Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 20
Текст из файла (страница 20)
лат / 4ягтг г . 2кг г ( щ ) ь ' (4.52) Зто решение уравнения с, = тс„„, и снова ва последней стадии аатухания преобладает диффуавя. 4.7. Слияние ударных вели Когда одна ударная волна иастигаех другую, они сливаютсл в едвную ударную аолву вааросшев инхенсивносхи, как покаэаво иа г-диаграмме рис. 2.16 для невяэкого решения (т — 0). Окаэыаается воаможным найти простое решение уравнения Бюргерса, описывающее этот процесс для проиавольного т. Решение для одиночной ударной волны дается формулами (4.23) и соответствующее выражение дли ю имеет ющ сж г)г =Пб)о ),--р~ — —.' + — ' — Ь.). 2т 4т 2)' 2т Г гя-~- ггя т я+я (4.
54) ПУсть с, ) сб тогда пРи х — г + оо пРеобладает)г и с — г- со а пРи х -г — со преобладает ), и с с,. Центр ударной волны расположен там, где )г = )м т. е. в точке л = г/г (с, + с,)1. Тенерь, поскольку каждая функция )г является решением уравнения теплопроводности, очевидно, можно добавляхь в (4.53) и другие члены и получать более общие ржпеиия уравнения Бюргерса.
Такие режения описывают вэавмодейстеующве ударные В формулах (4.23) параметры Ь, и Ь», определяющие исходное положенве ударной волны, положены равными нулю. Выражении )г и )„очевидно, являются решениями урааиенил теелопроводно- сги (4.7). Выражение для с имеет вид Гв. 4. Уравнение Г>юргерса 114 волны. Рассмотриы вдссь случай, когда «р.=-/« ~-/з+/з, 6«- 5»=О, йз= (4.55) «\/«-!- «/» р «з/з Бали т достаточно л«вло, то моп«но выделить переходные области между состояяивми с„с„сы эамечая, в какой ив областей доминирует соответствующая функция /. 1!ри с = О функция /, доминируех в интервале О ( х, функция /, — в интервале — 1 ( х ( ( О, а функция /з — в интервале х ( — 1.
Таким обравом, об- О х" х Ряс. 4.3. Савва«с««ззвся улар ве вовек. ласте пероходв от с«в с«расш«ложева ноэле х =- О, в от с, к сз возле х.. — 1. !!рн с) О области, в которы« с . с„с с„ с сз, можно найти таким же обравоы; результат ивображеп на рис. 4.3. В начальный периоц переход от сз к с, происходит там, тде /, =- /м т. е. в точке ,'(4 56) а переход от с, к с — там, где /, =- /, т. е. в точке = — '! — 1.
»+сз 2 !1оскольку «/з (с, -! с,) ) Ч, (с, + с,), вторая ударпан волна нвститает первую в точке (х*, !»), определвемой равенствами (4.56) и (4.57). В этой точке /« .= /« '= /». При с ) с* области, в которой преобладала бы функция /м ужо не существует и непрерывное решение описывает единую удар- ную волну с областью перехода от с, к с, движущуюсв со сноро- стыо з/» (сз -р сз) вдоль првыой х — х««» (С вЂ” !"), 2 (4.58) определяемой условием /, = /з, (4.57) Глава 5 ГИПКРВОЛИЧКСКИК СИСТКМЫ Бледующий шаг з распитии теории гиперболических волн снязап ° обобщением разнитих нише иден и иетодоз на системы нывшего порядка. Ряд предеарительиых замечаний ужо был сделан при рассмотрении разнообразных модификаций осноннош аолноного дни>кения, но аопрось<, непосредственна саязанные с зозможяостыо сущестаом эпя н системе пмсколы<их разлиппдх золнозых мод, были эатрояуты лишь мимоходом.
Теперь мы перендем к общему обсуждению этих зопросоа. Многие физические задачи призодят к системам каазилинейных урапнепий перао>п порядка. Такие уразнення линейны по проиааодпыы перного порядка от еааиоимых перпяенных,но нх коэффищ>енты ыогут быль функциями от занисимых переменных. Если такие ураапгния описыаают нолпозое деижепне, то эо многих аопросах можно рааобрагься, научая плоские волны, Учигыная гмо, мы пачпеь< со саучаа дау» кеэаеисимыл переыенных. Этими двумя переменными '>аэто яэлнются нремя и одп* прострапстненная координата, так что будем обозначать их череа > и х н испол ьзонать соотзгтстаующую терминологию, хагя на>пи рассуждения приыепимы к любым оно>сиам с дзумя незазисимьи<и переменпь<ми.
Если аанисимые перемекпыо обозна >ить через и, (х, >), > =- ..., и, то общая нзазилипеккая система перзого порядка будет иметь нид д> д, Ап —.-< ам — , 'б<=-.0, >-.-. )...., я. д< ' дэ (5.1) где матрицы А, н и аентор Ь могут быть' функциямн от и>,... ..., и„, а тз>оке от х и >. (Нано»<инеем, что адесь и ниже, если не огоаорено противное, азтоматически ирозодится оуммнрозаяие по повторяющимся индексам.) В этой глазе мы устаконим условия, при которых система (бА) янляется гиперболической, к обсудим некоторые общие следстаия гиперболичностн.
Будут сделаны отдельные краткие замечания о ситуации, которая нозникаег н случае нескольких щюстранстненных переменных, яо нют случай большого числа измерений будет расс» атризаться а оспонном применительно к конкретным задачам, причем будет оущсстзенпо использоааться то обстоятельстао, что а любой малой области двух- или трехмерные волны локально ведут себя как плоские. Гл. 5. Гиперболические системы Иб 5.1. Характеристики к классификация систем Ключом к решению одного уравнения первого порядка, как показано е гл. 2, служит использование семейства характерисхик в (х, с)-плоскости;сгвдоль важдой характеристики уравнение в частных производных сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению.
В некоторых случаях затем удастся нанти решение в аналитическом виде. Но в худгпем случае уравнение в частных производных сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с последующим пошаговым численным ивтегрированием. В любом варианте решение можно построить последовательным глокальнымэ рассмотрением малых областей; не обязательно вычислять сразу все решение в целом.
Это, конечно, соотвехствует основным вдаям волнового движения: за любой малый интервал времена па коведевие в выбранной точке могут оказать нлиякие только те точки, которые распелся~зим настолько близко, что волны от ннх успевают дойти вовремя. Поставим следующий вопрос: возможны ли такие локальные вычисления для системы (5Л)У Гели они возможны, то система является гиперболической н можно сформулировать соответствующее точное определение. В общем случае любюе иэ ураеяений (5А) включает различные номбинацив дпс/дг и дкс/дх для каждого ил Ото значит, что опо содержит информацию о скоростях изменения рэаличных функций ис в различных направлениях и нельзя получить информацию об этих скоростях для нсех иг в каком-либо едином направлении, Но мы можем провести различные нреобрээовавия системы и уравяений (5.1) и посмотреть, нельая лн получить такую информацию из какой-либо их комбинации.
Рассмотриы поатому линейную комбинацию С, (Лы м +ем с )+С;Ь;=О, (5.2) где вектор) — функция от х, Сии, и выясним, можно ли выбрать вектор 1 так, чтобы уравнение (5.2) приняло вид шс (3 —. +се — ) +ССЬс- О. (5.3) Если ато воэмоксно, то уравнение (5.3) дает связь между производными шсх ис по единому нанранлению (щ ()). В атом случае целесообразно ввести а (л, С)-клосиоств крввме, определяемые векторным полем (а, ()). Есле л = Х (ц), С = Т (т)) — параметричесиое представление одной из тамию кривых, то полная производная фувкцви иг вдоль эгон кривой равна С= Т ~2.) Х шг. сч Ф д 5А. Характеристики и классификация енотам Не теряя общности, можно положить а = Х'(Ч), () = Т'(Ч) и переписать (5.3) в виде т, — ~+ )гбг = О.
' гч (5.4) хславия того, что уравнение (5.2) можно представить в форме (5.4), имея1т вид ЦАп = гпгТ', ),аы = тгХ', и исключая тг, залучаем 1; (АмХ' — оиу ) == О. (5.5) Имеем п уравнений для множителей 1; и направления (Х, Т'). Поскольку они однородны па (н необхадншхм и достаточным условием существования нетривиального решения является обращенве в нуль определителя (АнХ' — нмт' ( = О.
(5.6) Это условие определяет направление кривая. Такая кривая называется характеристикой, а соответствующее уравнение (5.4) называетсн уравнением в характеристической форме. Каждое уравнение в характеристической форме дает только одну свяаь мюкду и производными функций ит вдаль саохветствующсй характеристики. Как мы увидим ниже, для возможности локального построения рыпення в некоторой малой„области требуется существование и невависимых уравнений в характернстичесной форме. Эта условие является основой определения гиверболической сисхюеы. Сначала, однако, следует отметить сравнительно слабое, но важное ограничение, наложенное на системы, к кошрым нримевимо ато определение. Ограничение касается матриц козффнциентав 1 и а.
Сраву видно, что одна из ннх или даже обе оин могут быть впрок<денными. Если анределнтель (А,г ) = О, то Т' == О является решением уравнения (5.6), а х-направление — характеристическим, если же ( оы ( == О, то Х =- О является решениеьн Г-направление — характеристнческнм. Несомненно, допустимо, чтобы оси были характеристиками, и атк возная<ности следовало бы включить в рассмотрение. Однако в некоторых случаях, когда обе матрицы оказываются выражденньп1и, системы так силька вырождаются, чта подобные возможности следует исключихь.
Эти две ситуации моя<но равличиттч проверив, устраняются ли трудности при повороте осей. Если беда лишь в том, по исходные осн совпадают с хараьтеристяками, то поворот осей приведет к вовой системе с невырожденными матрицами. Поворот осей 118 Гл. 5. !'вперболвческве системы заменяет исходные матрицы в (5.1) их линейными комбннацнямп. Следоватнлъно, соответствующее условие состоит в тоы, чтобы ( ЛАы-! рац ) Ф О (5.7) дшя некоторых Л, р, не равяых нулю одновременно, в не требуется проводить соответствующеепреобрааоеанве в явноы виде. Если условие (5.7) пнкогда не выполняется, то имеем вырожденный случай, который следует исключить.
В последнем случае все направлевня формально являются ларакхеристнческимн к все построения незаконны. Судя по прпмераъц прпведеннъ~м в следующем параграфе, системы, так сильно вырожденные, содержат лншпяе невавестные, исключение которых мотнет привести к системам с коэффпцнеатамн, уже удовлетворяющими условию (5.7). Учитывая это ограпвченнг, ъюя;но ввштн следующее определение. Определение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
