Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Если веобходимо ввести в рассмотрение разрывы п, то следует использовать интегральную форму (5.54), причем вопрос о зависимости б, и й, ат и свачала остается открытым. Если н точке к = з (Г) возникает разрывяая ударная водна, то те гке самые рассуяшеяия, что и в 4 2.3, дают условия иа разрыве — 5 ((,) + (б,) = О, 1 = 1,..., ., тле Н вЂ” скорость распространения разрыва е (с). Затем можно оя~идатго что по обе егоровы раарыва еще с достаточной точностью выполяяются соотяошеввя б, = д, (з, 1, и), Й, = Ьг (з, С, и), справедливые в областях непрерывности решевия. Следовательно, условия (5.56) примевимы с той гке самой фувкциоиальиой зависимостью бг от и.
Как и в гд. 2, более тщательный выбор бс связав с введеявем производвых от и, и разрывы переходят в узкие обла- Гл. 5. Гиперболические системы сти рваного изменения. Однако разрывная теория нроще и обычно оказывается удовлетворительной. Формальное определение слабого решения системы (5.55), приводящее к условиям на разрыве (5.56), почти полностью повторяет рассугкдення, проведенные в $2.7. Вычисляя пронаводные, входящие в уравнение (5.55), получаем систему (5.1), причем ай аг, авт ' ае.
' (5.57) Понятие слабого решения применимо лишь к этим частным уравнениям вида законов сохранении. Более того, надо особо подчеркнуть важное обстоательстио отсутствия единственности. В твпичных примерах, связанных с системой вида (5.1), конско найти более и различных уравнепнй в форме авиона сохранения (5.55). Условия на разрыве (5.56), полученные при выборе каких-либо п иа них, математически будут удовлетворяться, но правильное решение задачи дадут только те я уравнений, которые соответствуют исходным фвзвческнм законам (5.54). Хороший пример ганой нееднпственности возникает в газовой динамике (см.
гл. 6). Иа-еа такой неедпнственностя мы особенно нодчервиваеи адесь связь с физическими законами. 5.9. Системы с большим числом независимых переменных Обсудим вкратце ситуацию для квазилииейвььт уравнений с ш независимьпш переменными в случае, когда ш ) 2. Систему мовгно аапнсать в виде ао — ш-)-Ь,=О, 1.=-1, ..., и, (5.58) дх" где зависимые переменные ит являются функцняыи от ш независимых переменных к', х', ..., х и сумв1ированпе проводится по т =- 1,..., т, и) = 1,..., и.
Аналогамп характеристик, рассмотренных ньиве для т =- 2, служат характеристические поверхности в т-мерном х-пространстве. Их можно ввести примерно так же, яак и раныпе, и оии сохраняют некоторые свойства характеристия. Однако их роль в построении решения существенно более ограничена. Это ограничение связано с тем, что в общем случае иет осяовангш ожидать,что найдутся такиелвнейныо комбинации уравнений (5.58) „в которых производные от иг будут произнодными по одному и тому же направлению. Для этого на систему или яа решения следует наложить условия, которые выюлняются лшпь в исключительных случаях. В данном случае аналогом следует счвтать 5.9.
Болю число яезаввсимых перемеяных случай, когда рассматриваемые направления лежат на (>л — !)- мерном поверхностном элементе. Если подходящая линейная коибинация имеет вид )> х — '"> +),Ь>=О (5.59) д н поверхностный элемент люьит на поверхности 5 (х) =- сова(, то нентор яорлали н этой поверхности ил>ест компоненты до>дл" и условие ортогональности записывается так> (5.60) лт" Для существовании нетриш>ального вектора ! необходимо, чтобы выполнялось условие ~ ао — „! = О.
(5,6!) ~ еп — ~ = О. (5.63) Поверхности, обладающие этим свойством, называются карал>яеристическалк лоеерхноапял>и. Система снова называется гиперболическая, если существуют л певависимых уравнений вида (5.59) с такиы свойством. Обычно вм отвечают л рааличных характеристических поверхностей, на это не абязатель: достаточно потребовать существования полной системы пз л независимых веиторов !. Однако атот выбор не упрощает решеннл системы в тай степени, как это было в случае т = 2, поскольку на каждой из поверхностей все >ке остается т — ! связанное направление. Вниду жого основное свойство характеристических поверхностей в задачах о распространении волн состоит в том,что ва вих находятся особенности решения и, в частности, они описывают волновые >)>!юнги.
Положим так >ке, как и в ! 5.5, что 5 (х) =-. О— поверхность, при переходе через которую и> остаются непрерывными, а ди>!дл' могут иметь разрыв первого рода. Из непрерывности и> стедует, что все касательные проиаводпые должны оставаться непрерывными, так что только нормальные пролаводиые могут нретерпевать разрыв. Пусть поверхность 5 = О входит в семейство поверхностей 5 = сопя(, так что Я можно использовать для построения локальной с>ютемы координат, выбрав остальные и — 1 координат проиавольшем образом; тогда разрыявые производные имеют вид ди>/дб.
Следуя рассу>кдениял>, проведенным для случая >л = 2, получаем (5.62) Следовательно, разрывы могут воаникать лишь на поверхностях, удовлетворяющих уравнению Гл. 5. Гиперболические системы Зто уравкевие совладает с уравнением (5.64), определяющим характеристические поверхласти. Уравнения (5.62) и (5.65) являются обобщением уравкевий (5.20) и (5.21). Как и ранее, можно получить дальнейшие соотвошекив для скачков (диг/дЯ. 5.10. Уравнения второго порядка Линейные уравнения второго порядка, имеющие вид ~о е с +~~ е +~2=/) дар ар (5.64) встречаются часто, и даже в случае двух вевависимых перемеквых обычно удобнее оставлять их в такам виде, чем работать с соответствующей глстемой первого порядка. Действителько, как мм видели в $ 5.2, могут вовкиккуть трудкости, свяааввые с вахождевпем подходящей зквивалектвой системы, если, конечно, уравксяие (5.64) ве была получеко из такой системы.
Существуег много подходов к классификация уравнений вида (5.64). В задачах о распростракекии волн важным вопросом является вазмолгяость существования волнового фронта, весущего раарывы производных, и это дает простейшую свяаь, указывающую ка согласоваквасть с акализом, проведеквым Ллл систем первого порядка. Очевмцко, что в тех случаях, когда уравнение (5.64) получается иа соответствующей зкзивзлекткой системы, определения пшербаличвости лолгквы совпадать. Папробкое доказательство согласовакяости здесь ке приводится, ка выбор такога подхода укааывает ка тесную связь.
Итак, рассмотрим возможкость существования разрывов первого рода у вторых производных функции гр. Если зги разрывы находятся ка поверхкости Я (х) = О, причем р и дт/дх, остаются пепрерывкьпги, то, как и вьппе, можно ввести локальные коорлинаты, жходя иа уравнения 8 (х) = О, и покааать, чта ае~р/ддз разрывка, тогда как осталькые производкые второго порядка остаются непрерывными. Затем взяв равкость пределов уравнения (5.64) с обеих старая поверхности Я = О, получим (5.65) Поскольку (дза/дда) тй О, отсюда вытекает необходимое условие сушествовапия разрыва: Л вЂ” =О.
од ад (5.66) дер е*г Мажка показатга что разрывы производных первого лорядка и даже самой фувкщпг х (поскольку уравиеяие лияейио) также 5ЛО. Уравнена второго порядка огрвиичевы такими поверхностями. Но длв этого необходимо более пцательное обсуждение, включающее вопрос об уточнении понятия решения, и мы его сгложем до $7.7, где ово будет необходимо. Таким обравом, классификация определяшся квадратичной формой А~гшья В каждой точке х при помощи векоторого линейного преобраэоваиия ее можво привести к виду а1ь,'+... +а с'„. (5.67) Если все коэффициенты а, имеют один и тот же ввак, то, очевидно, ураввеяие (5.66) не имеет решения; в такой точке уравяеиве называется ахлишпичссккм.
Если некоторые иэ коэффициентов а, равны нулю, то уравнение параболическое; в обычном случае адин ив о, равен нулю, а оставьиые имеют один и тот же авав. Если все а; отличны от нуля, вс ве все имеют одинаковые вваки, та имеем так называемое улыврагилсрбогичесвсс ураввепие. В приложениях встречается только случай, когда т — 1 ив т коэффициентов ог имеют один и тот же впав и лишь один коэффициент имеет противоположвый эвак. Объяснение этого факта состоит в том, что в противнем случае воверхпостл, описываемые ураввевием (5.66), имели бы необычные геометрвчесвие свойства и ве могли бы, вапрпмер, описывать простую интуатиано ясную картину распространения волвового фровта. В соответствии с атям пшерболвчеспие ураввеввя ограничиваются этим случаем. Для того чтобы ке свяэывать эту классификацию с теорией разрывов, следует всего лишь ваметить, что линейное преобраэовавие, необходимое для вриведевия квадратичвой формы Ап$Дг к виду (5.67), ьюжио также испольаовать яля введевия локального преобраэовавия коордияат,приводящего старший члев уравнения (5.64) к виду дьг Вьг о1 — т- ..
+а ах, ' " охй' Эти рассуждения иикаи ве свяэавы с вовросом о раврывах, а классификация, как и раисе, овределяется внаками коэффициентов а, в этом члеяе. Ншпе рассвютревае было намеренно кратким, посвольку оно вкьак ве снявано с вопросами, рассматриваемыми ниже в этой книге. Дальнейшие подробности можно иайти во многих превосходных курсах по общей теории уравнений в частных производных. таких, ьак книга Вуравта в Гильберга 11) или Петровского ! Н. Хлава 6 ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА Бак было указано а гл. Н э~нотке нз основных идей теории гиперболических золп, н частности объяснение явления формироаания ударной волны. обязаны селил~ происхождением гааозой динамике. !(астонщая глава посзящела обсукдзшгю волк и ударньж аодн а гааозой дипел~таке. В ней даются естестаенные иллюстрации общих плей, развитых а предыдущей главе, и добавляется ряд усилений и о(юбщений, которые можно продемонстрировать только на конкретных задачах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
