Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 15
Текст из файла (страница 15)
При т Ф О воамо>киость обращения в куль выражения» — А»т/р» приводит к новым эффектам. Р=Р> Р=Р» Рэс. 5.5. Струи ур» к»лрсрываоа ударила исаак. Как и раньше, кас интересуют решояия, ааключсяиые можду э» при Х вЂ” — +ос и р» при Х .= — сс. Зги виачекия будут нулями оравой части уравпекия (3 16).
Для потока траиспорта с' (р) = = л> (р) (О, так что р» ( р> и правая часть положительна при >» ( р ( рг Если к этом интервале выра>ксене т — А»т/р» остажся положителькым, то р ) О и получается гладкий профиль, иэображевкый яа рис. 3.5. Б силу равенства (3.14), условие поло- 3.1. Поток транспорта 81 жительности т — Астарт иояшо зависать следующим обрааом: т)(о — (Г)зт, т.о. о — угт,т(П(об )гтт. (3.17) Г!о виду это условие напомннаот линеарязованный критерий устойчивости (3. 7), где с„заменено локалькогд скоростью г, а сэ заменено скоростью ударной волны П. Вак и (3.12), его можно рассматривать ьак прелупрежденяе об осложнениях, возмо;кных в случае, Р=В Рас. З.Ь.
Структура хлорной волны с анттрекапм разрывом. о,— У'"т(т(сг(от+(~ т,'т, о, — 'Угтут ( ст ( от+ Рг тот. (3.18) В общем случае возможно, что этн условия выполняются, а условие (3.17) все же нарушается. При этом выражение т — Атт!р» меняет в переходной области знак, как показано па рис.
3.6, н однозначный непрерывный профиль не может существовать. В оольшинстве задач о структуре ударной волны, когда профиль «поворачивает яазадэ, ои спрямлястся введением подходящего разрыва. Строго говорн, эта ситуапия опять соответствует нарушению предположений, лежащих в основе описания процесса на данном уровне. Однако введение разрыва, савмесшкмаго с осноеними урааясяоали в пнтегральяой б(армс, позволяет избежаш более строгого исследования эффектов вающих порядков. В случае уравнений (3.2) н (3.3) не ясно, какие законы сохранения првгодны для вывода условна на раарыве плн ~такие дополннтельнме эффекты следует учесть.
Можно ожидать существования раарьгвного профидя, иаобрзженного сплошпой кривой на рис. 3.6; но в этом случае не ясно, как получить точное описание разрыва. В других случаях, которые будут обсуждаться ниже, детальное исследованио моя:но довести до конца. Здесь следует подчеркнутго что разрывы, получающиеся в простой теории, описываемой когда скорость ударной волны выйдет на интервала, ограниченног- оо скоростямп сигналов высшего порндка. Однако это не обяза- тельно приведет к неустойчивости.
Устовнн устойчивости равно- мерного нотона на ~ со имеют вид 93 Гл. 3. Конкретные аадачи уравнением р, + с (,),„ = О, в более строгой теерии не всегда удастся ааменить непрерывной переходной областью. Замечание о йисяретяых подсыл Большав работа была проделана по изучению дискретных моделей, в которых движение ~г-й машиюв зависит от дви;кения остальных ыагвин (см., яаприыер, Пьюолл (1) и приведенные з этой статье ссылки на более ранние работы).
Пусть координата л-й машины в момент времени г равна з„(г). Обычно продполагают, что закон движения имеет внд .т„(г 4- Л) = 6 (з„г (г) — .та (г) ), (3.19) гдо з„— снорссть, й„=- т„, — а, — итпервал, а Л вЂ” время, характеризуя~шее реакцию водителя.
Если функция 6 (А„) выбрана линейной по )г„или уравконие линеаризовано для изучения мальм флуктуаций вблизи равномерного дввяюния, то рошепие батино получить прн немощи преобрааоааиия Лапласа. В общем случао, однако, приходится обрюцаться к численному анализу. В таких моделях внял~нкао коецентрируется на движение кане дой отдельной машины; в них используютсн масштабы, иные, чом в непрерывной модели, в которой слолпюе поведение эсен совояупностн машин характерпвуется фунющей () (р] и параметрами т и т. Но каждая двскретвал модель приводит к конкретному виду этих величин, что мов;ет оказаться полеаным при обработне результатов наблюдогшя.
Кроме то~о, тапио хюдови могут приводить к дополпвтгаьньтм зффентам, которые кельая заметить в непрерывной модели. '!тобы установить соответствие между дпснретной модельнь основывающейся на уРавнении (3.19), и непрерывной молельна отьтетил~ связь между 6 (й) и 6 (р). В однородном потоке с одниъ~и и теми тке шпорвалами й все скорости одинаковы и в соответствии с (3.19) определяются соотвошением и .= 6 (й). Посяольку й = =-. 1/р, с =- 1(р, функция О (р), входящая в нетрерывные уравнения, равна ч' (р) = 96 (1/р).
Если имеется ампиричесная или какая-либо другая информация > 6 (й), то ее мокше перевести в информацию о () (р) при р яа рв Конечно, при более низких плотностях величина () (р) будет друой из-аа обгона с переходом на другую полосу. Распространение волны, которое описываетсн уравнением (3. 19) г в котором дэви<ение впереди идущей машины перццается после- 83 3сй Патшл транспорта довательно на»ад по потоку, должно быть конечно-рэзностным вариантом реаультатов, описанных выше для континуума с укааанным выборам функции С (р).
В конечно-раэносткой форме (3.19) садоржатся текиле эффекты высшего порядка, эквивалентные аффектам, учтенным в уравненпи (3.2), и можно провести подробное сравнение. Если положить и (1) = » (1), »„, (1) — »„(1) =- Ь (1), (3.20) хо уравнение (3.19) будет эквивалентным двум уравнениям и„(сф Л) =С (А„), (3.21) — „' =- и„л (1) — и„(1). (3.22) Теперь ввадем кепрарывныс функции и (х, 1) и Ь (л, 1), танис, что и (»„ С) = и„ (1), (3.23) Ь ( ' '~ ", 1) =А„(1), (3.24! 1»л+иА =Аи„, лде л= 2 (3.26) В этом уравнении ошибки имеют третий порядок по Ь (в силу целприроваиия Ь в средней точке (»а, -1- »„)12), так что оио верно и в первом к во втором порядках.
В переменных р = 11Ь, У (р) -= =. С (Ь) уравнения (3.25) и (3.26) принимают вид ф(ил-Рли,)Л=~ (р)+ —,— Вы 1 1" (и) Р (л, + (ри)„— О. В нивпюм порядке по Л н Ь будем иышь и = У (р), р + (ри)„= О, (3.27) (3.28) и, считая величины Л и гл„мальши, перейделл к соответствующни уравнениям в частных нроиаводных. Уравнение (3.21) можно переписать в виде (» (1 Р Л), с -~- Л) — —. С (Ь ( „-г »1» ~, О) и прибчнженно ааменить уравненнем и -)- (и, -( ии„)Л = С (А) -~- »1» ЬС'(Ь) А„, где все функции вычпслнются при х== »„(1) и оплибки имеют порядок Л» и Ь». Уравнение (3.22) »южно переписать в видо — „" ь ('"-л+'", 1) =и(». „1)-и(»„, с) и прнблия:енио семенить уравнением Гэь 3.
Конкретные задачи что в точности совпадает с уравнениями кинематичсской теории. Разности подобраны танин обрааом, что поправки следующего по- рядка аставлянк неиамепным уравнение сохранения (3.28). Уравнен««я (3.27) и (3.28) будут эквивалентны уравнениям (3.2) и (3.3), если положить т =- Л, « =- — '/, 1" (а). Посколы«у 1' — с = — рр' (р), критерий )ттойчг«вост«с (3.7) мож- но записать в заде 2р ( Р'(р) ) Л ( 1, илг«, в эквивалентной форме, 26' (Л) Л ( 1. Пиенна ато условие была обнаружоно в дпскркнпы«тюделях патака транспорта (Чэндлер, Херман и 3(о«прог«л !1); Коневтани и Саса- ки И)).
Лнагсогичныз~ образом структура ударной волны, научен- ная вами на основе уравпшшя (3.2), должна быть близкой к струк- туре, полученной Ньюэдлом (Ц на основа уравнения (3.19). Одно яа явченнй, которые нельзя описать в непрарывной модели, это столкновение машин. В цепочке, описываемой уравне- нием (ЗА9), это происходит тогда, когда «, г — э„умакыпается да длины машины Е. В частном случае уравнения а„(с + Л) = (г„, (с) — э„(с) — Ц, нагорав решается при помощи преобразования Лапласа, можно проверщь.
гго критерий отсутствия столкновений имеет вид оЛ (1/сс эта насколько сильнее критерия устойчивости 2пЛ ( 1, полученного выше. Подробный анализ этих условий завел бы нас слишком далеко, и мы отсылаем читателя к обсуждению вопросов локальной устойчивости в статье Хермана, Монтролла, Поттса и Розери [1). 3.2. Паводковые волны Для паводковых волн в ревах «плотнастьюэ в смысле об«лей теории, изложенной в гл. 2, служит площадь поперечсюго сечения реки А (х, С), измеренная в точке х в момент времени С.
Вели расход через ато сечение равен д (х, С) в единиду времени, то заноя сохранения имеет вид — ) А (х, С) г(х -1- д (хо С) — д (х«, С) = О, 3.2. Паводковые волны 85 илп, в дифференциальной форме, — + — =О. дА дт д» д» (3.20) Течение в реке, очевидно, настолько сложно, что»побая моделыьтя второго соотноп»ения между д и А оказывается чрезвычавно приблив;виной н дает лишь качествевныс эффекты и порядон величин дчя скоростей распространения, волновых профилей в т. д. Однако наблюдонин ао вреыя лгедлеяных изменений уровня рени вес»ке можно испольвовать для установления зависиаюстн ме»кду глубиной, площадью А и расходом д.
Такие наблюдения дают эмпирические нривые для функцни д=Е(А,.) (3. 30) в стационарном потоке. Это соотношение можно объединить с уравнением (3.29)и получить первое приближение для очень медленно меяяющегося нестациоварного потова, а ииенно эл дд ел вф е» ЗА Э (3.31) Ыы снова получили уравнение, обсукдавшееся в гт. 2, причелг скорость распространения возмущений составляет ад « эд дА Е да ' (3.32) (Второе выражение содержит ширину Ь п глубину Ь, причем ИА = Ь АЬ.) Это формула !»лайца — Севдона лля паводковых волн, впервые, по-вкд»шаму, установленная Клэйцем ((858 г., не опубликовано), а подробно изученная и успешно использован- ная Седдовом И). Эмпирическое соотношение (3.30) можно сопоставить с простой теоретической моделью. Это соотношение отрывает равновесие ме»иду силов трепля о дно реки н силой тяжести.
В теоретических моделях сила трения обычно предполагаежя пропорциональной ез, где с — средняя скорость, г = д/А, А Зашя э= Сг / Аэ тз»вя у я (3.33) а также пропорциональной «смоченномут периметру Р поперечного сечения в точке л. Танин обрааоч, эту силу, отнесенную к единице длины рени, мо»кио записать в виде р СгРс», где р«вЂ” плотность воды и Сг — коэффициент трения. Сила тяжести, отнесенная к единиде длины, равна р,дА 3!па, где а — угол наклона поверхности воды. Отсюда Гл.
3. Конкретные задачи «С»юченный» пери»ютр Р является фуннциев от А; Сг тенже может зависеть от Л. Длн широких рен Р мало меняется при пзмененли глубины реки и может считаться постоянным. Если Сг н а таня е принимаютсн постоянными, то из равенств (3.33) следует запои !!)ези А ~', () Лнц Тогда скорость распространевнн зоам)чцения опроделяется как и, й 3 г= — (оЛ)= о.', А — '= —;э.
лл = ' ел=а '' В более общем случае Р и Сг представляют собон фулкцни от А и степенной закон зависимости для них дает с А", С А' " с другим поназателем степени я. Иапример, для треугольного поперечного сечения Р А»г» и»г — — '1»; закон Манинга Сг ьь с А и» приводит к я =- »1». Для всех этих степепнь»х законов снорость распространения возмущеяня рав»ж с = (1 ц- >г) о.
Как и с»гедова»го ожидать. паиадновые волны перемещаются быстрео, чем вода, во их снорость распространения не может намного превышать скорость воды. Севдон обращает этк вычислении и использует свои наблюдения за скоростью распространения возмущения длн определения эффективного сечения русла, т. е. завиеимоств Р от А. Это ценная идея для всех задач о квяенатнческих волнах: использовать наблюдения за скоростью распространения с для установления зависимости иежду д п р. Если опустшь зависимость (» от з, то уравнение (3.31) сзодвтся к А, + с (А)А„= О и можно использовать общее решенне вз гл.
2 с разрыва»»и, на которых вьпюлняется условие е» вЂ” ж А» — А» ' Для степенных законов, предложенных вьпле (и подтверя»дает»ых наблюдениями), с(А) — возрастающая функция от А; следоваткть»»о, волны„евязаяные с возрастанием высоты поверхности, опрокидываются вперед и разрыв несет увеличение высоты, тан что А,)Ае Вфр»еяшы евшие»о порядка Как и в других рассмотремяьш примерах, уточнение вида связи мея»ду р н А в соотяоп»енин (3.30) затрегнвает производные высших порядков. В вестадпоиарном потоке сила трения и сила тнжести не уравяовешиваются нолностыо и их равность пропорцио- 3.2. Паводковые волны иальна ускорению жидкостя; разница между наклоном поверхности воды и наклоном дна также влияет на результат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
