Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Результат таков: (а г) — пы о ргя.~-(гв — Г) р"ги То, что решение должно иметь вид --) -',)(,*-„Ф) можно было предсказать, исход» из соображений размерности. В вада гу входят только два раамервых параметра А и т, оба имеющие рааьзерпость бау ', иет отдельяых параметров с раамерностью длины и времени, которые могля бы служить масштабами для л и С по отдельности. Когда Л О, следует ожидать, что диффузия доминирует вад неливейвостью. При Л (( 1 знаменатель в (4.30) равен у' я->0(Л) равномерно по л, г, т; поэтому с можно приближенно представить в виде 4,4. Одиночный горб 107 в виде с = гг — 3 (х, Н), / 2А ри — 0 гв 4/я+Он — О ) с 1'гб ° )гй х г==. )/ 2лг Рассмотрим теперь поведение фуикдии В при Н -» со для раалич- ных интервалов г. Во всех служях г" — 1 поясно приближенно заменить на е", полагая я11 ,»1 1 И 2 Р' — а — „а ,-1 г *1/й (4.33) Если г ( О, то интеграл стремится в с-1»3~=$/я. ) следовательно, В -» О по крайной мере кав 11"т' В.
Если х > О, то интеграл становится малым и можно иснольаовать асимптотическое равенство е 1»Н4ж —, при 1] -ь ю. Следоватлльи, а- р, * „„,1, ~О, В . 14.34») 1-';.2» у' яя са1* 0 При 0 (х (1 имеем р х, 0(х<1, Я-то». 14.35) Если же г ) 1, то б — » О при Л -» о». Таким обрааом, д -т 0 всю- ду, аа исилючениом интервала 0 ( г ( 1, в котором у г. В ис- ходных перемевнмх атот реаультет записывается так: à — * при 0(х()Г2А1, с 0 в противно»с случае. Это и есть соответствующее реюение уравнения (4.4) с раарывом в точке т = Р' 2А1. Скорость ударной волны равна У = )с А1121), Гл.
4. Уравнение Бюргерса а с меняется скачком от нуля до )/ 2А/г, хак что условие ва раарыве (4.5) выполвово. То же самое вырви<екпс (с ср — -- О, согласно привятому выюе соглашевию) было получеяо в (2.52) для асиьштотического поведения решения уравпепия (4.4) в случае одивочноп/ горба произвольной формы. Там была асиьштотвка в другом смысле, исследовалось поведепие решения прп Г ое в рамках овисавия, даваемою уравнеииеы (4.4). Для начальных условий в виде 6-фуккции подобная асимптотика получается немедленно. Разрыв заходится в точке г = 1, и для больших, во конечвых Н вырви/ение (4.34) дает быстрый переход от эг/спопенциальво малых апачевий при х > 1 к б г при а < 1. В атой переходной области ударной вовки х ш 1 (4.34) можно приблюкенно переписать так: 1 — ° — хв/ -П т (- г у' ал (4.36) В исходных переменных получаем / г / 2А — 1 ткв 1фехр ( — )/ — (х — )/тв/)+ — /а — Г (,ат) 2 Зто согласуется с профилем ударной волны (4.23) при с, — с, = = "у/2АРО причем с точностью до милых первого порядка разрыв расположен в точке х .= )'2А г.
В силу (4.36), ширива атой переходной области имеет порядок 0 (В '). Существует другая переходная область (с менее резким переходом), которая расположена вблиаи точки х = О и в которой сглаживается разрыв производной между д — О при х ( О и б — а при О (а (1. Из (4.33) следует, чш втой переходвоя области соответствуют значения х = 0 (Л '/'), и в атом случае (4.33) можно приближенно представить в виде К (4.38) 2)/Я ) ген( *)/н В исходвых перемеввых имеем а/и Ф/ сии р/— (4.33) г д( */т/ьм Вид етого решевия для больших аиачелий В изображен ва рвс.
4.1, где построен график у (а) су/Г/(2А) в зависимости от а. '4.6. )У-волна При Л -ь ое переходная область ударной волны переходит в линию раарыва для с, а переходная область около л= О переходит в лини»о раарыва для с„. В беэраэлгерных леремснвых у и е этот профиль не аависит от г. Следовательно, если начальныэ условия .(гну) рэ д-гг'г Рнс. СЛ. Рсн енсе урсенення э«сигар«а е нале треугслвнса волны. обеспечивают достаточно большое аначепие Л, то ударная волна остается достаточно слабой и раэрыаная творил (4.4) дает хорошее приближение длл ссся г. Это верно, несмотря на то, чло интенсивность ударной волны пропорциональна )г 2ЛЙ н стремится к нулю при à — е- сс.
В данной свнэи следует подчеркнуть, что площадь обчасти меж- ду профилем и осью абсцисс оетаетсн ноотонвной даже при учете диффуави, поскоггьку — ~ сдх=.~тс.— —,' се~" —.:О. Поэтому «эффективное» число Рейнольдса, онределяемое как — ) се(г, остается постоянным длл всех г. Следующий пример покааывает, что более типична ситуация, когда в еатухвющей волне днффуаия в конце концов преобладает, и что одиночный горб янляетсн в атом отношении исключением. Последние примеры, которые мы рассмотрим, легче получить, подобрав сначала подходящие регпенвя гр уравнения геплопроводногли (4.7) и аатем подставвв их в равенство (4.6), определяющее с.
При атом в качеатве наводящего соображения можно испольэовать Гл. 4. Уравнение Бюргорса 110 идею, что с ведет себя кзк >р„. Так, в случае одино люго горба следовала бы ваять >р равным решеншо уравнения (4.7) с начальными условиями в виде ступеньки. Для того чтобы получить й'-волну для с, выберем в качеотве >р решение уравнения теплопроводности в виде функции источника: >р= 1+)' а(г с-жд>">.
(4.40) В силу (4.6), соответствующее решение с равно зчо з рге> е (4.41) ' 1-Р)г»' " лаш Поскольку >р при т -ь 0 ведет себя как б-функция, выражение (4.41) несколько ватруднвтельно интерпретировать как решение вадачн с(б'(зл!)ьч л >)->/з Рас.
4.2. Ргшенае ура>жеаа» Г>ар> ерс» з аале Л-залая. Ковш для с. Однако для любшо 1 ) 0 оно представллетсл графикам, изображенным па рвс. 4.2, с ноложвтельной и отрицательаон фзаамв, и в качестве начального профиля можно взять прорвав при >побои зваченви т =.та ) О.
Этот профиль типичен для решений вада й'-волны. Площадь положительной фазы профаля равна «Нз -= — 2ч (!и >р! а = 2т (в (1 -Р )' л>Г). (4.42) а Этрвцательнаа фааа имеет такую >ке площадь. Таким обрааом, > протпвопелол>вость предыдущему случаго площадь положнтельюй фааы стремится к нулю при С вЂ” >- о>. Кслн величину интеграла 4,42) в начальвыв момент времени >а обозначить через А, та можво >вести число Реввольдса Пе = — =!п (1 +)> о>>а). (4.4З) 4,5 Л-вочва Но с ростом вриаеив аффекшпаяма«числом Рейиольдса будет Л (г) = — ) сох= !л (1+)Гага), « (4.44) в ато число стрсмитслк нулю ври г — ь «о. Роли Л«Ъ 1, то можно ожидать, что «певяакая теория» (4А) — (4.5) в течение некоторого времени будет хорошим приближением, ио, поскольку Л (г) — » О при Г «о, в реаультате будет преобладать двффуаиовяый член.
В атом отношении давний пример отличается от предыдущего, в вотором аффективвое число Рейкальдса оставалось постоявным и ранныы исходному числу Рейнольдсе. Проверим теперь детали. Введя величины Л«п г«, получас»~ а=с«(сгв — 1)', поатоиу (4.41) можно переписать в виде (4.45) При Л«)) 1 (соответственно при 1» «ба) ато выражение можпо аппроксимировать следующим: — — *(1+1~ — 'с«>-ыа.~ ' (4.46) для всех х и г. Таким абра»ем при фиксированном г и Л« -«. со — — ) г 2А8 < х < $/2.4«, О, )а(>4г2.48.
Втот реаультат в точносгв совпадает спевяаким решовием. Однако для любых фш«спроаанпых с и т непосредствепво иа (4.41) видпо (в можно также проверить с помощью (4.46)), что с — ')г — е-""д«"«» при Г-»о», / а Т Т (4. 47) Вто дкпольное решение уравнения теплопроводвости. В последней стадии аатухаиил дпффуаия доминирует кад лвиейпостью. Следует, однако, помнить, что ага стадия аатухания ваступаег при чреааычайво больших аначевиях времеии, так что иевяакая теормя окааываегся приемлемой почти во жсй ивтересующей вес области.
Гл. 4. Уравнение Бюргерса 112 4.6. Периодическая волна ф.=(4ят)) '/а ~ ехр ( — (* (4А8) ~', И* — ЛУР) ехР ( — ( — Л)а/(атР)) Р (4.49) — — 2т —— ф ~'ехр(-.(. — «Л)адам)) Если Ла/(/гч)) )) 1, то жспонента с паимеиыиим аначением (х — лЛ)'/(4ш) доминирует вад всеми остальными. Следовательно, пРи (ю — г/а)Л < х ( (т + г/г)Л 6Удет домиииРовать член с л =ш и (4А9) можно приближенно переписать так: с и, (и — ЯЛ<х<(ш-) '/,)Л. Это волна пилообрааной формы с периодическими раерывами, распологкенными на расстоянии Л один от другого, и ва каждом раерыве с скачком меняется от — Л/(2)) до Л/(2)).
Данный реаультат гоглагуетси с формулой (2.56). /[ля научения последней стадии аатухания, когда Ла/(/гтг) (( 1, можно испольаовать другую форму решения. Выражение (4.48) является нериодическим по х, и в интервале — Л/2 (х ( Л/2 ~Р— г 6 (х) при )-ьб. Это начальное условие можно раалонРить а ряд Фурье тогда соответствующее решение ураннения теплопроводности для ф будет ф= — (1+2 ~' ехр ( — — „а ч)) соа — „"* /.
(4.50) ! Т)ернодическоа решение можне полу жтгч ваяв в качестве ф сово- купность титловых источников, расположенных на расстоянии Л одни от другопь Тогда 4.7. Слияние ударных водя 113 Можно проверить непосредственно, что это ряд Фурье длл функ- ции (4.48). Далее, аяг„г г аяв — ~~г ветр( — ж) агав 2гт„ с= —— в (4.И) 1+2 ~ гхг( — — „ж) сеа а яг п г 2 3ггм Коли тт(хг )) 1, то член ряда с п = 1 доминирует вад остальными, и мы имеем с —. ехр ( — — ) е(п —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
