Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 14
Текст из файла (страница 14)
3.2. Онеоковыеавв эоввы в поп во трэвспортэ. плотности. Веэичины р и о равны 83 машины кэ милю и 1430 мешин в чвс соответственно. Логврифмичоскея формул» яе даат кояечкого вредела для )г при р — > О, ио справедливость этов теории для очень малой >шотвости движепия сомнительиз, тав что этот фвкт свм по себе ве важен. В ю>учае ковечного максиыулю Р и конечных зкэчекий У' (р) мы имеем с Р при р — >. О и следует ожидать, что с умевывекием плотности Р— с убывает.
Поскольку функция О (р) выпукла вверх, ()" (р) ( О и с сама являетгя убынв>ощей функцией от р. Это означает, что локелькое увеличение плотности распространяется тэв. нэк показено ня рис. 3.2,и разрыв образуется ия задаем фронте. Машины дви>кугся быстрее, чем волны, так что каждый водитель попадвет в такое локаяькое уееличекие плотности сзэдк. Ок должен резко тормозить в переходной области и постепеиио наращивать скорость, покидая зятор. Это, видимо, согласуется с практикой.
Детали можно проакэлизировэть с помощью теории, рвэвитой в гл. 2. В частности, всимптотически вовне принимает треугольную форму, иэобрежевпую кэ последием из рис. 3.2. Длина волны возрястает квк г'>э, и величина разрыва звтухвет кэк 1-'>э. Соответствующие внвлитвческие выражения имезгг вид с * — сэ> с —, р — ре при сес — )>281(х(ге>, с' л (и>) > где В=-(с'(ре)( ~ (р — ре) >(х. 3.1. Поток транспорта Разрыв находится в точке а = ссс — лг ' 2ВГ а скачки веременннх с и р в этой тачке составляют ./2д 1 /хл с — сс — — ~~ —, р — „„— (а 1Р») ) У л Задача о сестер)арс Более слояпюй задачей является анализ потока транспорта у светофора.
Ыы построим характеристики ва (э, й-диаграмме. Рзяг я. г а»а»арка кр 'я кг э .. кряк. — ~ — я 1кс. 3.3. Валко»а» Ваагракиа Лая зааэп~ о светофоре. Осли являются линиями постолпной плотности, а нх «мклоны с (р) опредслвют вначенпя р на вих. Таким образом, задача будет решена, как только будет построева (л, 8)-диаграмма. Предполоя:им сначала, что зеленый светгорнт достаточно долго, тан что проходящий транспорт двюкетсв свободно с некоторым аначением р, ( о .
Тогда мы можем начать с характеристик, имеющих наклон с (р;) в перссекалощпх ось 1 в интервале АВ (рис. 3.3); А — часть «зеленого периода». (На (:с, 1)-диаграмме ось а направлена по вертикали, э ось С ло горл!аонтави, нак ато принято в литературе по потопам транспорта.) Е1епосредственно под отревком ВС, соответствующим скрасному периоду», лгашинм стоят с плотностью р = рп так что характеристики имеют отрицательимй наклон с (рг). липин, рааделяющая пеполвижную очередь перед светофором и свободный поток, долялна быть линией разрыва ВР, н из условия на разрыве следует, что он распространяется со скоростью чфд р! р; Гл.
3. Конкретные задачи Когда в точке С включается зеленый свет, передние мвжины могут двигаться с»юксиыальнои скоростью, поскольку перед ними плот- Рв«. Э.«. Нжксз»я дв«гр«кка Ввя еае дзвжущ«пся сотов«гравенор а у зер«грув«еквогс св«тсфсра. ность р равна О.(Можно приближенно учесть конечность ускорения,продлив эффективный «красный период».) Этот этап представлен характеристикой СВ с максимальным наклоном с(0).Между лучами СЯ и СР расположен веер волны раврея«ения со всеми промежуточными значениямв с.
Точно на переьрестке С() наклон с дол»кен быть нулевым. Но это соотзожтвует максимуму д = д . Следовательно, справедливо интересное утверждение, что расход р достигает своего максимального значении непосредственно у светофора. Разрыв ВРС)В ослабляется волной разрежении и в конце концов ускоряется и проходит перекрестов при условии, что «велеш«й период» достаточно длвтелен.
Легко вывести критерий прохождений разрыва через перекресток. Полный вхсдятций нотон за время В() равен («, + С,)до где б — «красный период» ВС, 3,1. Поток транспорта а Е, — часть «аеленого периода» до момента прохождения разрыва. Поток через перекресток эа ато время равен е,д . Зги два потока должны быть равны, следовательно, »е, е — е,' Для прохождении разрыва через перекресток и свободной работы светофора необходиио, <тобы длительность «зеленого периода» превосходила это критическое значение.
Если разрыв не проходит через нерекресток, то поток никогда не становится свободным и воэяинает пресловутая улвчпая пробна. Чтобы это панятгч достаточно заглянуть па (я, е)-диаграммуна рве. 3.4. Поясноинй не потребуетсн! Эффек<п»< в»кших порядков. Диффузия и врелл реакции Существует два очевидных дополнительных эффекта, которые »нолательно включить в т<юрню.
Один из них был упомянут в $2.41 зависимость д пе только от р, но в от р„. Зто приблшкенно описывает учет водителем обстановки впереди и приводвт к диффузии аолп. Простейшее предположение, правильно отражающее качоственпое поведение, вмоет вид (ЗП) д= («(р] — чр„, о=- р(р) — -р„, о и нет оснований для вводенвя более сложных выражений. Второй эффект — наличие интервала времени между взмеяевием условий двшкенип и реакцией водителя и его л<ашины. Один иэ воамо»кных способов учета этого эффекта закл<очается в том, чтобы рассматривать выражение для па (3.1) как желаемую скорость, к которой стремится водитель.
Следовательно, для ускорения мо1кно принять формулу 1 < о, д оо„= — ( о — 1' (р) -~- — р„~ . (3.2) Коэффициент т характеризует время реакции и схож с величиной Ь, упомянутой выше. Уравнение (3.2) следует решать совме<тно с уравнением сохранения (3.3) р, + (ро) = О. Когда э и т, выраженные в подходящих безразмерных единицах, малы, уравнение (3.2) аппроксимируется равенством о = 1'(р), н мы имеем более простую теорию. Когда в уравнении (3.2) учитываются члены высших порядков, следует ожидать появления ударных волн в виде сглаженных ступенеи и т. п. Зто в целом верно, но в действительности ситуация оказывается более ело>киев.
Гл. 3. Конкретные аадачи 78 Для первого знакомства с нелинейным уравнеяием всегда полезно рассмотреть сначала линеаризоваиную теорию, хотя чинеаризация и может иметь свои собственные недостатки, каь было укааано в 4 2ЛО. Линеаризовав уравнения (3.2) и (3.3) дчя малых возмУЩений состоаниа Р =- Рм Р = Ра =- Р (Р,) поДстановкой Р=ра+" о=со+в' и сохранением только первых степеней г и ю, получим т(ю,+Р,ю„) = — (и — р'(р,) г+ т г„!, Ра го+ Р „+Р ю =О. Кинематическая волновая скорость равна са = Рор (Ра) + Р (Ро)' отсюда У' (Ро):=.- — (Ро — с,)/Ро.
ПодставлЯЯ это выРан<еине и исключая ю, получаем д д дгг Гд дог — +с — =т —.— т о — +г —,! г. Ы 'дх= д* (Ю 'Ъ! (3.42) Когда т = т =- О, имеем линеаризованпое приблюкение к кннематвчссним волнам г = ! (х — сод). Член, пронорциональпый т, представляет диффузию,характерную для уравнения теплопровопности. Эффект конечного времени реакции т понять не так просто, но наводящие соображения могкно получить следующим образом. Осповпое волновое движение, описываемое левой частью уравнения, имеет внд г —.— ! (х — с,с), тан что вроиэволная по 2 приближенно равна проиаведению вютичпны — с, и производной по хг д д — - — — са — ° до дх' (3.5) Если это пртгблингение испольэовать в правой части (3.4), то уравнение примет вид гв дг г — + со — =(т — (Р,— со) т) —. Ы дх д 2' (323) Имеет место комбинированная диффудия, если т ) (Ро — со) т И НЕУСтайЧВВОГтгч ЕСЛИ т < (ло со) т.
(3. 7) (3.8) Это естествеюю, поскольку в случае устойчивою движения водитель должен смотреть догааточно далеко вперед, учитывая время Рва щрги. Критерий устойчивости можно вывести обычным споюбом и непосредственно иа полного уравнения (3.4). Уравнение сс.4) имеет 79 ЗИ, Поток транспорха экспоненциальные решения вида г со ео причем выполняется условие т (ы — о й)з + 1 (ы — с й) — тйе = О. Зтн экспоненциальные решения будут устойчивы, если)п1 ю ( О для обоих варлей ю. Легко проверить, что это требование эквизалептно (3.7), хак что реаультат приближенных рассуждений подтзерждаетсл и обобщается на волны произвольной длины.
Вояям емпиеео порядка Следует отметить, что правая часть уравнелия (3.4) сама содергкит залповой онератор и это уравнение ыожпо параш~сеть в виде —.' -)-са = — т( — -)-с, — ) ( — -1-с — ) г, (3.9) де д* (де д )(де дя) тдэ (3.10) щ = о, + (г т)т, с = о, — )' т)т. Следовательно, можно ожидать, что волны, распространяющееся со скоростями с,. в с, также играют некоторую роль. На данной стадии нока ыце рано углубляться з этот вопрос, но схоит сделахь замечание, весьма существенное для интерпретации условия устойчивоств.
В дальнейшем прв исследовании уравненвй высшего порядка мы увидим, что снорости распространения, соответствующво проиаводным высшего порядка, определяют самьгй быстрый и самый медленный сигналы. В данном случае для сколь угодно малого, но отличного от нуля времевп реакции т самый быстрый сигнал распространяется со скоростью сг, а самый медленныл— со скоростью с . Таким обрааом, ясно, что првбчнжение дг дг — -г с, — = О М дэ (3. 11) полает иметь сыысл лишь при с ( се < с.„. (3.12) Но это в точности совпадает с критерием (3.7).
Таким образом, поток устойчив тогда и только тогда, когда выполняется условие (3.12), и в этом случае при малых т уравнение (3.9) можно приближенно заменить уравнением (3.11). Имеется точное соответствие между устойчивостью и вваимодействием волн. Уравнение (3.9) встречается в равличных приложениях и будет подробно изучено в тл. 19.
Гл. 3. Коиаретяые задачи Структура ударной »елим Более сложная форма поправок высшего порядка приводит к полым аоэможкостяы и структуре ударкой волиы. Для простого диффуэиоккого члеиа с т ) О в $2.4 было покаэако, что ударная солка имеет пспрерывкую структуру. Теперь мы увидим, что этого мсжет и кс быть, если э уравнение входят и другие члены высшего порядка.
Будем искать решекие системы (3.2) — (3.3) со стациоиаркым профилеы вИда р=-р(Х), э=о(Х), Х=э — ПУ. где П вЂ” постоя>шая скорость псремещекия. Ураэпекие (3.3) прикипает вид Прх + (ср)х =- О. (злз> Проинтегрировав, получим (3. 14) р((> — о) =А, где А — иексторая постояикая. Уравяоиио (3.2) лрилиыаст эид тр (л — 0)о~ ф трх -)- рэ — 4> (р) —. О. (3.15) Поскольку г =-!1 — А/р, это ураввеиие сводится к ( —, ) р =4>(р> — р(>-'РА. (3.15> При т =- О последнее ураэаенве совпалает с уравнением (2.21), как это и должно быть.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
