х, >), равной числу машин на единицу длины, н расхоцом у (х, >), равным числу ыашав, пересекающих черту х аа единицу времени. На участке шоссе беэ въеадов и съеэдов машины сохраняются( В силу этого мы имеем равенство (2.10).
Для даик<ения траягпорта рааумяо также считать, что расход у определяется главным обрааом локальной ш>отностью р, и в качестве первого приблнжс>шя предложить сущеспюванне эависвкости (2.12). Такис функдиояальпые сооююшепия научались и в какой-то степени были устаноплены рядам инженеров-транспортников. Теперь л>ы можем применить иэло кенвую выше теорию.
Ясно, одяано, что в атом случае при воанккновепип опрокидываявя нет недостатка в причинах, объясняавцих возможную неадекватность предпосылок тм>рив. Несомненно, предположение д =- 4) (р) является весьма упрощенным ваглндом на очень сложное явле>п>с. Например, если плотность иаменяется быстро (нак ато имеет место аблиаи начала опрокидывания), следует ожидать, что водители реагируют не толы>о па локальную пложюсть; следует ожидать также, чтп проходит некоторое время прежде, чем онн соответствующим обрааом среагируют иа иаменевие обстановки. Можно усомниться и в самом предположении непрерывности.
2.2. Кннематичесьпе волны Другим примером являются паводковые волны в длинных реках. Здесь р заыеняется площадью А поперечного сечения, зависящей от х я г, когда уровень воды в реке поляимается. Вели д— суммарный расход через данное поперечпое сечение, та аависимость (2.10) мшкду А и д выражеет ааков сохравония количества воды. Хотя течение жвдкостн описывается чроавычайво сложным образом, кажется естественным начать с функционального соотношения д = () (А) как первого приближения, выражающего увш личгние расхода прн повышении уровня воды. Такие эмпирические соотношения действительно выводились,исходя ив наблюдений на разлнгных реках. По опять ясно, что это предположение является сверхупрощекием, которое придется иамепить прн возяпкновевии каких-либо неприятностей в теории.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
